有限元单元劲度矩阵

有限元课件单元劲度矩阵1第1页，共61页，2023年，2月20日，星期六形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：性质1形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。对于本单元，有4）形函数的性质2第2页，共61页，2023年，2月20日，星期六（i、j、m）性质2在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对于本单元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm3第3页，共61页，2023年，2月20日，星期六xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或0）证明。4第4页，共61页，2023年，2月20日，星期六性质3在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1证5第5页，共61页，2023年，2月20日，星期六性质4形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为

(6-14）式中为边的长度。在三角形的形心，＝1/3（面积坐标概念）在三角形的ij和im边的中点，＝1/26第6页，共61页，2023年，2月20日，星期六计算单元位移函数举例

例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数7第7页，共61页，2023年，2月20日，星期六计算单元位移函数举例

由三角形的面积8第8页，共61页，2023年，2月20日，星期六计算单元位移函数举例

(6-11）举例验证形函数性质；加权平均；内插9第9页，共61页，2023年，2月20日，星期六3、位移模式与解答的收敛性10第10页，共61页，2023年，2月20日，星期六

（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；

（3）位移函数中待定常数个数

待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数本单元的坐标系为：x、y；11第11页，共61页，2023年，2月20日，星期六

（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。

（5）位移函数中必须包含单元的常应变。

（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽量协调。条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。条件（6）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。12第12页，共61页，2023年，2月20日，星期六◆

位移函数的形式

一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数一般应等于单元节点自由度数。13第13页，共61页，2023年，2月20日，星期六例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。位移函数中包含了单元的常应变。

(a2,a6,a3+a5)

位移函数中包含了单元的刚体位移。(a1,a4)③④254136①②对任一单元，如③单元，取位移函数：14第14页，共61页，2023年，2月20日，星期六①、②、③、④单元的位移函数都是可以看出：位移函数在单元内是连续的；以③、④的边界2－6为例256③263④③④5623xyuu6u2uu6u2两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。15第15页，共61页，2023年，2月20日，星期六第三次课第6章用有限单元法解平面问题6－4、5单元劲度矩阵与相关问题（单元分析）16第16页，共61页，2023年，2月20日，星期六

回顾：单元分析取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：17第17页，共61页，2023年，2月20日，星期六6－4、5单元劲度矩阵与相关问题1、由单元结点位移表出单元应变—几何方程2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程3、由单元结点位移表出单元结点力—虚功方程4、单元劲度（刚度）矩阵及其性质18第18页，共61页，2023年，2月20日，星期六

根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。1、由单元结点位移表出单元应变—几何方程19第19页，共61页，2023年，2月20日，星期六1、由单元结点位移表出单元应变—几何方程

根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。

20第20页，共61页，2023年，2月20日，星期六(6-16a）1、由单元结点位移表出单元应变—几何方程

根据几何方程和位移函数可以求得单元应变。21第21页，共61页，2023年，2月20日，星期六上式简写一般式：(6-16b）式中，[B]——单元应变矩阵。对本问题，维数为3×6。它的分块形式为：子矩阵(6-17）根据几何方程和位移函数可以求得单元应变22第22页，共61页，2023年，2月20日，星期六由于与x、y无关，都是常量，因此[B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵与单元结点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元（精度较低!）。根据几何方程和位移函数可以求得单元应变由位移模式可知：当单元尺度足够小时，三角形常应变单元位移的误差量级是单元尺度或的二阶小量，应变的误差量级则是相应的一阶小量。23第23页，共61页，2023年，2月20日，星期六平面应力问题的弹性矩阵2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程只要将上式中的E换成，换成即得平面应力问题的弹性矩阵。24第24页，共61页，2023年，2月20日，星期六将应变表达式：(6-18a）也可写为：(6-18b）2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程代入物理方程式：得单元应力：25第25页，共61页，2023年，2月20日，星期六平面应力问题的物理方程物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：

