等差等比数列练习题含复习资料以与基础知识点

1nnnn2n3n一、等差比数列基1nnnn2n3n（一）知识归纳：．概念与公式：①等差数列：1.定义：若数列

{}满足an

n

(常数)则{}nn

称等差数列；°.项公式：

aaan);nk°.n项和公式：公式：

n

n)n1n.22②等比数列：1°.定义若数列

a{}足an

（常数则

{}n

称等比数列；项公式aqn

n

;

°.n项和公式：

n

aan)11

(q

当时

.n．简单性质：①首尾项性质：设数列

{},a,a,a,n2°.若

{}n

是等差数列，则

a1n2

n

a3

n

;°.若

{}n

是等比数列，则

aa1

n

a3

n

②中项及性质：°.设a，A，b等差数列，则A称a、b的差中项且

A

a2

;°.设a等比数列，则称a的比中项，且

ab③设、q、、为整数，且

°.若°.若

{}n{}n

是等差数列，则是等比数列，则

aaa;prsa;prs④顺次和性质：°.若

{}n

是公差为d的等差数列，

则kk

a

k

组成公差为nd的等差数列；k

kn°.若

{}n

是公差为的等比数列，

则

ak

ak

a

k

组成公差为n

的等比数列（意：当=1为kn偶数时这个结论不成立）⑤若

{}n

是等比数列，则顺次的乘积：

aa,12n

n

a

n

a2

2n

a

2n

3

组成公比这

的等比数列./

偶nnn⑥若偶nnn

{}n

是公差为的等差数列,°.若n为奇数，则

且Sn中

项即aa

n

,

而S奇指所有奇数项、所有偶2数项的和°.若n为偶数，则

偶

奇

nd.2（二）学习要点：．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差≠0的差数列通项公式是项的次函数a+②公差≠的差数列的前n项公式项数n的没有常数项的二次函数S=2;③公比q的等比数列的前公式可以写成S(1-qn的形式；诸如上述这些理解对学习很有帮助.．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.．设“公差、公比”是解决问题一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m或a-m,a,a+m②三数成比数列，可设三数为“2

(或

aq

，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“

a,a,am(或ama,am);

”④四数成等比数列，可设四数为“

a,,aq3或

aa,,3q3q

”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经[例1]解下述问题：（Ⅰ）已知

111,,abc

成等差数列，求证：（1

bca,,ab

成等差数列；（2

a

bbb,22

成等比数列.[解析]该题应该选择“中项”的知解决，2ac(),c

ab(a

2

22(a)2a)(a)bc成差;,bb2b(2)()()ac())24bb,成等数2

2

（Ⅱ）设数列

{}前和为足Sn(nn（1求证：

{}n

是等差数列；/

（2若数列

{b}满足:nb(22a123n求证：{b}等比数.[解析]（）

2n(an2nan

①②②－①得

2(n

n

(nan

n

nan令n令想n:）当

,a2结论正;2）

假设nk时结正确,即2当nk,(ka

kak(2k

2

(2kkka

2k2(k论正确由），

nNann

n(2n{}是公差2的差数;n(2)设T2

(2n6,当时(nbnnnbn而b42,也合当Nn,

nn(2n

{}是公比为的比数[评析]判（证明一数列成等差比数列主要方法有根“中项性根“义判或通“归纳猜想”并证明.[例2]解下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n项为

S若n

Q),PQ求

S

P

(,Q表示)[解析]选公式

"an2bn"n

做比较好，但也可以考虑用性质完/

2QQPQP2QQPQP[解法一]

bnn

aP2aQ2

bP

①②①－②得：

2

2

P)[aP)],Q,S

P

P)[(P)]

(P)

2

.[解法二]妨设

PQ

aQQQ

(P)(aQ

)P

P()(a),PQ2P

P

(P)PQ

.（Ⅱ）等比数列的项数n为数，且所有奇数项的乘积为，所有偶数项的积为

，求项数[解析]设比为

aa1024q35n42aaa12824na1

n2

42

(1)35而aaa102412822212

a1

35(nn()将代得22)1n35,得7.2

n

352,（Ⅲ）等差数列{}中公差≠，在此数列中次取出部分项组成的数列：aa,,比数k2{的前n项求数列[解析]a,成比117

5

2

,1/

knn()a)(ad)011knn0,ad,1ad数{的比q51aa112dk1而aakdkdk1n①②得k2n

①②{}的前项和S2

n

[评析]例2是组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本[例3]解下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去，成等差数列；再将此等差数列的第二项减去，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设差数列的三项，要比设等数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为－da+，则有a232a2)(a)2263d64d或得a或,9338原数2,10,50或（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为，四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四[解析]设四数为

aaaa15)

