#2013学年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列Word版及答案

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1．（年高考上海卷（理））在数列｛a｝中a—2n-1．（nn行第列的元素a―a•a+a+ai―1,2,,7;j—1,2,,12则该矩阵元素能取到i,jijij的不同数值的个数为 ・.. ...【答案】年3普通高等学校招生统一测试大纲版数学（理）版含答案（已校对））已知数列{a年3普通高等学校招生统一测试大纲版数学（理）版含答案（已校对））已知数列{a}满足3an n+1(A—)61—3—10+a=0,a=-4则｛a｝的前项和等于3n—(3—B10))3((1C—)3—10)3(1+3—1。)【答案】．（201年3高考新课标(理))设AABCnn．（201年3高考新课标(理))设AABCnn的三边长分别为a,b,c

nnSn=1,2,3,若b>c,b+c=2an为递减数列为递增数列【答案】1 11 1为递减数列a1 n+1c+a—a,b ——n n,cnn+1 2}为递增数列B.{

为递减数列n+1AABC的面积为nnnb+a二1n M贝u乙为递增数列版））函数y=f版））函数y=f（x）的图像如图所示在区间L,b］上可找到n（n>2）个不同的数x,x…,x，使得12nf(x)f(x)f(x)——J=——>=———,则Un的取值氾围是xxx12n{3,4}{2,3,4{3,4}{2,3,4}{3,4,5}{2,3}【答案】版））已知等比数列年3普通高等学校招生版））已知等比数列｛a｝的公比为记b—a+a+｛a｝的公比为记bm(n—1)+1 m(n—1)+2 m(n—1)+m

c=a•a•…•a（m,neN*）,则以下结论一定正确的是n m（n-1）+1 m（n一1）+2 m（n一1）+m数列｛b｝为等差数列公差为qm数列｛b｝为等比数列公比为q2mnn数列｛c｝为等比数列公比为qm2 数列｛c｝为等比数列公比为qmmnn版含答案））等比数版含答案））等比数.（ 年普通高等学校招生统一测试新课标II卷数学（理）（纯列la｝的前n项和为Sn已知S列la｝的前n项和为Sn已知S=a+10a32 1a=9则a—

51【答案】.（3年高考新课标（理））设等差数列｛a｝的前n项和为nS,S —-2,S=0,S―3则m―nm-1m m+1【答案】.（ 年普通高等学校招生统一测试辽宁数学（理）试题【答案】.（ 年普通高等学校招生统一测试辽宁数学（理）试题（版））下面是关于公差d>0的等差数列（a）的四个命题np:数列｛a｝是递增数列；1np:数列｛na｝是递增数列;2np3：p3：数列,彳，是递增数列;其中的真命题为（Ap）,p p,（pB）12 34【答案】p:数列IJ{a+3nd}是递增数列;4np2,p3p1(,pD4.（ 年高考江西卷（理））等比数列 的第四项等于【答案】二、填空题0年高考四川卷（理））在等差数列｛a｝中a-a-8且a为a和a的等比中项n 21 4 2 3求数列｛a｝的首项、公差及前n项和n【答案】解设该数列公差为d前n项和为s由已知可得n

2a+2d=8,(a+3d)=(a+d)(a+8d)TOC\o"1-5"\h\z1 1 11所以a+d=4,d(d一3a)=011解得a=4,d=0或a=1,d=3即数列｛a｝的首相为 公差为 或首相为公差为11 n“ 3n2一n所以数列的前n项和s=4n或s=——n n2.（ 年普通高等学校招生统一测试新课标II卷数学（理）（纯 版含答案））等差数列｛a｝的前n项和为S已知S=0,S=25则nS的最小值为n n 10 15 n【答案】一4912.（201年3高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三n（n+1）1 1 1角形数 第n个三角形数为一--=5n2+-n记第n个k边形数为乙 乙 乙N（n,k）（k>3）以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式三角形数正方形数五边形数六边形数N(n,3)=—n2+—n2 2三角形数正方形数五边形数六边形数N(n,4)=n2N(n,5)=—n2一nn2 2N(n,6)=2n2-n可以推测N（n,k）的表达式由此计算N（10,24）=选考题【答案】1000.（ 年普通高等学校招生全国统一招生测试江苏卷（数学）（已校对纯 版含附加题））在正项等比数列｛a｝中a=—a+a=3则满足a+aH Fa>aa…a的n 5 2 6 7 1 2 n12n最大正整数n的值为【答案】124 年高考湖南卷（理））设S为数列｛a｝的前项和S=（一1）na一［,neN*，则n n n n2na= S+S+・・・+S=3 1 2 100