26第26页，共61页，2023年，2月20日，星期六其中：[S]称为单元应力矩阵，并有(6-19a）这里，[D]是3×3矩阵，[B]是3×6矩阵，因此[S]也是3×6矩阵。它可写为分块形式2、由单元结点位移表出单元应力—物理方程由于[B]和[D]矩阵都是常量矩阵，因此[S]矩阵也是常量矩阵。因而单元中任一点的应力分量也都是常量。这表明应力的误差量级与应变相同，也是一阶小量。27第27页，共61页，2023年，2月20日，星期六(6-20）式(6-20）是平面应力的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成，换成即得。由上式可得子矩阵[Si](6-19b）其中：28第28页，共61页，2023年，2月20日，星期六(6-21）同一单元内三角形三节点单元内的应变和应力分量是常量。但是，相邻单元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应变和应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应变和应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小，收敛于平衡被满足。29第29页，共61页，2023年，2月20日，星期六3、由单元结点位移表出单元结点力—虚功方程30第30页，共61页，2023年，2月20日，星期六1)虚功方程（等价于平衡方程和应力边界条件）ijmxyt31第31页，共61页，2023年，2月20日，星期六2)结点力与结点位移（实与虚）

32第32页，共61页，2023年，2月20日，星期六

考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：

任意虚设位移，结点位移与内部应变为2)结点力与结点位移（实与虚）33第33页，共61页，2023年，2月20日，星期六结点力虚功

令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为34第34页，共61页，2023年，2月20日，星期六单元应力虚功

微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为35第35页，共61页，2023年，2月20日，星期六虚功方程的应用

根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由结点虚位移求出：

代入虚功方程36第36页，共61页，2023年，2月20日，星期六

接上式，将应力用结点位移表示出有令则建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，称为单元劲度或刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。虚功方程的展开37第37页，共61页，2023年，2月20日，星期六

由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。4、单元劲度（刚度）矩阵及其性质38第38页，共61页，2023年，2月20日，星期六注意到即可计算出平面应力三角形单元的刚度矩阵。写成分块形式，有(6-24）39第39页，共61页，2023年，2月20日，星期六式(6-24)中子矩阵[krs]为2×2矩阵，且有(6-25）对于平面应变问题，须将上式中的E换为，换为，于是有其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函数式中的系数。40第40页，共61页，2023年，2月20日，星期六(6-26）对于平面应变问题：41第41页，共61页，2023年，2月20日，星期六

平面问题的单元刚度矩阵[k]不随单元（或坐标轴）的平行移动而改变。由公式(6-25）、(6-26）知，[krs]矩阵和其中的br、cr、

bs、cs（r、s=i、j、m）有关。

三角形单元刚度矩阵的特点42第42页，共61页，2023年，2月20日，星期六ijmxyo(1-17）

ijmyjym43第43页，共61页，2023年，2月20日，星期六

平面问题的单元刚度矩阵[k]不随单元的放大或缩小而改变。(板书补充解释)

三角形单元刚度矩阵的特点44第44页，共61页，2023年，2月20日，星期六

（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，kij表示单元第j个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度固定（=0）时，在第i个自由度产生的节点力Fi。主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。单元刚度矩阵性质（）45第45页，共61页，2023年，2月20日，星期六（2）[k]的每一行或每一列元素之和为零F1=0F2=0F3=0Fi=0Fj=0Fnj=0rst11以上式中第i行为例（板书补充说明）当所有节点沿x向或y向都产生单位位移时，单元作平动运动，无应变，也无应力。则有：即：[k]的每一行元素之和为零。根据对称性，每一列元素之和也为零。rstxy图1-646第46页，共61页，2023年，2月20日，星期六

单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各列元素的总和也如此。47第47页，共61页，2023年，2月20日，星期六（3）[k]是对称矩阵

由[k]各元素的表达式，可知[k]具有对称性。njnj对于主对角线元素对称。对称表达式：kij=kji48第48页，共61页，2023年，2月20日，星期六单元刚度矩阵性质（对称性证明）49第49页，共61页，2023年，2月20日，星期六单元刚度矩阵性质（对称性证明）50第50页，共61页，2023年，2月20日，星期六单元刚度矩阵性质（对称性证明）虚功概念，互等功定理51第51页，共61页，2023年，2月20日，星期六注意到(6-24）对称性得证52第52页，共61页，2023年，2月20日，星期六（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵即[k]的行列式为零（由行列式性质）。单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的。单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必定是平衡力系。然而，研究单元平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（3）中的“平动问题”，即单元可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，方程(1-28）的解不是唯一的或不能确定的。由此，单元刚度矩阵一定是奇异的。53第53页，共61页，2023年，2月20日，星期六

单元面积:例：计算平面应力直角三角形单元刚度矩阵求下图所示单元的刚度矩阵，设Xi(j,m)Yi(j,m)bi(j,m)ci(j,m)ia0a0j0a0am00-a-a54第54页，共61页，2023年，2月20日，星期六