椭圆定义与性质全

椭圆定义与性质全演示文稿现在是1页\一共有41页\编辑于星期六椭圆定义与性质全现在是2页\一共有41页\编辑于星期六如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆现在是3页\一共有41页\编辑于星期六——仙女座星系星系中的椭圆现在是4页\一共有41页\编辑于星期六——“传说中的”飞碟现在是5页\一共有41页\编辑于星期六现在是6页\一共有41页\编辑于星期六现在是7页\一共有41页\编辑于星期六思考数学实验(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？现在是8页\一共有41页\编辑于星期六请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?F2F1M(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离现在是9页\一共有41页\编辑于星期六（一）椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：(2a>2c)MF2F1现在是10页\一共有41页\编辑于星期六小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.平面上----这是大前提2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a3.常数2a要大于焦距2C思考：1.当2a>2c时,轨迹是（）椭圆2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在.4.当c=0时,轨迹为圆．现在是11页\一共有41页\编辑于星期六yxOr设圆上任意一点P(x，y)以圆心O为原点，建立直角坐标系两边平方，得♦回忆在必修2中是如何求圆的方程的？现在是12页\一共有41页\编辑于星期六

求曲线方程的方法步骤是什么？建系设点列式代换化简建立适当的直角坐标系；设M（x,y）是曲线上任意一点；由限制条件，列出几何等式，写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.现在是13页\一共有41页\编辑于星期六♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy现在是14页\一共有41页\编辑于星期六解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标2.椭圆的标准方程的推导现在是15页\一共有41页\编辑于星期六两边除以得由椭圆定义可知整理得两边再平方，得移项，再平方现在是16页\一共有41页\编辑于星期六总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx现在是17页\一共有41页\编辑于星期六

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.现在是18页\一共有41页\编辑于星期六练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在X轴（-3，0）和（3，0）答：在y轴（0，-5）和（0，5）答：在y轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。现在是19页\一共有41页\编辑于星期六1.口答：下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?练习：现在是20页\一共有41页\编辑于星期六0<b<9练习：a>3现在是21页\一共有41页\编辑于星期六练习：1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是

.2.椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点是

.

(0,4)现在是22页\一共有41页\编辑于星期六3.已知方程表示焦点在x轴

上的椭圆，则m的取值范围是

.变式：已知方程

表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范

围是

.(0,4)

(1,2)现在是23页\一共有41页\编辑于星期六2、已知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.

变题：

若椭圆的方程为,试口答完成（1）.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围;探究:若方程表示椭圆呢?5436(-3,0)、(3,0)8现在是24页\一共有41页\编辑于星期六例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：

焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a现在是25页\一共有41页\编辑于星期六练习1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（

）A.5B.6C.4D.10A2.已知椭圆的方程为，焦点在X轴上，则其焦距为（）A2B2C2D2A现在是26页\一共有41页\编辑于星期六例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程12小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c)椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出现在是27页\一共有41页\编辑于星期六例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。∵2a=102c=8∴a=5c=4b2=a2c2=9,b=3因此这个椭圆的标准方程是：yoBCAx定义法求轨迹方程。现在是28页\一共有41页\编辑于星期六变题1:已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。.解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为：yoBCAx∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为:

注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下

方程的曲线上的点是否都是符合题意。现在是29页\一共有41页\编辑于星期六例2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P（-1.5，2.5）.解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为∵c=2，且c2=a2

-b2

∴4=a2-

b2……①又∵椭圆经过点∴……②联立①②可求得：∴椭圆的标准方程为

(法一)xyF1F2P或现在是30页\一共有41页\编辑于星期六(法二)

因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为现在是31页\一共有41页\编辑于星期六练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.答案：(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；

(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.现在是32页\一共有41页\编辑于星期六例1：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程．解：以两焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆的标准方程可设为根据题意有即因此，这个椭圆的标准方程为xyOF1F23.例题现在是33页\一共有41页\编辑于星期六回顾小结求椭圆标准方程的方法一种方法：二类方程:现在是34页\一共有41页\编辑于星期六解：例1：将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？yxo设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆＝４上的对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：因为＝４所以即1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。2）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；现在是35页\一共有41页\编辑于星期六练习(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。解(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。现在是36页\一共有41页\编辑于星期六1、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，延长P’P至M,使P’M=2P’P，求点M的轨迹。2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2