111【答案】-163(2100一1)年3普通高等学校招生统一测试福建数学（理）试题（纯1时有如下表达式1+x+x2+...+xn+...= 1-x—X—dx.1一x两边同时积分得J2^1^dix+J2xdx+J2x2dx+...+J2xndx+—X—dx.1一x111 11 1 1从而得到如下等式1义7；+:;■义(7)2+；*()3+...+ ;*(―)n+1+...-ln2.22 2 3 2n+1 2请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:C0义-+-C1义(-)2+-C2*(1)3+...+1—Cn义(1)n+1-n22n2 3n2n+1n2【答案】」t[(3)n+1-1]n+12年普通高等学校招生统一测试重庆数学（理）试题（含答案））已知{a}是等差数n列a-1公差d丰0S为其前n项和若a,a,a成等比数列则S-1 n 125 8【答案】647．（201年3上海市春季高考数学试卷（含答案））若等差数列的前6项和为23前,9项和为则数列的前n项和S=n57【答案】-n2-n66a+a-10中,已知3 83aa+a-10中,已知3 83a+a{a}版））在等差数列an【答案】2019．（201年3高考陕西卷（理））观察下列等式:12-112一22-一312一22+32-612一22+32一42-一10（-1）n+1照此规律第个等式可为12-22+32-…+（-1）"1口2二---n（n+1）(-1)n+1【答案】12-22+32 +(-1)n-1n2 n(n+1)221年高考新课标（理））若数列a的前项和为-a+-则数列a的通n 3n3 n项公式是an【答案】a（一2）n-1n.（ 年普通高等学校招生统一测试安徽数学（理）试题（纯版））如图互不相同的点A,A,X,和B,B,B,分别在角的两条边上所有AB相互平行且所有1 2 n 1 2n nn梯形ABBA 的面积均相等设OA=a.若a=1,a=2,则数列｛a｝的通项公式是nn.nt1n+1... ... ..nn1 2 n【答案】a=-3nn-2,neN*n.（年高考北京卷（理））若等比数列满足 则公比前项和【答案】2n+1-23 年普通高等学校招生统一测试辽宁数学（理）试题（ 版））已知等比数列｛a｝n是递增数列S是｛a｝的前n项和若a,a是方程x2-5x+4=0的两个根则n n 13S=6【答案】63三、解答题.（ 年普通高等学校招生统一测试安徽数学（理）试题（纯 版））设函数f(x)=—1+x+一+—++一(xeR,neNn)证明n 2232 n2(I)对每个neNn存在唯、的Txe[2,1]满足f(x)=0n3 nn

