线性代数问题求解

线性代数问题求解第1页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.1矩阵

4.1.1特殊矩阵的输入数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵生成nn方阵：A=zeros(n),B=ones(n),C=eye(n)生成mn矩阵：A=zeros(m,n),B=ones(m,n),C=eye(m,n)生成和矩阵B同样位数的矩阵：A=zeros(size(B))第2页，共99页，2023年，2月20日，星期六随机元素矩阵若矩阵随机元素满足[0,1]区间上的均匀分布生成nm阶标准均匀分布伪随机数矩阵：A=rand(n,m)生成nn阶标准均匀分布伪随机数方阵：

A=rand(n)第3页，共99页，2023年，2月20日，星期六对角元素矩阵已知向量生成对角矩阵：

A=diag(V)已知矩阵提取对角元素列向量：

V＝diag(A)生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵：

A=diag(V,k)第4页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：diag()函数的不同调用格式>>C=[123];V=diag(C)%生成对角矩阵V=100020003>>V1=diag(V)'%将列向量通过转置变换成行向量V1=123>>C=[123];V=diag(C,2)%主对角线上第k条对角线为C的矩阵V=0010000020000030000000000第5页，共99页，2023年，2月20日，星期六生成三对角矩阵:>>V=diag([1234])+diag([234],1)+diag([543],-1)V=1200523004340034第6页，共99页，2023年，2月20日，星期六Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵

生成n阶的Hilbert矩阵：

A=hilb(n)

求取逆Hilbert矩阵：B=invhilb(n)第7页，共99页，2023年，2月20日，星期六Hankel(汉克)矩阵

其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。

H1=hankel(C)由Hankel矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零的Hankel矩阵第8页，共99页，2023年，2月20日，星期六Vandermonde(范德蒙)矩阵

第9页，共99页，2023年，2月20日，星期六伴随矩阵其中：P(s)为首项系数为1的多项式。

第10页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：考虑一个多项式2*x^4+4*x^2+5*x+6，试写出该多项式的伴随矩阵。>>P=[20456];A=compan(P)A=0-2.0000-2.5000-3.00001.000000001.000000001.00000第11页，共99页，2023年，2月20日，星期六符号矩阵的输入数值矩阵A转换成符号矩阵：

B=sym(A)例：>>A=hilb(3)A=1.00000.50000.33330.50000.33330.25000.33330.25000.2000>>B=sym(A)B=[1,1/2,1/3][1/2,1/3,1/4][1/3,1/4,1/5]第12页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.1.2矩阵基本概念与性质行列式格式：d=det(A)例：求行列式>>A=[162313;511108;97612;414151];det(A)ans=0第13页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>tic,A=sym(hilb(20));det(A),tocans=1/2377454716768534509091644243427616440175419837753486493033185331234419759310644585187585766816573773440565759867265558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000elapsed_time=2.3140高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。第14页，共99页，2023年，2月20日，星期六矩阵的迹格式：t=trace(A)矩阵的秩格式：r=rank(A)％用默认的精度求数值秩r=rank(A，)％给定精度下求数值秩矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。第15页，共99页，2023年，2月20日，星期六例>>A=[162313;511108;97612;414151];rank(A)ans=3该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。例>>H=hilb(20);rank(H)％数值方法ans=13>>H=sym(hilb(20));rank(H)%解析方法，原矩阵为非奇异矩阵ans=20第16页，共99页，2023年，2月20日，星期六矩阵范数第17页，共99页，2023年，2月20日，星期六矩阵的范数定义：格式：

N=norm(A)％求解默认的2范数N=norm(A，选项)％选项可为1,2,inf等第18页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：求一向量、矩阵的范数>>a=[162313];>>[norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,Inf)]ans=2.092844953645635e+0012.092844953645635e+0013.400000000000000e+0011.600000000000000e+001>>A=[162313;511108;97612;414151];>>[norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,Inf)]ans=34343434符号运算工具箱未提供norm()函数，需先用double()函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm()函数。第19页，共99页，2023年，2月20日，星期六特征多项式格式：C=poly(A)例：>>A=[162313;511108;97612;414151];>>poly(A)％直接求取ans=1.000000000000000e+000-3.399999999999999e+001-7.999999999999986e+0012.719999999999999e+003-2.819840539024018e-012>>A=sym(A);poly(A)％运用符号工具箱ans=x^4-34*x^3-80*x^2+2720*x第20页，共99页，2023年，2月20日，星期六矩阵多项式的求解第21页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>a=[1,2,3,4];A=[5,6;7,8];polyvalm(a,A)ans=1034120014001634

