2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题北京卷,含答案

2020北京高考理科数学试题第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。.已知集合A={—1,0,1},B={x|—1Wx<1},则AHB=( )A.{0} B.{—1,0}C.{0,1}D.{—1,0,1}.在复平面内，复数(2—i)2对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限.“@=冗”是“曲线y=sin(2x+@)过坐标原点的”A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.12艮313C.A.12艮313C.21610D.——987结束5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)二A.eA.e尢+i B.eiC.e-兀+1 D.e-i.若双曲线土-E=1的离心率为、5，则其渐近线方程为A.y=±2A.y=±2x B.y=±。2xC.y=±-x2D.则l与C所围成的图形的面积等于.直线l过抛物线C：x2则l与C所围成的图形的面积等于4D.A.- B.2D.3.设关于x，y的不等式组|x+m<0,表示的平面区域内存在点P(x°,y°)满足x°-2y0=2,求得my-m>0的取值范围是

A.f，-工\3rA.f，-工\3r 1)B. -8，£k 3r 5)D._g,一［k 37第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.一 兀.在极坐标系中，点（2,-）到直线PsinO=2的距离等于.若等比数列｛an｝满足%+%=20,%+&「40,则公比q=；前9项和Sj13.向量a,b13.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c二入a+ub（入，U£R）九.如图，在棱长为2的正方体ABC'AiB&Di中，E为BC的中点，点P在线段Dp上，点P到直线eq的距离的最小值为.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演2020年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程.（本小题共13分）_在4ABC中，a=3,b=2Y-,ZB=2ZA.（I）求cosA的值，（II）求c的值.（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天空气质量指数空气质量指数(I)求此人到达当日空气重度污染的概率(II)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。(III)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明).(本小题共14分)如图，在三棱柱ABC-AB£中，AA£C是边长为4的正方形.平面ABC，平面AA£C,AB=3,BC=5.(I)求证：aaj平面ABc； 11 11(II)求二面角，-BCjB］的余弦值；(I)证明：在线段BC存在点D,使得AD，AB,并求BD的值.1 1BC1C18.(本小题共13分)设l为曲线C：y=电x在点(1,0)处的切线.x(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方19.(本小题共14分)X2 .已知人、B、C是椭圆W： +y2=1上的三个点，O是坐标原点.4(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20.(本小题共13分)已知同｝是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an讨，an+2…的最小值记为Bn,dn=An-Bn n n+1 M+2(I)若｛an｝为2,，1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列(即对任意n£N*,an+4=an),写出d,d,d,d的值；(II)设d为.负整数，证明：d=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为｛a｝为公差为d的等差数列；(III)证明：若a=2,dn=1(n=1,n2,3…)，则｛an｝的项只能是1或2,且有无穷多项为12013北京高考教学题解析一•选翰&1、答案:B2、答案，D解析：（27，=4-4】•十产=3-43对应的复平面内点坐标为（3,Y）3、答案；A解析：审=力对，j=sin（2x+行）=-si：n2x，过原点，但是1函数过原点的时候中可以取M他值4、答案：CS011232（跳出）13IT5、答案：D依题意，/㈤句右平移一个单位之后得到的函数应该是『=。"，于是了⑺相当于J=〃句左平移一个单位的结果，所以/（＜）=6、答案：B出离心率为点，口J知。八瓦，所以我们有6=岳，渐近线方程为了=土？”土转方.a7、答案，C?的方程是了=1,所求面积相当于一个矩形面积减去Y积分值；—修四=4。偿『|《答案，c本题线性规划图示；要使可行域存在，必有m<—2m+1,要求可行域内包含直线TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 .—一―1 .y=-x—1上的点，只要边界点（一m,1—2m）在直线y=-x—1上方，且（-m,m）在直线y=-x—1下m<1一2m1 1 … 2方，解不等式组，一2m>—5m一1d^m<-3,1 ।m<—-m-1[ 2二.填空概g.i解析；极坐标系中点⑵对应直角坐标系中坐标为（书,极坐标系直域=2对应直角坐标系中直线方程为尸=2，所以距离为1藐用=丁也一2解析;：&十%=虱时十口J代入焉q=2）再根据马,十%=可@+*=2。有时=W所以4=2",利用求和公式可以得到工=2^-.2L4解析二由于阳；DB=9;16,设即=9/理=1勉，根据切割线定理有H'=PDPE有△=]所以尸。=上,在直用川口以中，有花=412回解析：5张舂现券分为4堆，有2个鞋号有4种分法，然后*种排列有#种方法第2页所以君数是4£.4解析：以向量。和日的交点为原点做直角坐标系，则小=(-□)£=@2),c=[-1,3)根据c=Aa+ph=>(-1,・斗=魂(_1,1)+;<6,2)有_尤+6#=1,/1十23=-3，,所以4=・2,4=一!2JU-=4.第5解析：过F做HH垂直上底面百及G。，过£作直爱££】垂直底面以耳GO】,鼻在爱眄C；上W到线段CJ的距离二发J.当点F在线段运动也最小值为g到线触遇的高所以最4喟就是44瓦的高，为挈三解答遢.在迷。中，a=3R=24&=21(1)求cos』的值(2)求c的值解析：(1)由条件口」以看出，已知的角关系，求角，明显应用止弦定理解决问题._:_3_2#_3_ 2#sinj4sinB sin.4sin2j4sin42sin/cos/初cos>l=—3(2)由已知两边和角求第三边，所以我们应用余弦定理求解