(II)对任意pGNn由(I)中X构成的数列｛x｝满足0<x—X<1n n nn+pnTOC\o"1-5"\h\z【答 案】 解 (I);当X>0时，尸'是单调递增的f(X)=-1+X+*+上+工+…+乃是的n2 n 223242 n2单调递增函数也是 的单调递增函数 W(。)=-1<0,f(1)>-1+1=0n nn存在唯一xg(0,1],满足f(x)=0,且1>x>x>x…x>0n nn 12 3nXnX2<—1+X+—,XnX2<—1+X+—,4当XG(0,1).时,f(X)«—1+X+ + + +•…+ n 22 22 22 22X2 1n0—f(x)<—1+x+一- n(x—2)(3x—2)<0nxnnn41—xnn nn证毕)、， r2 证毕)综上对每个ngNn存在唯一的Xg[-,1]满足f(x)―0n3 nnTOC\o"1-5"\h\zX2 X3 X4 Xn(II)由题知1>X>X>0,f(X)——1+X+—n—+—n—+—n—+•・・+—n——0nn+p nn n22 32 42 n2X2X3X4 XnXn+1 X n+pf (X )——1+X+ n+p + n+p + n+p + +n+p +—n+p——+ +—3 ―0n+p n+p n+p 22 32 42 n2 (n+1)2 (n+p)2上 式 相减X2X3X4 Xn X2X3X4 XnX n+1 X n+pX+ ―n- + ——n—+——n-+■・♦+ ——n— —X +——n+p—+-n+p— +——n+p—+….+ ——n+p— + —n+p +….+ n+p n 22 32 42n2 n+p 22 32 42 n2 (n+1)2 (n+p)2X2-X2X3-X3X4-X4Xn-XnXn+1 X n+pTOC\o"1-5"\h\zX-X =(-n+p n +-n+p n +-n+p n +…+―n+p n-)+(-n+p +…+—n+p )nn+p 22 32 42 n2 (n+1)2 (n+p)21 1 1 1——— <-nx-x<—nn+pnn n+p n法二解析：证明：（1）对每个nENZ当上>0时1月⑺=1+：+-，T三一>0.故£1（0在（4+8）内单调递增.由于fl⑴=口.节n?？时f儿（1）=了十/+--+声=0‘故£/】）学山又筛G）=一1+g+£罟近一：+差针=U蜕守…所以存在唯一的招LE6"满足几年tJ=江⑶当M>0时・%+上⑸=加工）+；：户>加办故31—>>fM=A+i（t„+1）=0.由九十M0在〔吹十工）内垠倜递增知.凸住<小.故（工口）为垠调递藏数列.从而对任意吗pWN",zn+p<h~对任意PEN3由于工空 工11Jrt｛工X）=—】于叫L+痣+'-r+上上 nz年高考上海卷（理））分分分给定常数。年高考上海卷（理））分分分给定常数。>0定义函数f(f(x)=21x+c+41-1x+cI数列-2，03,满足o=f(a),n£N*

n+1 n若a=-c-2求a及a1 2 3求证对任意力£N*若a=-c-2求a及a1 2 3an，成等差数列若存在求出所有这样的ai若不存在说明理由【答案】因为c>0a=-(c+2)故a=f(a)=21a+c+41-1a+cI=2【答案】1 2 1 1 1a=f(a)=21a+c+41-1a+cI=c+1031 2 2

要证明原命题只需证明f（x）>X+C对任意xeR都成立f(x)>x+co21x+c+41—Ix+cl>x+c即只需证明21x+c+4l>lx+cI+x+c若x+c<0显然有2Ix+c+4I>Ix+cI+x+c=0成立若x+c>0贝U21x+c+4I>Ix+cI+x+cox+c+4>x+c显然成立TOC\o"1-5"\h\z综上f(x)>x+c恒成立即对任意的neN*a—a>cn+1 n由知若｛a｝为等差数列则公差d>c>0故无限增大时总有a>0nn止匕时a=f(a)=2(a+c+4)—(a+c)=a+c+8n+1 n n n n即d=c+8=f(a)=21a+c+41—Ia+cI=a+c+811 11即21a+c+4I=Ia+cI+a+c+8i i i当a+c>0时等式成立且n>2时a>0此时｛a｝为等差数列满足题意1 n n若a+c<0则UIa+c+4I=4na=—c—811 1此时a=0,a=c+8,,a=(n—2)(c+8)也满足题意2 3 n综上满足题意的％的取直范围是［—c+⑹3—c-8｝.（ 年普通高等学校招生全国统一招生测试江苏卷（数学）（已校对纯 版含附加题））本小题满分分k个设数列｛a ｝：1, 2 2,3,, 3,,3 ,4,4, ,4(-14k, ,( )k1ki 即当n1)k—1k■记S'=a+a1)k—1k■记S'=a+a'人+aQeN+)