>>x=[7,8,9];polyval(a,x)ans=466668922第22页，共99页，2023年，2月20日，星期六符号多项式与数值多项式的转换格式：

f=poly2sym(P)或f=poly2sym(P,x)

格式：P=sym2poly(f)第23页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>P=[123456];%先由系数按降幂顺序排列表示多项式>>f=poly2sym(P,'v')%以v为算子表示多项式f=v^5+2*v^4+3*v^3+4*v^2+5*v+6>>P=sym2poly(f)P=123456第24页，共99页，2023年，2月20日，星期六矩阵的逆矩阵格式：C=inv(A)例：>>formatlong;H=hilb(4);H1=inv(H)H1=1.0e+003*0.01600000000000-0.119999999999990.23999999999998-0.13999999999999-0.119999999999991.19999999999990-2.699999999999761.679999999999840.23999999999998-2.699999999999766.47999999999940-4.19999999999961-0.139999999999991.67999999999984-4.199999999999612.79999999999974第25页，共99页，2023年，2月20日，星期六检验：>>H*H1ans=1.000000000000010.00000000000023-0.000000000000450.000000000000230.000000000000011.00000000000011-0.000000000000110.000000000000110.0000000000000101.0000000000001100.000000000000000.00000000000011-0.000000000000111.00000000000011计算误差范数：>>norm(H*inv(H)-eye(size(H)))ans=6.235798190375727e-013>>H2=invhilb(4);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=5.684341886080802e-014第26页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>H=hilb(10);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)))ans=0.00264500826202>>H2=invhilb(10);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=1.612897415528547e-005>>H=hilb(13);H1=inv(H);norm(H*H1-eye(size(H)))Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.339949e-018.ans=53.23696008570294>>H2=invhilb(13);norm(H*H2-eye(size(H)))ans=11.37062973181391对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv()，可用符号工具箱。第27页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>H=sym(hilb(7));inv(H)

ans=[49,-1176,8820,-29400,48510,-38808,12012][-1176,37632,-317520,1128960,-1940400,1596672,-504504][8820,-317520,2857680,-10584000,18711000,-15717240,5045040][-29400,1128960,-10584000,40320000,-72765000,62092800,-20180160][48510,-1940400,18711000,-72765000,133402500,-115259760,37837800][-38808,1596672,-15717240,62092800,-115259760,100590336,-33297264][12012,-504504,5045040,-20180160,37837800,-33297264,11099088]>>H=sym(hilb(30));norm(double(H*inv(H)-eye(size(H))))ans=0第28页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：奇异阵求逆>>A=[162313;511108;97612;414151];>>formatlong;B=inv(A)Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=1.306145e-017.(%条件数，1为好，0为差。）B=1.0e+014*0.938249922368852.81474976710656-2.81474976710656-0.938249922368852.814749767106568.44424930131968-8.44424930131968-2.81474976710656-2.81474976710656-8.444249301319688.444249301319682.81474976710656-0.93824992236885-2.814749767106562.814749767106560.93824992236885>>norm(A*B-eye(size(A)))％检验ans=1.64081513306419>>A=sym(A);inv(A)％奇异矩阵不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具箱的函数也不行???Errorusing==>sym/invError,(ininverse)singularmatrix第29页，共99页，2023年，2月20日，星期六同样适用于含有变量的矩阵求逆。例：>>symsa1a2a3a4;>>C=[a1a2;a3a4]；>>inv(C)

ans=

[-a4/(-a1*a4+a2*a3),a2/(-a1*a4+a2*a3)][a3/(-a1*a4+a2*a3),-a1/(-a1*a4+a2*a3)]第30页，共99页，2023年，2月20日，星期六矩阵的相似变换与正交矩阵

