判断充要条件的四种常用方法

判断充要条件的四种常用方法徐宜昌、定义法定义法即借助“n”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着是充分，即:若pnq但qnp，则p是q的充分但不必要条件；若qnp但pnq，则p是q的必要但不充分条件；pnq且qnp，则p是q的既充分又必要条件，即充要条件；pnq且qnp，则p是q的既不充分又不必要条件。特别要注意，若pnq，则有以下说法是等价：p是q的充分条件；q是p的必要条件；p的一个必要条件是q；q的一个充分条件是p。「a+8>4fa>2例1.同〉4是">2的什么条件？并说明理由。例1.fa>2fa+p>4解：由<n<，但反之不成立。[P>2[ap>4fa+p>4fa>2出fa+p>4不妨取a=1p=5，显然满足<，但不满足<qc，即｛厂[ap>4[P>2[ap>4fa>2[p>2。由定义（即箭头方向）可知，<Q是^Q今的必要但不充分条件。ap>4lp>2二、传递性法根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法。充分条件具有传递性，若AnAnAn…nAnA，则AnA，即123n-1n1nA1是A计的充分条件。必要条件也有传递性，若AuAuAu…uAuA，则AnA，即123n-1nn1A1是A〃的必要条件。1当然充要条件也有传递性。因此，对于较复杂的（连锁式）充要关系的判断可用连锁式的传递图示法来解答最为适宜。例2.若A、B都是C的充要条件，D是A的必要条件，B是D的必要条件，则D是C的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件洛'15癖致胞华'CHHAHXJ.COM分析：宜采用传递性法来解。解：由已知A=CBoC,AnD,DnB,*£）7由传递性，知DnC,同时有CnD,于是CoD，故选C。三、集合法若将命题p、q看成集合，当pGq时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即Pnq。这可以用“小范围推出大范围”帮助记忆。当p=q时，则p、q互为充要条件。特别地，若P纺q，则p是q的充分但不必要条件；若q^p,则p是q的必要但不充分条件；若p=q，则p是q的既充分又必要条件，即充要条件；若pGq,且qGp，则p是q的既不充分又不必要条件。例3.设集合M={xlx>2},P={xlxv3},那么“xgM，或xgP”是“xeMP”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解：由xeM,或xePoxeMuP,以及xeMcPoxeM且xeP，显然（McP）u（MuP），故选b。四、等价命题法当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“尹”形式的命题）时，可利用原命题与其逆否命题等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题。例4.若p：工尹2,或V乏3,q：x+y^5，则p是q的条件。解：考虑逆否命题：「q：x+y=5,qp：x=2,且^=3，显然有」pnqq,所以qnp，即p是q的必要但不充分条件。注：此例中若直接分析，则需分多种情况讨论，且还很难说清。例5.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么qA是qB的条件。分析：根据题意知AnB，又因为原命题与其逆否命题等价，即qBnqA，即qA是qB的必要条件。年级高中学科数学版本期数内容标题判断充要条件的四种常用方法