n1 2 nneN+,且1<n<J… <n< keN+J时a=(2 2 n于leN+定义集合P=｛nS是a的整数倍，l nn求集合Pu中元素的个数求集合匕。。。中元素的个数【答案】本题主要考察集合数列的概念与运算计数原理等基础知识考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力解 由数列^}的定义n得a=1a=-2a=—2a=3a=3a=3a=—4a=—4a=—4TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 5 6 7 8 9a--4a=510 11：.S=1S=-lS=—3S=0S=3S=6S=2S=-2S=-61 2 3 4 5 6 7 8 9s=—ios=—510 11S=1•«S=0•aS=l9aS S=-1•«1 1 4 4 5 5 6 6 11 11・•・集合P中元素的个数为11证明用数学归纳法先证S =-i(2i+l)z(2z+l)事实上当i=l时S=S=—1・(2+1)=—3故原式成立z(2z+l) 3假设当z•二加时等式成立即S =-m*(2m+l)故原式成立771(2/71+1)则i=m+l时S =S=S+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2(m+l)[2(m+l)+l} (m+l)(2m+3) m(2m+l)--(2m2+5m+3)=-(m+1)(2m+3)综合①②得S=-i(2i+1)于是z(2z+l)S=S+(2z+1)2=-f(2z+1)+(2z+1)2=(2z+l)(z+1)(z+l)[2z+l) z(2z+l)由上可知s是(2R1)的倍数z(2z+l)而〃=2"1()=1,2,…2+1)所以S=S+j(2i+l)是(z+l)(2z+l)+j z(2/+l)+j z(2z+l)a(/=12…2+1)的倍数(z+l)(2z+l)+j又S=(i+l)(2i+1)不是2+2的倍数(z+l)[2z+l)而〃二—(2i+2)(j=12…2+2)(z+l)(2z+l)+j所以s=S-j(2f+2)=(2f+1)(/+1)-j(2i+2)不是(z+l)(2z+l)+j(z+l)(2z+l)

a(j=1,2,…2+2)的倍数(i+1)(2i+1}+j故当/=i(2i+1)时集合P中元素的个数为1+3+…+⑵-1)=i2l于是当l=i(2i+1)+j(1<j<2i+1)时集合Pl中元素的个数为i2+j又2000=31x(2x31+1)+47故集合P 中元素的个数为312+47=10082000.（ 年普通高等学校招生统一测试浙江数学（理）试题（纯版））在公差为d的等差数列出｝中已知％=10且限a2+2,5a3成等比数列(求d,a 若d(<0求IaI+1aI+1aI+…+1aI.TOC\o"1-5"\h\zn 12 3 n【答案】解：(1)由已知得到：(2a+2)2=5aan4(a+d+1)2=50(a+2d)n(11+d)2=25(5+d)、2 13 、1 / 、1[d=4 、d=—1n121+22d+d2=125+25dnd2-3d-4=0n( 或〈Ia=4n+6Ia=11一nn n(11)由(知当d<0时叫=11一nfn①当1<n<11时n(10+11一n)_n(21—n)a20.」aI+1aI+1aI++1aI—a+a+a++a- - TOC\o"1-5"\h\zn1 2 3皿n n 2 2②当12<n时+a++a —(a+a++a)3mn12 13方Ja<0「」aI++a++a —(a+a++a)3mn12 13方Jn 1 2 3mzi1 2—2(a+a+a++a)—(a+a+a+—2(a+a+a++a)—(a+a+a++a)—2x1 2 3皿'1 2 3方J2 2 2n(21—n)”^,(1<n<11)所以综上所述：Ia1I+Ia2I+Ia3I+皿+1anl-L2—21n+220,cI2，(n212)年高考湖北卷（理））已知等比数列｛a｝满足：a—a-10aaa-125n 2 3 123（求数列｛a｝的通项公式n（ 是否存在正整数m使得-+—+aa1 2111（ 是否存在正整数m使得-+—+aa1 2111=-1—+—++——aaa12m111.9—+—++———aaa1012mnn若q=31-(若q13]k3)-5或0不存在这样的正整数m9一— …<W不存在这样的正整数m+—>1若存在求m的最小值若不存在说am明理由【答案】解：（由已知条件得：a2=5又a2k-1|=10.・.q=-1或3所以数列｛a｝的通项或a=5x3n-2年普通高等学校招生统一测试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列｛a｝的n前项和为S前项和为S且S=4S

