结构动力学学习

结构动力学学习第1页/共58页2023/4/23DynamicsofStructures21.《结构力学(Ⅱ)》龙驭球、包世华主编，高等教育出版社参考教材2.《结构动力学及其应用》陆伟民、刘雁编著，同济大学出版社3.《结构动力学》包世华编著，武汉理工大学出版社4.《结构动力学》杨茀康编著，人民交通出版社第2页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.4两个自由度体系的自由振动1.5两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动*1.6一般多自由度体系的自由振动*1.7多自由度体系在任意荷载下的受迫振动*1.8无限自由度体系的自由振动1.9计算频率的近似法*1.10矩阵位移法求刚架的自振频率1.1动力计算概述1.2单自由度体系的自由振动1.3单自由度体系的受迫振动结构力学

动

*2结构动力分析方法简介*3SAP2000动力计算应用简介第3页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.1.1动力计算的特点1.1动力计算概述

1.1.2动力荷载的分类1.1.3动力计算的自由度第4页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.1.1动力计算特点

结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应（1）地震现场录像（2）地震振动台实验录像以地震荷载为例第5页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变，而且变得很快（1）Tacoma大桥风毁录像（2）南浦大桥风洞实验录像以风荷载为例第6页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23动力计算与静力计算的区别：加速度：

可否忽略，如何考虑？动力计算的内容：1.结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型2.荷载的变化规律及其动力反应。

（自由振动）

（受迫振动）1）牛顿运动定律2）惯性力√“动静法”（达朗伯原理）特点：考虑惯性力，形式上、瞬间的动平衡！建立微分方程，第7页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.1.2动力荷载的分类1）周期荷载2）冲击荷载3）随机荷载P(t)tPt简谐荷载一般周期荷载P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(t)t爆炸荷载1爆炸荷载2突加荷载地震波风、地震等第8页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23结构动力学的研究内容和任务当前结构动力学的研究内容可用下图表示输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第一类问题：反应分析（结构动力计算）第二类问题：参数（或称系统）识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第9页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23第三类问题：荷载识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第四类问题：控制问题输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）第10页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23

讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。本课程主要介绍结构的反应分析,其主要任务是：安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内力，作为强度设计的依据；舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过规范的许可值。)第11页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.1.3动力计算的自由度确定全部质量位置所需独立几何参数的个数

动力自由度：惯性力取决于质量分布及其运动方向mE、A、I、R体系振动自由度为？无限自由度(忽略)三个自由度(忽略轴向变形)(忽略转动惯量)自由度为？单自由度m以一简支梁为例：第12页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23集中质量法将分布质量集中到某些位置2EIEIEI无限→有限yy1y2θ(t)v(t)u(t)(a)单自由度(b)两个自由度(c)三个自由度(d)无限自由度第13页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23集中质量法几点注意：（1）体系动力自由度数不一定等于质量数一个质点两个DOF两个质点一个DOF复杂体系可通过附加链杆法确定体系的自由度两个质点三个DOF（2）体系动力自由度与其超静定次数无关（3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度转化m1m2yxxx第14页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.2.1单自由度体系自由振动微分方程的建立1.2单自由度体系的自由振动

1.2.2自由振动微分方程的解答1.2.3结构的自振周期和自振频率1.2.4阻尼对自由振动的影响第15页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23

重要性：1）初步估算；2）多自由度分析的基础1.2.1自由振动微分方程的建立以一悬臂柱为对象：mky模型1自由振动

初始位移初始速度同时作用

等效y(t)kmymky模型2“弹簧－小车”隔离体理解两模型中

“k”

含义第16页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23建立自由振动的微分方程

两种方法：1）刚度法2）柔度法—力的平衡—位移协调

刚度系数k柔度系数δ

概念理解

1δ建立方程（依据定义）1）刚度法：以模型2为对象2）柔度法：以模型1为对象一致第17页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.2.2自由振动微分方程的解答原方程：通解为：（初始条件）解为：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t第18页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23化成单项三角函数的形式解又可表达为：将其展开：相比较得：则：T0y(t)t自由振动总位移：第19页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23思考？重要特性1.2.3结构的自由周期和自振频率由式可知t经后，质体完成了一个振动周期，故T

为周期周期函数的条件:

y(t+T)=y(t)工程频率表示每秒钟内的振动次数秒内的振动次数为，称其为圆频率→频率（习惯）1)自振周期计算公式：2)自振频率计算公式：第20页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23[例1.1]

求图示梁结构的自振周期和自振频率例题分析mEIl/2l/2l/4解：为求柔度系数，在质点上加单位力1（图乘法）[思考]

比较图示结构的自振频率l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(b)(c)(a)<(b)<(c)第21页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率W解:

让振动质量向下单位位移需施加的力为：

k=czA=0.6×103×20=12×103kN/m自振频率为：[例1.2]第22页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23如图所示简支梁，先将一重为W的物体从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律[例1.3]hyyystW解:

自由落体后，以一定的初速度上下作自由振动，其振动平衡位置为yst设：其中：

因物体接触到梁体才开始振动初始条件第23页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23例如，设则则振动规律为：讨论：如果h＝0，即将物体无初速地放置在梁中点

比较结果可知，h＝10cm，时的振幅位移是h＝0的七倍。[具体例子比较]第24页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.2.4阻尼对自由振动的影响mky1)c不存在0y(t)tmky=0c2)c存在阻尼是客观存在的

振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。

（1）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力

（2）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼第25页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23考虑阻尼的振动模型y(t)mykykmc有阻尼模型建立动平衡方程标准化，得其中，——