其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化，其值与A矩阵完全一致。对于一类特殊的相似变换满足如下条件，称为正交基矩阵。第31页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[5,9,8,3;0,3,2,4;2,3,5,9;3,4,5,8];>>Q=orth(A)Q=-0.61970.7738-0.0262-0.1286-0.2548-0.15510.94900.1017-0.5198-0.5298-0.1563-0.6517-0.5300-0.3106-0.27250.7406>>norm(Q'*Q-eye(4))ans=4.6395e-016>>norm(Q*Q'-eye(4))ans=4.9270e-016第32页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>C=Q'*A*QC=17.92516.4627-4.4714-2.0354-0.02821.71944.6816-5.07350.6800-0.93861.06740.6631-0.05490.36580.17760.2882>>det(A),det(C)ans=120ans=120.0000第33页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>trace(A),trace(C)ans=21ans=21.0000>>rank(A),rank(C)ans=4ans=4第34页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>eig(A),eig(C)ans=17.82051.1908+2.6499i1.1908-2.6499i0.7979ans=17.82051.1908+2.6499i1.1908-2.6499i0.7979

第35页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[16,2,3,13;5,11,10,8;9,7,6,12;4,14,15,1];>>Q=orth(A)％A为奇异矩阵，故得出的Q为长方形矩阵Q=-0.50000.67080.5000-0.5000-0.2236-0.5000-0.50000.2236-0.5000-0.5000-0.67080.5000>>norm(Q'*Q-eye(3))%Q*Q‘=~Ians=1.0140e-015第36页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.2线性方程组直接解法

4.2.1线性方程组直接求解－矩阵除法关于线性方程组的直接解法，如Gauss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等，在MATLAB中，只需用“／”或“\”就解决问题。它内部实际包含着许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程时它将给出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等等。格式：

x=A\b第37页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：解方程组>>A=[.4096,.1234,.3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129;.3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927];>>b=[0.40430.15500.4240-0.2557]';>>x=A\b;x'ans=-0.1819-1.66302.2172-0.4467第38页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.2.2线性方程组直接求解－判定求解第39页，共99页，2023年，2月20日，星期六第40页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[1234;4321;1324;4132];B=[51;42;33;24];>>C=[AB];rank(A),rank(C)ans=4ans=4>>x=inv(A)*B%A\B

x=-1.80002.40001.8667-1.26673.8667-3.2667-2.13332.7333第41页，共99页，2023年，2月20日，星期六检验>>norm(A*x-B)ans=7.4738e-015精确解>>x1=inv(sym(A))*Bx1=[-9/5,12/5][28/15,-19/15][58/15,-49/15][-32/15,41/15]检验>>norm(double(A*x1-B))ans=0第42页，共99页，2023年，2月20日，星期六原方程组对应的齐次方程组的解求取A矩阵的化零矩阵：格式：Z=null(A)求取A矩阵的化零矩阵的规范形式：格式：Z=null(A,‘r’)第43页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：判断可解性>>A=[1234;2211;2468;4422];B=[1;2;4;6];>>C=[AB];[rank(A),rank(C)]ans=22>>Z=null(A,'r')%解出规范化的化零空间，其列向量为方程左边=0的一组基础解。Z=2.00003.0000-2.5000-3.5000％1.0000001.0000第44页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>x0=pinv(A)*B%得出一个特解x0=0.95420.7328%全部解-0.0763-0.2977验证得出的解>>a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的随机数>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(A*x-B)ans=4.4409e-015第45页，共99页，2023年，2月20日，星期六解析解>>Z=null(sym(A))Z=[2,3][-5/2,-7/2][1,0][0,1]>>x0=sym(pinv(A)*B)x0=[125/131][96/131][-10/131]％[-39/131]第46页，共99页，2023年，2月20日，星期六验证得出的解>>a1=randn(1);a2=rand(1);%取不同分布的随机数>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;norm(double(A*x-B))ans=0通解>>symsa1a2;>>x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0x=[2*a1+3*a2+125/131][-5/2*a1-7/2*a2+96/131][a1-10/131][a2-39/131]第47页，共99页，2023年，2月20日，星期六摩尔－彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解不满足原始代数方程。A=[1234;2211;2468;4422];B=[1;2;4;6];>>C=[AB];[rank(A),rank(C)]x0=0.78470.64430.0412-0.0992第48页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.2.3线性方程组的直接求解分析LU分解

第49页，共99页，2023年，2月20日，星期六第50页，共99页，2023年，2月20日，星期六第51页，共99页，2023年，2月20日，星期六格式

[l,u,p]=lu(A)

L是一个单位下三角矩阵，u是一个上三角矩阵，p是代表选主元的置换矩阵。故：Ax=y=>PAx=Py=>LUx=Py=>PA=LU

[l,u]=lu(A)其中l等于P-1L，u等于U，所以(P-1L)U=A第52页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：对A进行LU分解>>A=[123;241;467];>>[l,u,p]=lu(A)l=1.0000000.50001.000000.25000.50001.0000u=4.00006.00007.000001.0000-2.5000002.5000p=001010100第53页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>[l,u]=lu(A)％l＝P-1Ll=0.25000.50001.00000.50001.000001.000000u=4.00006.00007.000001.0000-2.5000002.5000第54页，共99页，2023年，2月20日，星期六QR分解