n4a=2a+1（I）求数列｛a｝的通项公式

（I）求数列｛a｝的通项公式

n（II）设数列｛b｝前项和为T且=九（九为常数）令c=b（neN*）求数

n2n列｛c｝的前项和Rnn【答案】解：（I）设等差数列｛1｝的首项为a1公差为da+(2n-1)=2a+2(n-1)d+1解得a1=1d=解得a1=1d=2因此a=2n-1(neN*)nT=九-—（I）由题意知：n2n-1所以n>2时nnn-1 2n-1 2n-22n 22n-1=(2n 22n-1=(n-1)(—)n-14 (ngN*)R所以n=0X(4)0+1X(4)1+2X(4)2+3X(4)3+…+(n-1)X(4)n-1-R则4n=0X(4)1+1x(4)2+2X(4)3+…+(n-2)X(4)n-1+(n-1)X(4)n—R=(-)1+(—)2+(—)3^ H(—)n-1一(n-1)x(—)n两式相减得4n444 4 44-(4)n1一⑺-1)(4)nR=1(4-3n+1)整理得n9 4n-1所以数列数列｛"的前项和"M一步）.（ 年普通高等学校招生全国统一招生测试江苏卷（数学）（已校对纯 版含附加题））本小题满分1分设｛a｝是首项为a公差为d的等差数列（d中0）S是其前n项和nnnS记b=——lngN*其中c为实数nn2+cTOC\o"1-5"\h\z⑴若c=0且b，b，b成等比数列证明：S=n2S（k,ngN*）1 2 4 nk k（若｛b｝是等差数列证明：c=0n【答案】证明：.・•｛〃｝是首项为a公差为d的等差数列（d中0）S是其前n项和S n-1⑴c=0 ..b=—n-=a+ dnn 2•「b,b•「b,b,b成等比数列 b2=bb1242 14・•・1ad-1d2=0.•・1d(a-1d)=0

2 4 2 213.(a+d)2=a(a+—d)

22•・•d丰0 :.a=1d.d=2a2c n(n-1), n(n-1).•S—na+ d-na+ 2a-n2a•左边S—(nk)2a—nc n(n-1), n(n-1).•S—na+ d-na+ 2a-n2a•左边S—(nk)2a—n2k2ank二左边右边.♦•原式成立右边n2S—n2k2a

k(2)V{b}是等差数列.••设公差为d,・♦.b=b+(n-1)d带入b=nS -得n2+cb+(n-1)d1 1nS n^―n2+c.(d1-d-a+d-d)n2+cdn-c(d-b)对

1 2 1 1 1neN+恒成立11cd-01c(d-b)-0由①式得由③式得1d-1d•:d丰01 2c-0法二(若c-0,则a-a+(n-1)d,S

nn[(n-1)d+2a](n-1)d+2a由此b成等比数列，b2-bb,

4 2 14，得d2=2ad，又d丰0,故d=2a.二(nk)2a—n2k2a,n2S—n2k2a.nk k-n2Snk k(n-1)d+2an2 nnS(2)b nnn2+c n2+c(n-1)d+2a (n-1)d+2a (n-1)d+2an2 +c c (n-1)d+2a2n2+c(n-1)d+2ac 2n2+c(^)若｛b｝是等差数列,则b=An+Bn型.观察(X)式后一项,分子幂低于分母幂，(n-1)d+2aC2八 (n-1)d+2a八 (n-1)d+2a故有 2 二0,即c-一— =0,而(II)设T(II)设T=S-—(ngN*),求数列｛T｝的最大项的值与最小项的值nnS nn【答案】U9)本小题主要跨查等美数列的概念，等比数列的概念二通项公式.前■项利强或，数列的基本畦质等基础知识.考查分类讨论的思想，考查运算能加分霆的能力.满分】4分・n2+c 2 2故c=0经检验,当c=0时｛b｝是等差数列n.( 年普通高等学校招生统一测试大纲版数学(理) 版含答案(已校对))等差数列｛a｝的前n项和为S,已知S=a2,且S,S,S成等比数列，求｛a｝的通项式n n 3 2 124 n【答案】解士设的公差为止由SK共得3.工口＞故成曲成等比败列得 鼻.又51"球］一出&,国=4川+2d.故(2船一4冲=储工一d)(4g+2d).若口？=0.同户工一2/,所以4Ho『此时S・=G,不舍JH意*若口2~露附(6—1»=(3一步32+2/八解程d-0克J-2,因此值/的通项公式为％=3或a^2n-L3.( 年普通高等学校招生统一测试天津数学(理)试题(含答案))已知首项为2的等比数列｛a｝不是递减数列，其前项和为S(ngN*),且， ，成等差n n 3 35 54 4数列.(I)求数列｛a｝的通项公式n

