线弹性断裂力学

1第1页，共44页，2023年，2月20日，星期六线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。2第2页，共44页，2023年，2月20日，星期六

§1.1线弹性断裂力学的基本理论线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith理论，即能量释放率理论；Irwin理论，即应力强度因子理论。一、Griffith理论1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。3第3页，共44页，2023年，2月20日，星期六Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为4第4页，共44页，2023年，2月20日，星期六另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为其中：为单位面积上的表面能。可以得到如下表达式临界状态裂纹稳定裂纹不稳定5第5页，共44页，2023年，2月20日，星期六对于平面应力问题，，则根据临界条件，有或得临界应力为表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。6第6页，共44页，2023年，2月20日，星期六临界裂纹长度

对于平面应变有Griffith判据如下：(1)当外加应力超过临界应力(2)当裂纹尺寸超过临界裂纹尺寸脆性物体断裂7第7页，共44页，2023年，2月20日，星期六二.Orowan与Irwin对griffith理论的解释与发展Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为8第8页，共44页，2023年，2月20日，星期六9第9页，共44页，2023年，2月20日，星期六Irwin在1948年引入记号外力功释放出的应变能能量释放率能量释放率也称为裂纹扩展能力准则临界值,由试验确定Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形.该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志.10第10页，共44页，2023年，2月20日，星期六前面仅是以固定边情况为例。对于一般约束情况，具有更广泛的物理意义。

取一厚度为B的板，中心有穿透裂纹长度为2a，载荷P，面积A=2aB。在裂纹长度不变的情况下，P与作用点位移Δ成正比将板拉长后固定两端。下图中直线的斜率为刚度系数，其倒数λ为柔度系数（柔度），等于单位载荷下的位移。当裂纹面积增加时，弹性裂纹体刚度下降，柔度增加，即弹性曲线斜率减小。下面需要分析三种不同边界条件的情况11第11页，共44页，2023年，2月20日，星期六1）固定位移情况在图中体系应变能减少，释放出的应变能作为裂纹扩展所需的功。应变能减少量=12第12页，共44页，2023年，2月20日，星期六2）固定载荷情况

在图中，体系应变能增加，载荷作的功一半用于增加系统应变能，一半作为剩余功用于裂纹扩展。将上述两种情况的统一写成应变能增加量=矩形-13第13页，共44页，2023年，2月20日，星期六裂纹扩展时，载荷对位移曲线从a变化到f，其斜率为3)弹性约束情况

对于一般弹性条件，可看成弹性约束，简化为裂纹体与弹簧串联的力学模型。弹簧柔度系数14第14页，共44页，2023年，2月20日，星期六上式称为应变能释放率的柔度表达式。那么知道了载荷与柔度随面积的变化率，可以计算出系统推动裂纹扩展的有效能量为外力功与应变能增加（或减少）之差（或和）对前两种情况，则由15第15页，共44页，2023年，2月20日，星期六三.应力强度因子理论裂纹尖端存在奇异性,即:基于这种性质，1957年Irwin提出新的物理量—应力强度因子,即：1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的断裂判据(准则)16第16页，共44页，2023年，2月20日，星期六§1.2裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位移值一.裂纹的类型1.按裂纹的几何类型分类穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为半椭圆裂纹.深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭圆裂纹.17第17页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.按裂纹的受力和断裂特征分类张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面,裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种裂纹.滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制,切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.18第18页，共44页，2023年，2月20日，星期六撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.二.裂纹尖端附近的应力场.位移场1.Ⅰ型裂纹问题的描述:无限大板,有一长为的穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力的作用.确定裂纹尖端附近的应力场和位移场.19第19页，共44页，2023年，2月20日，星期六20第20页，共44页，2023年，2月20日，星期六Irwin应用Westergaurd的方法进行分析.(1)Westergaurd应力函数弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数.该函数满足边界条件及双调和方程.1939年Westergaurd应力函数21第21页，共44页，2023年，2月20日，星期六其中：为解析函数;为一次积分和二次积分.首先证明:满足双调和方程因为:解析函数的性质:(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程22第22页，共44页，2023年，2月20日，星期六

柯西黎曼条件23第23页，共44页，2023年，2月20日，星期六有即函数是平面问题的应力函数.则应力分量:24第24页，共44页，2023年，2月20日，星期六即(平面应力)(平面应变)物理方程:

(平面应力)25第25页，共44页，2023年，2月20日，星期六(平面应变)几何方程:

26第26页，共44页，2023年，2月20日，星期六得平面应力平面应变27第27页，共44页，2023年，2月20日，星期六(2)求解双向拉伸Ⅰ型裂纹边界条件:

选取Ⅰ型裂纹的函数28第28页，共44页，2023年，2月20日，星期六验证:a:,时又b:29第29页，共44页，2023年，2月20日，星期六采用新的坐标令--应力强度因子

30第30页，共44页，2023年，2月20日，星期六31第31页，共44页，2023年，2月20日，星期六平面应变平面应力平面应变平面应力32第32页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.Ⅱ型裂纹设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用33第33页，共44页，2023年，2月20日，星期六第一步：解II型Westergaard应力函数

求解方法与I型基本相同，1主要差别是无穷远处边界上受力条件不同。选取应力函数

进而可得到位移分量平面应变34第34页，共44页，2023年，2月20日，星期六第二步：选II型裂纹的

边界条件：，在处在处选取能够满足全部边界条件。35第35页，共44页，2023年，2月20日，星期六在裂纹表面处虚数36第36页，共44页，2023年，2月20日，星期六将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标当趋于常数,设:，右裂尖附近,

在很小范围内时

37第37页，共44页，2023年，2月20日，星期六第三步：用求II型裂尖附近的应力场和位移场

应力强度因子是在裂尖时存在极限，若考虑裂尖附近的一个微小区域，则有：若以极坐标表示复变量则可得到38第38页，共44页，2023年，2月20日，星期六平面应变平面应力把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式39第39页，共44页，2023年，2月20日，星期六平面应变平面应力3.撕开型(Ⅲ型)问题描述:无限大板,中心裂纹(穿透),无限远处受与方向平行的作用.反平面(纵向剪切)问题,其位移根据几何方程和物理方程:40第40页，共44页，2023年，2月20日，星期六单元体的平衡方程:位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.边界条件:41第41页，共44页，2