初等数论试题库-2023修改整理

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐初等数论试题库初等数论

一、填空

1、d（1000）=。φ（1000）=。(10174

)=______。2、ax+bY=c有解的充要条件是。

3、2022

2022被3除后余数为。

4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+3Z]可能的值为。

5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（nP）=。

6、高斯互反律是。

7、两个素数的和为31，则这两个素数是。8、带余除法定理是。

9、d（37）=。σ（37）=。

10、φ（1）＋φ（P）＋…φ（nP）=。

11、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为。12、7在2022！中的最高幂指数是。13、（1501，300）=。

14、)(modmbax≡有解的充要条件是。

15、威尔逊定理是。

16、写出6的一个肯定值最小的简化系。

17、50506666688888?被7除后的余数为。

18、d（31）=。σ（3600）=。

19、四位数13AA被9整除，则A=。20、17X+2Y=3通解为。21、费尔马大定理是。

22、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数。23、{}4.2-=。

24、128574

.0化为分数是。25、15！的标准分解是。

26、1000到2022的全部整数中13的倍数有个。27、σ（29）=.

28、不能表示成yx45+（yx,为非负整数）的最大整数为.

29、7在2022！的标准分解式中的最高幂指数是.30、2022和2022的最小公倍数是.31、威尔逊定理是.

32、设1>x为整数且被4、5、7除后的余数都为3，则最小的x是.33、已知（a，b）=1，则（5a+3b，13a+8b）=__________.

34、1，4，9，16,…10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有个.35、若今日是星期日,则10

10天后的那一天是星期__________.

36、2022

3的末二位数是________.37、d（1200）=。

38、梅森数nM是素数，则n是。

39、不能表示成7X+6Y（X、Y非负）的最大整数为。

40、1×3×5×7……×1999×2022的标准分解中13的幂指数是。41、（13a+21b，34a+55b）=。已知（a，b）=1。42、费尔马猜测是。

43、写出12的一个简化系，要求每项都是7的倍数。44、aX≡b（modm）有解的充要条件是。

45、2022

2022被3除后余数为。

46、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+Z]可能的值为。

47、d（1000）=。σ（1000）=。φ（1000）=。48、n1?，若)(mod01)!1(nn≡+-则n为。

49、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为。50、7在2022！中的最高幂指数是。51、（1515，600）=。

52、)(modmbax≡有解的充要条件是。

53、威尔逊定理是。

54、写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数。55、20222的末位数是。56、[-2.3]=。

57、φ（1）＋φ（P）＋…φ（nP）=。

58、1>x且能被4、5、7整除，则最小的x是。69、两个素数的和为31，则这两个素数是。60、带余除法定理是。

61、d（1001）=。σ（2022）=

62、cxaxaxann=++2211有解的充要条件是。

63、不能表示成5X+6Y（X、Y非负）的最大整数为。64、2022！中末尾延续有个零。65、（21a+4，14a+3）=。

66、两个素数的和是39，这两个素数是。67、从1001到2000的全部整数中，13的倍数有。

68、p,q是小于是100的素数，pq-1=x为奇数，则x的最大值是。69、n>1，若)(mod01)!1(nn≡+-则n为。70、7在2022！中的最高幂指数是。71、（1515，600）=。

72、)(modmbax≡有解时有个解。

73、2

3.0化为分数是。74、[-0.3]=。4>75、

50

88888被7除后的余数为。

答案

1、16．2340，1

2、（a，b）|c

3、1

4、3，4，5，6，7，8，9，10，11

5、n

p6、，p，q为奇素数

7、2，29

8、a，b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q，r使得brrbqa0,则存在两个惟一的整数q，r使得brrbqaz1

这样可以向来举行下去，z>z1>z2>z3>z4>…

但是自然数无穷递降是不行能的，于是产生了冲突

（5）设n是大于2的整数，证实)(n?为偶数（10分）答案

证：由于（-1，n）=1，由欧拉定理有

)(mod1)1()(nn≡-?，由于n大于2，惟独)(n?为偶数。

（6）假如整系数的二次三项式1,0)(2

=++=xcbxxxp当时的值都是奇数，证实0)(=xp没有整数根（8分）答案:

证：由条件可得c为奇数，b为偶数

假如p（x）=0有根q，若q为偶数，则有

cbqq++2为奇数，而p（q）=0为偶数，不行能，若q为奇数，则有

cbqq++2

为奇数，而p（q）=0为偶数，也不行能，所以0)(=xp没有整数根

（7）解方程)132(mod2145≡x.（10分）

答案:

解由于(45,132)=3|21,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程)44(mod715≡x.我们再解不定方程

74415=-yx,得到一解(21,7).