（MMr也等比瓢列阿|的外比为守，国为重—品4i兄（MMr也等比瓢列阿|的外比为守，国为重—品4i兄4%成等范敬列，所以&7「-.+…「…即飙，i,干星^吟4又㈤不是递减效14：I+ k为奇数.1$内为偈数.当门为奇数时，E触H的增大而域小，所以1＜工亩司=］，故Jr当内为偈数时,g髓II的增大而埔大,所以N=耳故47 1 5端上.对于hwN*,坨有,《其一一题曰.12 .工6（年高考江西卷（理））正项数列的前项和满列且码=2,所以q= 故鳏比数列阿J的通国公式为凡ngx2 j足s2—（n2+n一1）s—（n2+n）=0nn数列的前n项和为数列的前n项和为T证明对于任意的n£N*都有T5<——64人7n+1令人二 n(n+2)2a2【答案】解由S2-(n2+n一1)S-(n2+n)=0得S-(n2+n)I(S+1)=0n n nn由于｛a｝是正项数列所以S>0,S=n2+nn nn于是a=S=2,n>2时a=S-S=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n1 1 nn n-1综上数列｛a｝的通项a=2nnn证明由于a=证明由于a=2n,bnnn+1(n+2)2a2n4n24n2(n+2)2 1611—n2 (n+2)232 2242321—+521+ -(n-1)2 (n+1)21+——

n2(n+2)21,1--1+--162232 2242321—+521+ -(n-1)2 (n+1)21+——

n2(n+2)21,1--1+--1622(n+1)2 (n+2)21 1 5< (1+)=—16 22 643普通高等学校招生统一测试广东省数学（理）卷（纯版））设数列｛a｝的n2 . 2S前n项和为S已知a=1,—n=an1n，n+11—-n2-n-3ngN*3(I)(II)求a的值2求数列｛a｝的通项公式n（⑪证明对一切正整数n，有一+—+aa1 22S1…2 …【答案】(解：-n=a--n2-n--,ngN*

n n+13 323又a1-1,•2S——n--an+11—-n2-n-3a2S=nan n+1——n3一n2——n=nan(n+1)(n+2)n+1a当n>2时，2Sn=1(n-1)n(n+1)=(n-1)a 由①一②，得2Sn—2S=na -(n-1)a—n(n+1)n-1 n+1 n-2S-2Sn n-1-nan+1一(n一1)a一n(n+1)a——n11n+1,,IaI- .一，a- ,, ，一…a数列J三I是以首项为才=1，公差为 的等差数列=1+1x(n-1)=n，.二an当n=1时，上式显然成立aa=n2,ngN*n（证明由（知，a=n2,ngN*n①当n①当n=1时・.・原不等式成立②当n=2时1 117一…一+——1+<—.二原不等式亦成立aa441 2③当n③当n>3时n2〉(n—1)(n+1),「.——<- \n2(n—1)(n+1)11.•++aa1 21 1 1+ = + +a 1222n11++ \——++ \(n-2)•n(n-1)(n+1)11241135-1+1-1+1―32411—+——1211-1-.•.当n>3时.••原不等式亦成立综上对一切正整数n有1+—+aa1 21 7+——<一a4n年高考北京卷（理））已知是由非负整数组成的无穷数列该数列前 项的最大值记为第项之后各项an+1a的最小值记为是一个周期为的数列即对任意£Na=a写出n+4n的