概率统计习题-3.4

1.掷一枚均匀的骰子２次，其最小点数记为Ｘ，求Ｅ（Ｘ）．解：因为Ｘ１２３４５６Ｐ11/369/367/365/363/361/36所以Ｅ（Ｘ）=91/36.２.求掷n颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.解：记为第ｉ颗骰子出现的点数，ｉ=1,2,······，n.则独立同分布，其共同的分布列为１２３４５６1/61/61/61/61/61/6习题3.41所以由此得3.从数字0,1,2,……,n中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.解:记X与Y分别是第一次和第二次取出的数字,则2所以4.设在区间(0,1)上随机地取n个点,求相距最远的两点间的数学期望.解解法一:分别记次n个点为 则 相互独立,且都服从区间(0,1).我们的目的是求3而 和的密度函数分别为又因为所以解法二：n个点把区间（0,1）分成n+10段,它们的长度依次记为因为此n个点是随机取的,所以具有相同的分布,从而有相同的4试求Z=sin[π/2（X+Y）]的数学期望。解E(X)=0.1sin0+0.15sinπ/2+0.25sinπ/2+0.2sinπ+0.15sinπ+0.15sin3/2π=0.257随机变量（X，Y）服从以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求E(X+Y)和Var(X+Y)。解记此三角形区域为D（如图3.15阴影部分）。因为D的面积为1/2，所以(X,Y)的联合密度函数为11X+y=1（1，1）0时，有这是贝塔分布Be(2,1)当0〈y〈1时，有这是贝塔分布Be(2,1)即X与Y同分布，因此有贝塔分布期望，方差公式可知E(X)=E(Y)=2/3;Var(X)=Var(Y)=1/18由于X与Y不独立，所以先计算求X和Y各自的边际密度函数。当5数学期望。而因此而相距最远的两点间的距离为因此所求的期望是5盒中有n个不同的球，其上分别写有数字1.2.……，n。每次随机抽取一个，，记下其号码，放回去再抽，直到抽到有两个不同的数字为止。求平均抽球次数。解记x为抽球次数，则x的可能取值是2，3，……。且有又记p=（n-1）/n，则Y=X-1服从参数为p的几何分布，因此E=(Y)=1/p=n/（n-1），由此得6设随机变量（X,Y）的联合分布列为YX0100.10.1510.250.220.150.156由此得Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=(负相关)最后得E(X+Y)=Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=8.设随机变量（X,Y）的联合密度函数为实求E(Y/X).9.设 是独立同分布的随机变量,其共同的密度函数为试求 的密度函数、数学期望和方差.7所以当 时，Y的密度函数是这是贝塔分布Be(10,1),由此得10．系统有n个部件组成，记为第i个部件能持续工作的时间，如果独立同分布，且 ，试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：（1）如果有一个部件在工作，系统就不工作了；（2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作。解因为，所以的密度函数和分布函数分别为

(1)根据题意，系统持续工作的时间为 所以当时，T的密度函数 而当t>0时8这是参数为的指数分布,所以(2)根据题意,系统持续工作的时间为,所以,当t>0时,所以系统持续工作的平均时间为

911.邮局里有A、B、C三个顾客,假定邮局对每个顾客的服务时间服从参数为λ的指数分布,对A和B立即开始服务,在对A或B结束服务后开始对C服务,对A、B两人服务所需的时间是独立的,求C在邮局中(1)等待时间的数学期望;(2)逗留时间的数学期望.解记 分别为邮局对A、B、C三个顾客的服务时间.(1)因为C在邮局中的等待时间为 ,所以由上题知,.(2)因为C在邮局的逗留时间为 ,所以有12.设X,Y独立同分布,都服从标准正态分布N(0,1),求E[max(X,Y)].解因为X,Y独立,都服从N(0,1),所以 ,又因为由于 ,所以1013.设随机变量相互独立,切都服从(0,θ)上的均匀分布,记试求E(Y)和E(Z)解记的密度函数和分布函数分别为则当0<t<θ时,Y与Z的密度函数分别为所以14.设随机变量U服从(-2,2)上的均匀分布,定义X和Y如下:

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解先求X+Y的分布列.因为X+Y的可能取值是-2,0,2.所以综上可得X+Y的分布列X+Y-202P1/41/21/4次分布对称,所以E(X+Y)=0,从而得Var(X+Y)=15.一商店经销某种商品,每周进货量X与顾客对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间(10,20)上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,则可从其他商店调剂供应,这时每商品利润为500元.试求此商店经销该种商品每周的平均利润.12解记Z为此商店经销该种商品每周所得的利润,由题设知Z=g(X,Y),其中

由题设条件知(X,Y)的联合概率密度为于是

16.设随机变量X与Y独立，都服从正态分布，试证证记则与独立，都服从N(0,1)分布，所以由前面的第12题知，又因为由此得13.17.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为X Y-10100.070.180.1510.080.320.20试求01P0.40.601P0.50.5的协方差0.280.72P10所以得由此得18.把一颗骰子独立地掷n次,求1点出现的次数与6点出现次数的协