2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义第一章第一节　集合

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合[考纲要求]1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．突破点一集合的概念与集合间的基本关系eq\a\vs4\al([基本知识])1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅eq\a\vs4\al([基本能力])一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)∅∈{0}．()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝________.解析：将x＝－2，－1,0,1分别代入y＝|x|中，得到y＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．答案：{2,1,0}2．已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________．解析：由题意，知满足题中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个．答案：33．设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2019＋y2020＝________.解析：因为M＝N，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,xy＝y))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y，,xy＝1，))由集合中元素的互异性，可知x≠1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0.))所以x2019＋y2020＝－1.答案：－14．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的值是________．解析：因为集合A有且只有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，A＝{0}符合题意；②当a≠0时，要满足题意，需有Δ＝4－4a2＝0，即a＝±1.综上所述，a＝0或a＝±1.答案：0或±1eq\a\vs4\al([典例感悟])1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则()A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈MC．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P解析：选A设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P，故选A.2．(2019·广州模拟)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为()A．－1 B．0C．1 D．2解析：选A依题意知a≠0，则{0，－a}＝{0,1}，所以a＝－1.故选A.3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为()A．1 B．2C．4 D．8解析：选C由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合条件的集合C共有4个．eq\a\vs4\al([方法技巧])1．与集合概念有关问题的求解策略(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2．判断集合间关系的常用方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断数轴法在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集)，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系合的子集、真子集的个数含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．eq\a\vs4\al([针对训练])1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.2．(2019·贵阳高三检测)设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP解析：选B依题意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q⊆P.3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析：∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．答案：(－∞，3]突破点二集合的基本运算eq\a\vs4\al([基本知识])1．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪BA∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集A∩BA∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的补集若全集为U，则集合A的补集为∁UA∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.eq\a\vs4\al([基本能力])一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(2)若集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(1,x)>0))，则∁RA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(1,x)≤0)).()(3)设集合U＝{x|－3<x<3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∩(∁UB)＝{1}．()答案：(1)√(2)×(3)√二、填空题1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝____________.答案：{1,8}2．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁RB)＝____________.解析：因为B＝{x|x<－1}，则∁RB＝{x|x≥－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|－2≤x<3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x<3}．答案：{x|－1≤x<3}3．(2019·合肥模拟)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝________.解析：由题意，知A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，∴∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．答案：{3}4．(2019·淮南二中调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁UA)∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a>3.答案：(3，＋∞)eq\a\vs4\al([典例感悟])1．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|－x2＋4x≥0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,81)<3x<27))))，C＝{x|x＝2n，n∈N}，则(A∪B)∩C＝()A．{2,4} B．{0,2}C．{0,2,4} D．{0,4}解析：选C集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－4<x<3}，故A∪B＝{x|－4<x≤4}，集合C表示非负偶数，故(A∪B)∩C＝{0,2,4}，故选C.2.(2019·太原阶段性测评)设集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|y＝eq\r(x2－1)}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{1} B．{0}C．{－1,0} D．{－1,0,1}解析：选B由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁RB)．