图形折叠题型分类评析

图形折叠题型分类评析

随着新课程改革的不断深入，以图形折叠为载体的试题，形式新颖，结构独特，融入丰富的数学知识和思想。研究图形折叠及图形运动变化中的不变量和变量问题，引导学生质疑、探索，通过分析、猜想、验证、推理等数学活动，拓展思维，升华知识。一、折叠后求线段长度例1（2009年山东）将三角形纸片(△ABC)按如图1所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是＿＿。图1点评首先要抓住折叠的本质特征，找出折叠前后的一些不变量，其次，利用相似三角形的性质求解时，要注意分类讨论。二、折叠后求点到直线的距离例2（2009年上海）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连接AM（如图2所示）。如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是＿＿。解析设△ABM沿直线AM翻折后落在边AC上N点，过M点作MH⊥AC，垂足为H。由折叠特征知∠BAM=∠CAM,AN=AB，即AC=6。由△MHC∽△BAC，得MH=2。故点M到AC距离为2。点评本题设计精致，将折叠与直角三角形、相似三角形有机结合，体现了数学知识之间的内在联系。图2三、折叠后求角度例3（2009年江苏）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图3-1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图3-2）；再展平纸片（如图3-3）。求图3-3中α的大小。图3-1图3-2图3-3解析由折叠知，四边形ABFE是正方形，AAEB=45°，所以∠BED=135°。又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5°。从而α=90°-67.5°=22.5°。点评在图形折叠问题中，往往利用轴对称图形对称性和平行性的性质，找出图形中等量关系，来计算相关角的度数。四、折叠后探求规律例4（2009年太原）问题解决如图4-1，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点（不与点C、D重合），压平后得到折痕MN。当时，求的值。图4-1图4-2类比归纳点评本题将正方形与折叠巧妙结合，根据折叠性质，借助勾股定理列方程求解，并对其中规律作出归纳、猜想，培养学生想象力和创造力。五、折叠后求周长例5（2009年河北）如图5，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且A'点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为＿＿cm。图5解析本题根据折叠性质，将阴影部分图形的周长转化为△ABC的周长，因为等边三角形的边长为1cm，所以阴影部分图形的周长为3cm。点评本题利用折叠性质，借助整体思想得到阴影部分图形周长，考查学生对数学思想和技能的理解和掌握程度。六、折叠后求面积例6（2009年山东淄博）矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2。将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图6），则着色部分的面积为()。图6点评由于图形折叠前后折叠部分图形的形状大小不变，利用轴对称性，可以转化相等的线段、相等的角，阴影部分面积转化四边形的面积与三角形面积的和。七、折叠后求三角函数的值例7（2009年海南）如图7-1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F。(1)求证：①△AEF∽△BEC；②四边形BCFD是平行四边形。(2)如图7-2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值。图7-1图7-2点评本题以三角形为背景，通过折叠图形构造新图形，借助折叠对称性、勾股定理、三角函数来转化，灵活巧妙地解决。八、折叠后求点的坐标例8（2009年长沙）如图8，二次函数(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C。连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(-3,0),C，且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等。(1)求实数a、b、c的值。(2)若点M、N同时从点B出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动。当运动时间为ts时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标。图8点评本题将图形的折叠与点的坐标与二次函数有机结合，通过折叠图形产生图形之间的关系，利用相似图形的性质求解。九、折叠后求函数关系式例9（2009年恩施）如图9，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E。设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y。图9(1)用x表示△ADE的面积；(2)求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；