上海市徐汇区高三二模数学试题（解析版）

第1页/共22页第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，，则_________.【答案】##【解析】【分析】首先求集合，再求.【详解】，，所以.故答案为：2.若角的终边过点，则的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意可得x＝4，y＝﹣3，r＝5，再由任意角的三角函数的定义可得，由诱导公式化简，代入即可求解．【详解】解：∵角α的终边过点P（4，﹣3），则x＝4，y＝﹣3，r＝5，，．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3.抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163165161157162165158155164162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.【答案】【解析】【分析】计算，确定从小到大第个数即可.【详解】，第25百分位数是从小到大第个数为.故答案为：4.命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围.【详解】由可得：，解得：或，“若，则”是真命题，则能推出或成立，则.故实数的取值范围是.故答案为：5.在正项等比数列中，，则______．【答案】10【解析】【分析】利用等比数列性质，将，转化为求解.【详解】因为，所以，即，因为数列是正项数列，所以，故答案为：.6.设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为___________.【答案】【解析】【分析】根据方差的性质，若，，，的方差为，则，，的方差为，计算即得答案.【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，则数据，，，的方差为；故答案为：.7.如图所示，圆锥底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.【答案】##【解析】【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.【详解】设圆锥的母线长为，所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，所以，所以圆锥的高.故圆锥的体积为：.故答案为：.8.若，，则_________.【答案】【解析】【分析】赋值，和，即可求解.【详解】令，，令，，所以.故答案为：9.已知双曲线左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________.【答案】##【解析】【分析】取，解得，根据面积得到，解得渐近线方程，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.【详解】取，则，解得，故，即，解得或（舍），，不妨取渐近线方程为，即，到渐近线的距离为.故答案为：10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则_________.【答案】【解析】【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.【详解】，，故.故答案为：11.已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.【详解】①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减（i）当时，上单调递增，所以，则，，所以，，，，，，或或；（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，；综上，的取值范围为.故答案为：12.已知数列满足：对于任意有，且，，其中.若，数列的前项和为，则_________.【答案】【解析】【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出.【详解】因为，则，由，，可得，，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，，，则，所以，所以.故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，则是为纯虚数的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的特征，复数的概念，以及充分条件与必要条件的判断方法，即可得出结果.【详解】对于复数，若，则不一定为纯虚数，可以为；反之，若为纯虚数，则，所以是为纯虚数的必要非充分条件.故选：B.14.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为,所以错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.故选:B.15.设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题【答案】C【解析】【分析】首先画出函数的图象.根据二次函数的对称性得，根据得，从而求得的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出的根，再对根的大小分类讨论，并结合的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假.【详解】当时，，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和；当时，，图象过，如图所示.对于①，当方程有四个不同的实根、、、时，不妨假设，则，，且，，所以，所以.因此，，所以，故①为真命题.对于②，方程等价于且，所以或.当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根；当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根；当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根；当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根；综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6.故②为假命题.故选：C16.如图：棱长为2的正方体的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（）①存在点G，使OD垂直于平面；②对于任意点G，OA平行于平面EFG；③直线被球О截得的弦长为；④过直线EF的平面截球О所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】①当点为中点时，证明平面；②当点与重合时，在平面上，在平面外，说明不成立；③点是线段中点，利用弦长公式求弦长；④当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，利用③的结果求圆的面积.【详解】当为中点时，，，平面，平面，平面平面，平面，，同理，，平面,所以平面，即平面，故①正确；当与重合时，在平面上，在平面外，故②不正确；如图，点是线段中点，由对称性可知，由勾股定理可知易知，球心到距离为，则被球截得的弦长为故③正确；当垂直于过的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是，面积为，故④正确.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218（1）完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：【答案】（1）列联表、答案见解析（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据表格数据，完成列联表，并计算，并和参考数据，比较后即可判断；（2）根据二项分布求概率，再求分布列和数学期望.【小问1详解】完成列联表如下，年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数60180240不支持态度人数303060总计90210300提出原假设年龄与所持态度无关，确定显著性水平，，，从而否定原假设，故有95%的把握认为年龄与所持态度具有相关性.【小问2详解】依题意，服从二项分布，故，,,,,所以分布列如下表，1234所以.18.已知向量，，函数.（1）设，且，求的值；（2）在中，，，且的面积为，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）化简得到，代入数据得到，得到，根据范围得到答案.（2）确定，根据面积公式得到，根据余弦定理得到，得到，再根据正弦定理得到答案.【小问1详解】.，得，故，，故或.【小问2详解】，由（1）知，在中，设内角、的对边分别是，则，故.由余弦定理得，故.解得或，于是，由正弦定理得，故.19.如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，，且，.设.（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当平面平面时，求的值.【答案】（1）60°（2）【解析】【分析】（1）推导出平面ABC，AC，建立分别以AB，AC，为轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE与所成角．

（2）推导出平面的法向量和平面的一个法向量，由平面平面，能求出的值．【详解】解：因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，，又因为，所以建立分别以，，为轴的空间直角坐标系.（1）设，则，，各点的坐标为，，，.，.因为，，所以.所以向量和所成的角为120°，所以异面直线与所成角为60°；（2）因为，，，设平面的法向量为，则，且.即，且.令，则，.所以是平面的一个法向量.同理，是平面的一个法向量.因为平面平面，所以，，解得.所以当平面平面时，.【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E.（1）当时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求的周长；（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析，（3）；【解析】【分析】（1）的周长为，计算得到答案.（2）确定椭圆和直线方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据向量的关系得到，代入化简得到答案.（3）根据离心率得到椭圆方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据和为定值得到，计算点到直线的距离，根据面积公式结合均值不等式计算得到最值.【小问1详解】当时，椭圆：，的周长为；【小问2详解】当且直线过点时，椭圆：，直线斜率存在，，联立，消去得：，恒成立，设，，则，由，点的横坐标为0，考虑向量横坐标得到，，从而，，所以为定值3；【小问3详解】，解得，故椭圆方程，联立，消元得，，即，设，，则，，则，当为定值时，即与无关，故，得，此时，又点到直线的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定值问题，面积的最值的问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方法是考试的常考方法，需要熟练掌握.21.已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数.（1）函数，是否为函数﹖请说明理由；（2）若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；（3）若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式.【答案】（1）是，理由见解析（2）（3），【解析】【分析】（1）根据函数的定义，即可证明；（2）分为在区间上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据函数的性质，列式求解；（3）首先根据函数是函数，构造函数，再求函数的导数，参变分离后转化为求函数的值域，并求.【小问1详解】是函数，理由如下，对任意，，，故【小问2详解】（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减，由，即，得，又，，则，（构造时，等