确定临界荷载的静力法

13.2确定临界荷载的静力法13.2.1静力法及其计算步骤静力法，根据临界状态的静力特征而提出的。在分支点失稳问题中，临界状态的静力特征是：平衡形式具有二重性。静力法的要点是：在原始平衡路径之外，寻找新的平衡路径，确定二者交叉的分支点，从而求出临界荷载。AllRightsReserved1）假设临界状态时体系的新的平衡形式(失稳形式)。2）根据静力平衡条件，建立临界状态平衡方程。3）根据平衡具有二重性静力特征(位移有非零解)，建立特征方程，习惯称稳定方程。4）解稳定方程，求特征根，即特征荷载值。5）由最小的特征荷载值，确定临界荷载(结构所能承受的压力必须小于这个最小特征荷载值，才能维持其稳定平衡)。静力法计算步骤AllRightsReserved（2）建立临界状态的平衡方程13.2.2有限自由度体系的计算(静力法)以图示的一个单自由度体系为例。（1）假设失稳形式，如图所示弹簧反力于是有AllRightsReserved方程有两个解，其一为零解，对应于原始平衡路径I(图中OAB)；其二为非零解，对应于新的平衡路径II(图中AC或AC1)

（2）建立临界状态的平衡方程13.2.2有限自由度体系的计算(静力法)以图示的一个单自由度体系为例。（1）假设失稳形式，如图所示（3）建立稳定方程：AllRightsReserved（2）建立临界状态的平衡方程13.2.2有限自由度体系的计算(静力法)（1）假设失稳形式，如图所示（3）建立稳定方程：为了得到非零解，方程的系数应为零FPl－kl2＝0称为稳定方程。由此方程知，平衡路径Ⅱ为水平直线。AllRightsReserved（2）建立临界状态的平衡方程13.2.2有限自由度体系的计算(静力法)（1）假设失稳形式，如图所示（3）建立稳定方程FPl－kl2＝0（4）解稳定方程，求特征荷载值：

（5）确定临界荷载：对于单自由度体系，该惟一的特征荷载值即为临界荷载AllRightsReserved【例13-1】图示两个自由度的体系。各杆均为刚性杆，在铰结点B和C处为弹簧支承，其刚度系数均为k。体系在A、D两端有压力作用。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图所示。位移参数为y1和y2各支座反力分别计算如图示AllRightsReserved（2）建立临界状态平衡方程：分别取A-B1-C1部分和B1-C1-D部分为隔离体，则有关于位移参数为y1和y2的齐次线性方程组AllRightsReserved(3)建立稳定方程：则对应于原始平衡形式，相应于没有丧失稳定的情况不全为零，则对应于相应新的平衡形式此方程就是稳定方程。AllRightsReserved(4)解稳定方程，求特征荷载值：由此解得两个特征荷载值，即(5)确定临界荷载值：取二特征荷载值中最小者，得AllRightsReserved【讨论】将以上二特征荷载值分别回代，可求得对应位移参数的比值。a)反对称失稳（实际失稳形式）b)正对称失稳AllRightsReserved【例13-2】试用静力法求图所示结构的临界荷载。弹簧刚度系数为k。(1)假设失稳形式，如图所示，位移参数为d

。

AllRightsReserved(2)建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程：未知量d

有非零解的条件是AllRightsReserved(4)解稳定方程，得特征荷载值(5)确定临界荷载为AllRightsReserved13.2.3无限自由度体系的稳定计算(静力法)用静力法计算无限自由度体系稳定问题有两个特点：用静力法计算图示弹性理想压杆的临界荷载。（1）假设失稳形式，如图中实线所示。（2）建立临界状态平衡方程：第二，临界状态平衡方程为微分方程。第一，位移参数为无穷多个；按小挠度理论，压杆弹性曲线的近似微分方程为AllRightsReserved这是关于位移参数y的非齐次常微分方程。

（3）建立稳定方程：上式的通解为AllRightsReserved常数A、B和未知力FR/FP可由边界条件确定：

对应于弯曲的新的平衡形式的y(x)不恒等于零AllRightsReserved解稳定方程，求特征荷载值：采用图解法时，作和两组线，其交点即为方程的解答，结果得到无穷多个解

由最小特征值荷载，确定临界荷载：常数A、B和未知力FR/FP不全为零：AllRightsReserved【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：底段的弹性曲线近似方程为AllRightsReserved【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程通解为

AllRightsReserved【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程，AllRightsReserved【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程稳定方程AllRightsReserved【例13-3】图示为一底端固定、顶端一段有着无穷大刚度的直杆。试用静力法求其临界荷载。(1)假设失稳形式，如图中实线所示。(2)建立临界状态平衡方程：(3)建立稳定方程(4)解特征方程，求特征荷载值：由试算法或图解法，可解得a值。(5)确定临界荷载