将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。

格式：

[Q,R]=qr(A)第55页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[123;456;789;101112];>>[Q,R]=qr(A)Q=-0.0776-0.83310.5456-0.0478-0.3105-0.4512-0.69190.4704-0.5433-0.0694-0.2531-0.7975-0.77620.31240.39940.3748R=-12.8841-14.5916-16.29920-1.0413-2.082600-0.0000000第56页，共99页，2023年，2月20日，星期六Cholesky(乔里斯基)分解若矩阵A为n阶对称正定阵,则存在唯一的对角元素为正的三角阵D，使得

第57页，共99页，2023年，2月20日，星期六格式：

D=chol(A)第58页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：进行Cholesky分解。>>A=[1648;45-4;8-422];>>D=chol(A)D=41202-3003第59页，共99页，2023年，2月20日，星期六利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解

（1）LU分解：A*X=b变成L*U*X=b所以X=U\(L\b)这样可以大大提高运算速度。例：求方程组的一个特解。解：>>A=[42-1;3-12;1130];>>B=[2108]';>>D=det(A)%非满秩矩阵D=0第60页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>[L,U]=lu(A)L=0.3636-0.50001.00000.27271.000001.000000U=11.00003.000000-1.81822.0000000.0000第61页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>X=U\(L\B)Warning:Matrixisclosetosingularorbadlyscaled.Resultsmaybeinaccurate.RCOND=2.018587e-017.X=1.0e+016*%结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。-0.4053%可以通过A*X验证其正确性。

1.48621.3511>>A*X%Matlab7.0显示没有解ans=088第62页，共99页，2023年，2月20日，星期六（2）Cholesky分解若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，方程A*X=b变成R’*R*X=b所以X=R\(R’\b)（3）QR分解对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程A*X=b变形成QRX=b所以X=R\(Q\b)

这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。第63页，共99页，2023年，2月20日，星期六三个变换在线性方程组的迭代求解中，要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。上三角变换：格式triu(A,1)对角变换：格式diag(A)下三角变换：格式tril(A,-1)例：对此矩阵做三种变换。第64页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>A=[12-2;111;221];％>>triu(A,1)ans=02-2001000>>tril(A,-1)ans=000100220>>b=diag(A);b'ans=111第65页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.3迭代解法的几种形式

5.3.1Jacobi迭代法方程组Ax=bA可写成A=D-L-U其中:D=diag[a11,a22,…,ann],-L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）.由Ax=b＝>x=Bx+f由此可构造迭代法：x(k+1)=Bx(k)+f其中：B=D-1(L+U)=I-D-1A,f=D-1b.第66页，共99页，2023年，2月20日，星期六functiony=jacobi(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endn第67页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：用Jacobi方法求解，设x(0)=0,精度为10-6。>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>jacobi(a,b,[0;0;0])n=11ans=0.99580.95790.7916第68页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.3.2Gauss-Seidel迭代法由原方程构造迭代方程x(k+1)=Gx(k)+f其中：G=(D-L)-1U,f=(D-L)-1bD=diag[a11,a22,…,ann],-L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）.第69页，共99页，2023年，2月20日，星期六functiony=seidel(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=G*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;endn第70页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：对上例用Gauss-Seidel迭代法求解>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>seidel(a,b,[0;0;0])n=7ans=0.99580.95790.7916例：分别用Jacobi和G-S法迭代求解,看是否收敛。第71页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>a=[12-2;111;221];b=[9;7;6];>>jacobi(a,b,[0;0;0])n=4ans=-27268>>seidel(a,b,[0;0;0])n=1011ans=1.0e+305*-InfInf-1.7556第72页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.3.3SOR迭代法在很多情况下，J法和G-S法收敛较慢，所以考虑对G-S法进行改进。于是引入一种新的迭代法－逐次超松弛迭代法（SuccesiseOver-Relaxation),记为SQR法。迭代公式为：X(k+1)=(D-wL)-1((1-w)D+wU)x(k)