称为阻尼比二阶常微分方程可变为：设特解为：特征方程为：解为：讨论？（1）令：则代数方程解：第26页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23则微分方程通解为：实部虚部初始条件也可tyykyk+1tkT低阻尼自由振动讨论？1)是一种衰减振动2)对自振频率的影响

当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中0.01<ξ<0.1此时，阻尼的影响可以忽略。低阻尼的情况－实际振动第27页/共58页DynamicsofStructures2023/4/233)对振幅的影响

振幅为

随时间衰减相邻两个振幅的比(一个T

)4)阻尼比的测定对数递减率设yk和yk+n

相隔n个周期，则工程上常用（2）解为：则微分方程通解为：再由初始条件得：tyy0θ0

这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。第28页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23临界阻尼常数为：临界阻尼比为：（3）体系不出现振动，很少遇到，不予讨论。[例1.4]图示屋盖系统加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：==wxk2=wxmc2=wwxm22mEI=∞9.8kN第29页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.3.1单自由度体系受迫振动微分方程的建立1.3单自由度体系的受迫振动

1.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应1.3.3一般荷载作用下结构的动力反应1.3.4阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响1.3.5有阻尼时的杜哈梅积分第30页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23

强迫振动结构在动力荷载作用下的振动1.3.1受迫振动微分方程的建立以一悬臂柱为对象：mky模型1

等效“弹簧－小车”

如何建立方程？y(t)kmymky模型2隔离体1）柔度法：以模型1为对象2）刚度法：以模型2为对象第31页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.3.2简谐荷载作用下结构的动力反应

简谐荷载

运动方程解的形式二阶常系数非齐次微分方程方程通解方程全解过渡阶段平稳阶段第32页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23简谐荷载的动力系数

平稳阶段：最大静位移最大动位移

动力系数1023123

共振思考？的重要特性第33页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23例题分析[例1.5]如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=11626cm4，I=726.7cm3，E＝2.1×108kPa。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n＝400r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，其竖向分量为，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载的动力系数和最大正应力。θtPPsinθt1)自振频率：2.5m2.5mEIQ解:2)荷载频率：3)动力系数：4)跨中截面最大正应力：第34页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min，求振幅及地基最大压力。解:

由[例1.2]已求出

k=12×103kN/m[例1.6]WP0sinθt前提同[例1.2]1)荷载频率:2)动力系数：3)竖向振动振幅:4)地基最大压力：第35页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.3.3一般荷载作用下结构的动力反应

基本思路：视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和Δttτt't't0tt瞬时冲量第36页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23一般动荷载的动力反应P(t)tτ(Duhamel积分)若：初始位移y0和初始速度v0不为零t时刻τ的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应微分冲量杜哈梅积分第37页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23几种动荷载的动力反应（1）突加荷载P(t)tPoysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动ystyst举例说明第38页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23

（2）短时荷载P(t)tPou（1）方法一：解决途径？（2）方法二：1）阶段Ⅰ(0<t<u)：同突加荷载：2）阶段Ⅱ

(t>u)：体系以作自由振动直接采用

Duhamel

积分利用突加荷载结论，分段讨论第39页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23（3）方法三：由两个突加荷载叠加而成还是利用突加荷载结论P(t)tPP(t)tPuP(t)tPu1)当0<ｔ<u2)当ｔ>u思路第40页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23最大动反应的求解主要针对u展开讨论ysty(t)ωt0π2π3πT/21）当u>T/2，最大动位移发生在阶段Ⅰ2）当0<u<T/2，最大动位移发生在阶段Ⅱβ1/611/22动力系数反应谱β(T,μ)第41页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23

（3）线性渐增荷载P(t)tP0tr

对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长短有很大的关系。01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0β动力系数反应谱β(T,tr)讨论：β与tr的关系第42页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.3.4阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响y(t)kmc计算简图myky列平衡方程简谐荷载方程的解齐次解（）＋特解（）设特解第43页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23讨论β与和的关系4.03.02.01.00β1.02.03.0ξ=0ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0动力系数反应谱1）当或时，可以不考虑阻尼的影响静荷载位移为02）当时，阻尼作用明显共振3）位移与动荷载相位差关系分三种情况第44页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min，考虑阻尼的影响，，求振幅及地基最大压力。解:

由[例1.2]已求出[例1.7]WP0sinθt1)荷载频率:2)动力系数：3)竖向振动振幅:4)地基最大压力：第45页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.3.5有阻尼时的杜哈梅积分有阻尼的瞬时振动（自由振动）由冲量引起的振动位移：时刻τ的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力反应：P(t)tτt微分冲量有阻尼杜哈梅积分地震作用有阻尼的平稳振动第46页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.4.1两个自由度体系自由振动微分方程的建立1.4两个自由度体系的自由振动

1.4.2频率方程和自振频率1.4.3主振型及主振型正交性1.4.4两个自由度体系自由振动方程的一般解第47页/共58页DynamicsofStructures2023/4/231.4.1两个自由度体系自由振动微分方程的建立（1）因结构特征必须简化为多自由度体系多层房屋不等高排架（2）为满足计算精度的要求烟囱高耸建筑物

基本方法刚度法柔度法按位移协调条件建立运动方程按质体平衡条件建立运动方程第48页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23（1）柔度法惯性力作用y1y2（m1m211d1212柔度系数建立方程注意物理意义怎样求柔度系数第49页/共58页DynamicsofStructures2023/4/23（2）刚度法惯性力作用y1y2（m