∵B＝{x|y＝eq\r(x2－1)}＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁RB＝{x|－1<x<1}，∴A∩(∁RB)＝{0}，故选B.3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，则集合P*Q中元素的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1,2；b的取值只能为－1,0,1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：ba－10111112eq\f(1,2)12由上表可知P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，显然该集合中共有3个不同的元素．eq\a\vs4\al([方法技巧])1．集合基本运算的求解策略求解思路一般是先化简集合，再由交、并、补的定义求解求解原则一般是先算括号里面的，然后再按运算顺序求解求解思想注重数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．eq\a\vs4\al([针对训练])1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析：选C∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.3．已知集合A＝{x|x2－3x－10<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则A∩(∁RB)＝()A．(2,5) B．[2,5)C．(－2,2] D．(－2,2)解析：选C解一元二次不等式x2－3x－10<0，得－2<x<5，∴A＝{x|－2<x<5}．由y＝ln(x－2)可知x－2>0，即x>2，∴B＝{x|x>2}，因此∁RB＝{x|x≤2}，则A∩(∁RB)＝(－2,2]．故选C.4．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为()A．15 B．16C．20 D．21解析：选D由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.[课时跟踪检测]1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝()A．{－2,0,1} B．{1}C．{0} D．∅解析：选A集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．故选A.2．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝()A．∅ B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：选C∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．3．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝eq\r(x2－2x)}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝()A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，＋∞)解析：选B由于集合A＝{x|y＝eq\r(x2－2x)}表示的是函数y＝eq\r(x2－2x)的定义域，所以由x2－2x≥0可知集合A＝{x|x≤0或x≥2}．集合B＝{y|y＝x2＋1}表示的是函数y＝x2＋1的值域，因此B＝{y|y≥1}．∴A∩B＝[2，＋∞)．故选B.4．(2019·河北五个一名校联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于()A．(1,3) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－3,1)解析：选C依题意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．5．(2019·浙江五校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|0≤x<5}，则(∁UA)∩B＝()A．{x|0<x<3} B．{x|0≤x≤3}C．{x|0<x≤3} D．{x|0≤x<3}解析：选D由题意得∁UA＝{x|x<3}，所以(∁UA)∩B＝{x|0≤x<3}，故选D.6．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.7.(2019·资阳模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{x|x≤－1或x≥3}B．{x|x<1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤－1}解析：选D图中阴影部分表示集合∁U(A∪B)，又A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x>－1}，∴∁U(A∪B)＝{x|x≤－1}，故选D.8．(2019·石家庄重点高中毕业班摸底)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))xeq\a\vs4\al(|)eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\a\vs4\al(|)\f(x,3)＋\f(y,2)＝1))，则M∩N＝()A．∅ B．{(3,0)，(0,2)}C．[－2,2] D．[－3,3]解析：选D因为集合M＝{x|－3≤x≤3}，N＝R，所以M∩N＝[－3,3]，故选D.9．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]解析：选B因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>a}，因为A⊆B，所以a≤－1.10．已知全集U＝{x|－1<x<9}，A＝{x|1<x<a}，A是U的子集，若A≠∅，则a的取值范围是()A．{a|a<9} B．{a|a≤9}C．{a|a≥9} D．{a|1<a≤9}解析：选D由题意知，集合A≠∅，所以a>1，又因为A是U的子集，故需a≤9，所以a的取值范围是{a|1<a≤9}．11．定义集合M与N的新运算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x∉M∩N}，则(M⊕N)⊕N＝()A．M∩N B．M∪NC．M D．N解析：选C按定义，M⊕N表示图中的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示N上的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.12．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为()A．17 B．18C．19 D．20解析：选B记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩∁UB(如图)，故有18人．13．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.解析：由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.得x＝±2或x＝0，当x＝－2时，A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，符合题意；当x＝2时，则2x＝4，与集合的互异性相矛盾，故舍去；当x＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，符合题意．综上所述，x＝－2或x＝0.答案：－2或014．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，则实数m的取值范围为________．解析：由已知A＝{x|x≥－m}，∴∁UA＝{x|x<－m}．∵B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，∴－m≤－2，即m≥2.∴m的取值范围为{m|m≥2}．答案：{m|m≥2}15．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________________.解析：由题意知A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝[－3,0)∪(3，＋∞)．答案：[－3,0)∪(3，＋∞)16．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,8)<2x<8))，则A∩B＝________.解析：因为不等式eq\f(1,8)<2x<8的解为－3<x<3，所以B＝(－3,3)．若x∈A∩B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2[x]＝3，,－3<x<3，))所以[x]只可能取值－3，－2，－1,0,1,2.若[x]≤－2，则x2＝3＋2[x]<0，没有实数解；若[x]＝－1，则x