【公开课】一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时）课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第八章成对数据的统计分析8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第一课时）目录CONTENT03040102典型例题课堂总结知识回顾最小二乘估计知识回顾PART.01知识回顾1.一元线性回归模型是什么？问题引入在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计.由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.探究:利用前面的散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近.问题引入可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线．问题引入可以在散点图中选择这样的两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．如图所示.问题引入在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距．如图所示.问题引入从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看,各散点与直线最接近”.通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.设一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2），…，(xn,yn),由yi=bxi+a+ei(i=1，2，…，n)，得|yi−(bxi+a)|=|ei|.|ei|越小，表示点(xi，yi)与点(xi，bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小。当ei=0时，表示点(xi，yi)在这条直线上.问题引入因此可以用这n个竖直距离之和

来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.

在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和

刻画“整体接近程度”.

在上式中，xi，yi

(i=1，2，…，n)是已知的成对样本数据，所以Q由a和b所决定，即它是a和b的函数.所以我们取使Q达到最小的a和b值,作为截距a和斜率b的估计值.最小二乘法PART.02经验回归方程与最小二乘估计1.经验回归方程：2.最小二乘估计:经验回归方程与最小二乘估计3.经验回归方程的性质:经验回归方程与最小二乘估计商店名称ABCDE销售额x/千万元35679利润额y/百万元23345典例1：某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)计算利润额y对销售额x的经验回归直线方程.经验回归方程与最小二乘估计经验回归方程与最小二乘估计典型例题PART.03经验回归方程与最小二乘估计例1：某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．经验回归方程与最小二乘估计经验回归方程与最小二乘估计例2:下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．x3456y2.5344.5(1)请画出表中数据的散点图；(2)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)中求出的经验回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能