十/-23ccosj4=32=(2而『十c?-2x2而x*聚/一勿十15=0所以0=5， (舍)16.卜图是某市3月1d至14廿的空气质量指数趋势图，空气故里指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机1辨3月1日至3月13bl中的某质量优良,一天到达该市,开停第2天.一天到达该市,开停第2天.空气质量指数（1）求此人至＞1达当日空气重度污染的概率,（II）设工是此人停留期「反空气质量优艮的天数，求N的分布列与数学期望；（III）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）2解析：(1)/"=—13X012P34134百C,\14,4/12YH6DM=lx_+4x--y=-⑶5,6.7三大17.如图，在三棱柱相4号G中，网G。是边长大4的正方形.平面力50,平面MGC,AB=3,BC=5.（I）求证：期，平面的c；（II）求证二面角"-玲的余弦值；

(Ill)证明；在线段EG上存在点D,使得加？_L48,开求当的值.BC]解析:(1)4解析:(1)4月生在方形n网1AC平面月BC上平面447G工C=4工C=4〕(2)由EC=5}nROl^加=3J(2)建立如图所示的空间直角坐标系47B4(0A4),B[0,3,0)C；(4,0,4),用电3,4)4(0A4),B[0,3,0)C；(4,0,4),用电3,4)石=[4月⑼，率=巴多一4)^=(4-3,0).BB；=[0,0,4)设平面4^1的法向量为勺(外J"]卜平面&园的法向量为片2(心,了”句)第5第5页TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a9•4 16 16典H为15x525（3）设点D的竖轴坐标为C（0</<4）,在平面BCC］B］中作十处根据比例关系可知（3 、4 z人（心4-^=(0,3,-4)qI（4-f）-4t=025.BD_D£_9■■■——0—•BO】g25.（本小题共13分）设1为噫。:『=也在点（1,。）处的切线.•X:1）求［的方程;⑵证明；除切点（1,0）之外，般。在直线？的卜方.解；⑴十是凹门=1,因此1的方程为『=工-卜⑵只需要证明内>0且4HlMX-l>—bc/（x）=x（x-l）-lnx,x>0>则八"一二尸+2为此了卜）在（。，1）上单调递减，在（1,+8）单调递增.进而了6）二/1）=。，即原命题得证..（本小题共14分）巳知凡瓦C是椭员用：5+/=1上的三个点，。是坐标原点.①当点B是犷的右顶点，且四边形血C为菱形时，求此菱形的面积；⑵当点E不是部的顶点时，判断四边形血。是否可能为菱形，并说明理由.解：⑴线段oe的垂直平分线共工=1,att\AC\=1,进而菱形面积为；1叫四昌21=1•⑵四边形OABC不可能睡形.只需要证明若0A=0。，则A疝与。晅的横坐标:相等或互为相反数.设。月=。（7=＞则4C为圆X2十/=/与隔副人l史交点.因此华=/-1,于是结论得证.4.已知｛叫是由非负整数组成的无分数列，设数列前M项的最大值大小，第M项之后各项,anfl’…的最小值记为乱，&=4-耳•：1)若⑷为2」4,3,2」,4,3,…是f周期为4的数列,写出4,4，4，4的值;⑵该d是非负证明：4=-d(曰=1?213,…)的充分必要条件是是公差大d的舂差数列；㈤证明：若弓=2,4=1(汽=1,2,3,…)，则｛4｝列项只自曜1或者2,且有尢分多项为1.解：⑴由=1,d2=0j%=3,d4=2;⑵充分性：若依｝为公差为d的等差数列，则十是4.=牝=可十(口—1)京且=%*】=为十9・用此dn=An-Bn=-d(n=1,2,3,--•),必要性；若…d(m=1,2,3,…)，f阳殳巴是第一个使得4—4.1Y0的项，则4=4一目=41一名1-勺＞。，与&=-dW。矛盾•用此4是不够的数列.进而4=4-以=%-见虫=-1,即.-见=必因此凡是公差为d的等