群论在晶体物理中的应用

群论在晶体物理中的应用第1页，共29页，2023年，2月20日，星期日什么是晶体稍有常识的人都知道，自然界的固体物质可以分成两大类，一类是晶体，另一类是非晶体。但在人们的印象中，晶体似乎是相当罕见的东西，实际上晶体却是非常常见的一类物体。自然界的冰、雪、组成大地的土壤和岩石中的所有各种矿物，以至我们吃的食盐、用的金属材料等等，莫不都是晶体。

第2页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶体什么样（1）第3页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶体什么样（2）第4页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶体什么样（3）第5页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶体什么样（4）第6页，共29页，2023年，2月20日，星期日这是什么？第7页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶体的概念晶体(crystal)，是内部原子或离子在三维空间成周期性平移重复排列的固体。或者说，晶体是具有格子构造的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在表现。第8页，共29页，2023年，2月20日，星期日空间格子不同晶体的具体格子构造各不相同，为了消除彼此间在质点种类和数目上不同的差异而提示出晶体构造的共同几何规律，首先要从具体的晶体格子构造中抽象出纯几何图形的空间格子。

第9页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶胞空间格子的重复规律表现在整个空间格子可以被划分成无数平行叠置的平行六面体。我们按照下列原则统一划分平行六面体，并称之为晶胞。(1)所选平行六面体的对称性应符合整个空间点陈的对称性。(2)在不违反对称的条件下，应选择棱与棱之间直角关系最多的平行六面体。(3)在遵守前两个条件下，应选体积最小的平行六面体。(4)当棱交角的关系不为直角时，在遵守前三个条件下，应选结点间距小的行列作棱，且棱交角要接近直角。第10页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶体的宏观对称晶体的几何外形等外部性质上的对称，是其内部格子构造对称的外在表现。对称(symmetry)的定义是：物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律重复。

对称变换(symmetryconversion)它是指：能够使对称物体（或图形）中的各个相同部分间作有规律重复的变换动作。对称要素(symmetryelements)则是指：在进行对称变换时所凭借的几何要素——点、线、面等。

第11页，共29页，2023年，2月20日，星期日不含平移变换的对称要素（1）对称中心：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个点的倒反。对称面：为一假想的平面，相应的对称变换为对此平面的反映。对称轴：为一假想的直线，相应的对称变换为围绕此直线的旋转：每转过一定的角度，各个相同部分就发生一次重复，亦即整个物体复原一次。

第12页，共29页，2023年，2月20日，星期日不含平移变换的对称要素（2）倒转轴：它的辅助几何要素有两个：一根假想的直线和此直线上的一个定点。相应的对称变换就是围绕此直线旋转一定角度及对于此定点的倒反。

第13页，共29页，2023年，2月20日，星期日两个结论晶体对称定律(lawofcrystalsymmetry)指出：在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次、六次的对称轴或倒转轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。

在理想晶体中，独立的对称要素只有八个，一次轴、二次轴、三次轴、四次轴、六次轴、对称中心、对称面，四次倒转轴。对称中心就是一次倒转轴，对称面是二次倒转轴，三次倒转轴等于一个三次轴加上一个对称中心。而六次倒转轴是等同于一个三次轴加一个垂直于该三次轴的一个对称面。

第14页，共29页，2023年，2月20日，星期日物理学坐标系

以立方体为例，建立起物理学坐标系，并介绍关于立方体的对称操作矩阵。我们以立方体的中心为原点，三个面的法线为坐标轴，构成物理学坐标系

第15页，共29页，2023年，2月20日，星期日变换操作矩阵的构成

以镜面反映为例，说明变换操作矩阵的构成。第16页，共29页，2023年，2月20日，星期日对称操作的符号化

一般我们把不变操作记作E，其矩阵是单位矩阵。中心反演的操作记为I。镜面反映操作记为。

绕对称轴旋转一基转角的操作记为，+表示逆时针转，-表示顺时针转。

绕倒转轴旋转一基转角的操作记为，+表示逆时针转，-表示顺时针转。

第17页，共29页，2023年，2月20日，星期日对称操作的规律（1）

首先，由某一个基本的操作多次地作用，可以产生一组操作，它等效于另外一个操作。第18页，共29页，2023年，2月20日，星期日对称操作的规律（2）事实上，理想晶形如果有一个对称操作P，也应有对称操作Pm，而且存在n使得(P)n=(E)，且m不大于n。

第19页，共29页，2023年，2月20日，星期日点群的构成我们把晶体宏观对称中的理想晶形的所有对称操作看成元素，把操作的乘法看成运算。(1)对于任何两个元素R3=R1R2，也是一个操作。

(2)对于不变操作E，对于任何一个对称操作R，满足ER=RE。

(3)对于每一个元素R，都有(R)(R)n-1=(E)。则对所有元素R，都存在R-1=Rn-1使得

RR-1=R-1R=E。(4)因为对称操作完全可以用它们的矩阵代表，所以可知，元素的积满足结合律，即：

R1(R2R3)=(R1R2)R3总共有32种点群第20页，共29页，2023年，2月20日，星期日相交定理相交定理：有限的理想晶形的任何两个对称要素必须相交于一点。

第21页，共29页，2023年，2月20日，星期日晶系的划分根据点群中高次轴（高于2次的对称轴）的有无和多少将晶体划分为三个晶族：高级晶族、中级晶族、低级晶族。再根据对称轴或倒转轴轴次的高低及数目的多少，总共划分七个晶系：等轴晶系，六方晶系，四方晶系，三方晶系，正交晶系，单斜晶系，三斜晶系。数学上是通过共轭类进行晶系的划分的。第22页，共29页，2023年，2月20日，星期日几种点群（1）α-石英：三方晶系，点群32，L33L2第23页，共29页，2023年，2月20日，星期日几种点群（2）方解石：三方晶系，对称型3m，L33L23PC第24页，共29页，2023年，2月20日，星期日几种点群（3）黄铜矿：四方晶系，点群42m，L4i2L22P第25页，共29页，2023年，2月20日，星期日几种点群（4）金刚石：等轴晶系，点群m3m，3L44L36L29PC晶体单形第26页，共29页，2023年，2月20日，星期日准晶体准晶体是1984年确定的一种新的凝聚态物体。这是由Shechtman和Cahn以及我国学者叶恒强和郭可信分别在快速冷却的Al12Mn和(Ti0.9V0.1)2Ni合金中各自独立发现的。目前认为，准晶体是一种其内部结构由多级呈自相似的配位多面体在三维空间作长程定向有序分布的固体。它可具有晶体所不能有的五次或高于六次的对称。目前已发现的有五次、八次及十二次对称轴。第27页，共29页，2023年，2月20日，星期日GameOver如果你对晶体很感兴趣，还有如下的知识可以去了解：单形、聚形、双晶、