(a

)a

15)

)

(

)4a

5004m

(mm与数且mm2m125解得

或a12(不合

所求四数为，57，，[评析]巧公差、公比是解决等差、比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列问题中是主要方法二、等差比数列复习一、择题1、如果一个数列既等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A为常数数列（B）为非零的常数数列C）存在且唯一（D）不存在/

、在等差数列

中，

a1

且a,15

成等比数列，则

的通项公式为（）（A

a

n

（B）

a

n

n

（）

a3n

或

an

（D）

ann

或

an3、已知

a,b,c

成等比数列，且x,分别c的等差中项，则

a

的值为（）（A）

12

（B）

（）（D）不确定4、互不相等的三个数

a,b,c

成等差数列，是b等比中项，

y

是,的等比中项，那么xb2，y2三个数（）（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列

项为SSn

2

4

2

n

,则数列的通项公式为（）（A）

a

n

2n（Ban

（）

a

n

2

n

（D）

an2n6、已知

z

x)4(xy)

，则（）（A

x,y,z

成等差数列（B）

xz

成等比数列（）

111,成等差数列（D）xz

成等比数列7、数列

项S

n

an

，则关于数列

的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列，但不可能是等差数列②定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A4

（B）3

（）

（D）18、数列1

11,3,7,248

,前n项和为（）（A）

n

111（B）（nD）22n9、若两个等差数列

为、，且满足nn

4n5nn

，则

a513b513

的值为（）7

8

19（A）

9

（B）

7

（）

（D）2010、已知数列

项为

2则数列

的前项和为（）（A）56

（B58

（）62

（D）11已知数列

的通项公式

a

n

n

为,

从

中依次取出第，9，27,…，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）（A）

n

n

3nn3n（B3n（C）（D）212、下列命题中是命题的是()/

bbA数列

是等差数列的充要条件是

a

n

pn(p

)B．已知一个数列

项S

n

anbn

,如此数列是等差数列那么此数列也是等比数列．数列

是等比数列的充要条件

a

n

ab

nD．如果一个数列

S

n

ab

n

(a0,b0,b

,则数列是等比数列的充要条件是

a二、填空13、各项都是正数等比数列

，公比

q

a,aa5

8

,成差数列，则公比

=14、已知等差数列

0,,1517

成等比数列，则

a15a218

=15、已知数列

满足

14

a,a=16、2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、解答题17、已知数列

d不为零的等差数列，数列

是公比为的等比数列，

b1

23

，求公。18、已知等差数列

的公差与等比数列

n

的公比相等，且都等于

(0,d1

，

a

3

b,35

,求

a

n

,

n

。19、有四个数，其前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为，求这四个数。20、已知

为等比数列，

3

a24

，求

21、数列

和记为S

,an

S（Ⅰ）求

的通项公式；（Ⅱ）等差数列

其n项和

，且

T3

15，a,a123

成等比数列，求

Tn22、已知数列

满足

a

a

aN

*

).（I）求数列

的通项公式；（II）数列

...4ab(

)

，证明：

是等差数列；第九单元

数列综合题一、选择题题号

3791011/

110146bbn111b1bbnnnbn1n331511415n31答案二填空题110146bbn111b1bbnnnbn1n331511415n31

BAACADDD

D13.

1526114.()2293

16.

3三解题17.a=,

=a=a=ad由{a}等比数例，得（a）2=(+45)a=3d即=12ad.∴q=4∴b

又由{}{}的a，及=n,+(b-1)dn-1n-1-218.∴ab,d2

d2d=5ba+4d=5d,∴(1-5d4)=-4②②得①

11d

42

=2∴d2

1=1或d=,由题意，=55

5

5。∴=a+(-1)dn

=a

n-1=-

5

·(

55

)n-119.设这四个数为

aq

a,aqaq则

aq

·

由①，得a=216,a=6

③

a(3aq)

③代入②，得3aq=36