因此同余式的3个解为)132(mod21≡x,

)132(mod65)132(mod3132

21≡+

≡x,)

132(mod109)132(mod3132

221≡?+≡x

（8）证实：用算术基本定理证实3是无理数。（10分）答案:

证：假设3是有理数，则存在二个正整数p，q，使得

3=qp

，由对数定义可

得有32q=2p,则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理冲突。∴3为无理数。

（9）、证实：对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有

5|n

nnn4321+++（10分）答案:

证：则题意知n=4q+r，r=1，2，3。由于)5,(i=1,i=1,2,3,4所以有)5(mod14≡i

当r=1时有)5(mod04321≡+++当r=2时有

)5(mod043212222≡+++当r=3时有

)5(mod043213333≡+++从而证实了结论。

（10）、解不定方程1054=+yx（10分）答案:

解：由于（4，5）=1，所以方程有解，由观看得有特解x=0，y=2

所以方程的解为Zttytx∈-==,42,5

（11）)11(mod98≡x（10分）答案

解：由于（8，11）=1，所以同余式有解。由形式分数有

)

11(mod3118989-≡-≡≡x

（12）证实梅森数12-=P

PM的素因子pq>.（10分）

答案

证：设q是2p

-1的质因数，因为2p

-1为奇数，∴q≠2，

∴（2，q）=1,由条件q|2p-1,即2p

≡1（modq）又∵（q,2）=1，2p

≡1（modq）

设i是使得2x

≡1（modp）成立最小正整数若1２为素数）。（10分）

答案

证：设q是2p-1的质因数，因为2p

-1为奇数，∴q≠2，

∴（2·q）=1,由条件q|2p-1,即2p

≡1（modq）又∵（q,2）=1，2p

≡1（modq）

设i是使得2x

≡1（modp）成立最小正整数若1b>a1>b1>a2>b2>…

但是自然数无穷递降是不行能的，于是产生了冲突，∴3为无理数

（30）试证：对任何的正整数2,2+nn不能被4整除。（6分）答案

证：n=2k时有22+n=242

+k，不能被4整除

当n=2k+1时有22+n=3442

++kk，不能被4整除所以有

对任何的正整数2,2

+nn不能被4整除

（31）解不定方程1054=+yx（6分）

解：由于（4，5）=1，所以不定方程有解，由观看得有特解x=0，y=5

所以不定方程的解为??

?+=-=tytx4250t为整数

（32）明：设ｄ是自然数ｎ的正因子，则有

∏=n

dndn

d)(2

1

（10分）

答案

证：设d是n的因子，则dn

也是n的因子，而n的因子数为d（n）

所以∏∏=ndnddnd|，所以∏=ndndnd)(2)(即有∏=ndndnd)(2

1

（33）Ｐ为奇素数，则有（10分）

)(mod)(pbabappp+≡+

答案

证：由费尔马小定理知对一切整数有

ap≡a（p）

bp≡b(P)，

由同余性质知有ap+bp≡a+b(p)

又由费尔马小定理有（a+b）p≡a+b(p)（a+b）p≡ap+bp(p)

(34)、用初等办法解不定方程01996202

=+-xyx。（10分）

答案

解：由题意知x为偶数，设12xx=，则有04991012

1=+-yxx即有

499)10(11-=-yxx

由499为素数有两因子只能取499,1±，从而得

??

?==50

2yx???-=-=502yx???==50998yx???-=-=50998yx

(35)、解不定方程式15x+25y=-100.(8分)答案

解：由于（15，25）|-100所以方程有解

原方程的一组特解为4,0-==yx所以原方程的解为

Zttytx∈+-=-=,34,5

(36)、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被15整除的六位数（10分）答案987645

(37)、设

随意三个不全为零的整数，且则

（10分）

答案

证实：

是

的一个公因数．

反之

是

的一个公因数

(38)、若n为非零自然数，n+3和n+7都是质数，则n除以3的余数是多少？（8分）答案

解：若n=3k，则n+3=3（k+1）为合数，若n=3k+2，则n+7=3（k+3）为合数所以n除以3的余数是1

(39)、证实不定方程x2+23y=17无解（10分）答案

证：由于原方程等价于同余式)23(mod172

≡x

而1

)32

()173()173)(172()2317(-====所以)23(mod172

≡x无解，即x