初等数论作业(3)答案-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐初等数论作业(3)答案第三次作业答案：

一、挑选题

1、整数5874192能被(B)整除.

A3

B3与9

C9

D3或9

2、整数637693能被(C)整除.

A3

B5

C7

D9

3、模5的最小非负彻低剩余系是(D).

A-2,-1,0,1,2

B-5,-4,-3,-2,-1

C1,2,3,4,5

D0,1,2,3,4

4、假如)(modmba≡,c是随意整数,则（A）

A)(modmbcac≡

Bba=

CacT)(modmbc

Dba≠

二、解同余式（组）

（1）)132(mod2145≡x.

解由于(45,132)=3|21,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程

)44(mod715≡x.

我们再解不定方程

74415=-yx,

得到一解(21,7).

于是定理4.1中的210=x.

因此同余式的3个解为

)132(mod21≡x,

)132(mod65)132(mod3

13221≡+

≡x,)132(mod109)132(mod3132221≡?+≡x.

（2）)45(mod01512≡+x

解由于(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3.又同余式等价于)15(mod054≡+x,即yx1554=+.我们利用解不定方程的办法得到它的一个解是(10,3),

即定理4.1中的100=x.

因此同余式的3个解为

)45(mod10≡x,

)45(mod25)45(mod3

4510≡+≡x,)45(mod40)45(mod3

45210≡?+≡x.

（3）)321

(mod75111≡x.解由于(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程

)107(mod2537≡x.

我们再解不定方程

2510737=+yx,

得到一解(-8,3).

于是定理4.1中的80-=x.

因此同余式的3个解为

)321(mod8-≡x,

)321(mod99)321(mod3

3218≡+-≡x,)321(mod206)321(mod3

32128≡?+-≡x.

（4）??

???≡≡≡)9(mod3)8(mod2)7(mod1xxx.

解由于(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式

)7(mod172≡x,)8(mod163≡x,)9(mod156≡x,

得到)9(mod4),8(mod1),7(mod4321-=-==xxx.于是所求的解为

).

494(mod478)494(mod510)494(mod3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x

（5）???????≡≡≡≡)

9(mod5)7(mod3)5(mod2)2(mod1xxxx.(参考上题)

三、证实题

1、假如整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

证实设a是一正整数,并将a写成10进位数的形式:

a=1101010nnnnaaa--+++,010ia≤.

由于10≡0(mod5),所以我们得到

)5(mod0aa≡

所以整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

2、证实当n是奇数时，有)12(3+n.

证实由于)3(mod12-≡,所以

)3(mod1)1(12+-≡+nn.

于是,当n是