+w(D-wL)-1b其中：w最佳值在[1,2）之间，不易计算得到，因此w通常有经验给出。第73页，共99页，2023年，2月20日，星期六functiony=sor(a,b,w,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);M=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);f=(D-w*L)\b*w;y=M*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=M*x0+f;n=n+1;endn第74页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：上例中，当w=1.103时，用SOR法求解原方程。>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>sor(a,b,1.103,[0;0;0])n=8ans=0.99580.95790.7916第75页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.3.4两步迭代法当线性方程系数矩阵为对称正定时，可用一种特殊的迭代法来解决，其迭代公式为：（D-L）x(k+1/2)=Ux(k)+b（D-U）x(k+1)=Lx(k+1/2)+b=>x(k+1/2)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1bx(k+1)=(D-U)-1Lx(k+1/2)+(D-U)-1b第76页，共99页，2023年，2月20日，星期六functiony=twostp(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G1==(D-L)\U;f1=(D-L)\b;G2==(D-U)\L;f1=(D-U)\b;y=G1*x0+f1;y=G2*y+f2;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=G1*x0+f1;y=G2*y+f2;n=n+1;endn第77页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：求解方程组>>a=[10-120;-111-13;2-1103;03-18];>>b=[6;25;-11;15];>>twostp(a,b,[0;0;0;0])n=7ans=1.07911.9824-1.40440.9560第78页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.4线性方程组的符号解法在MATLAB的SymbolicToolbox中提供了线性方程的符号求解函数，如

linsolve(A,b)%2009a/b只能求数值解等同于X=sym(A)\sym(b).

solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')第79页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]；>>b=[9;7;6]；>>linsolve(A,b)ans=

0.99580.95790.7916第80页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>[x,y]=solve('x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0','x','y')

x=[1][3]

y=[1][-3/2]

第81页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.5稀疏矩阵技术稀疏矩阵的建立：格式S=sparse(i,j,s,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应元素值为s。例：>>n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n)a1=(1,1)4(2,2)4(3,3)4(4,4)4(5,5)4第82页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n)a2=(2,1)1(3,2)1(4,3)1(5,4)1>>full(a2)ans=0000010000010000010000010第83页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：n=5,建立主对角线上元素为4，两条次对角线为1的三对角阵。>>n=5;a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);>>a=a1+a2+a2'a=(1,1)4(2,1)1(1,2)1(2,2)4(3,2)1(2,3)1(3,3)4(4,3)1第84页，共99页，2023年，2月20日，星期六(3,4)1(4,4)4(5,4)1(4,5)1(5,5)4>>full(a)ans=4100014100014100014100014第85页，共99页，2023年，2月20日，星期六格式A=spdiags(B,d,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，使得B的列放在由d指定的位置。例：>>n=5>>b=spdiags([ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1)],…[-1,0,1],n,n);>>full(b)ans=4100014100014100014100014第86页，共99页，2023年，2月20日，星期六格式：spconvert(dd)对于无规律的稀疏矩阵，可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵。调用形式为：先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的.dat文本文件，再用此命令转化为稀疏矩阵。例：无规律稀疏矩阵的建立。首先编制文本文件sp.dat如下：515.00358.00442.00550第87页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>loadsp.dat>>spconvert(sp)ans=(5,1)5(4,4)2(3,5)8>>full(ans)ans=0000000000000080002050000第88页，共99页，2023年，2月20日，星期六稀疏矩阵的计算：同满矩阵比较，稀疏矩阵在算法上有很大的不同。具体表现在存储空间减少，计算时间减少。例：比较求解下面方程组n＝1000时两种方法的差别。第89页，共99页，2023年，2月20日，星期六>>n=1000;>>a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n);>>a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n);>>a=a1+a2+a2';>>b=ones(1000,1);>>tic;x=a\b;t1=toct1=0.4800>>a=full(a);>>tic;x=a\b;t2=toct2=1.3220第90页，共99页，2023年，2月20日，星期六4.6矩阵的特征值问题

4.6.1一般矩阵的特征值与特征向量格式：d=eig(A)只求解特征值。格式：[V,D]=eig(A)求解特征值和特征向量。第91页，共99页，2023年，2月20日，星期六例：直接求解：>>A=[162313;511108;97612;414151];>>eig(A)ans=34.00008.9443-8.94430.0000第92页，共99页，2023年，2月20日，星期六精确解：>>eig(sym(A))ans=[0][34][4*5^(1/2)][-4*5^(1/2)]高精度数值解：>>vpa(ans,70)ans=[0][