大连理工大学线性代数与解析几何A卷答案(2014.6)

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大连理工大学课程名称线性代数与解析几何 试卷A 考试形式闭卷授课院（系数学科学学院 考试日期2014年6月16日 试卷6一一二三四五六七八总分标准分401088101266100得分得分（440分）填空题得分k 2 kA2 22

2 22 2,则A(k6)(k2)3 .k 22 k5 3 0 01 3 0

2 1 0 02 5 0 0 1 A

,则A10 0 020 0 2 0 20 0 0 3 1 0

0 3订 3.设a,a,a1 2 3

是一线性无关的向量组，若向量组a1,a2 ,aa3 1

线性相关，则k需满足条件k-11 1 1 0 1 -1 0 04.矩阵A2

0 2的行最简形为0 0 1 0 1 1 1 32 5 k

0 0 0 1 5.已知A1 4 1有三个线性无关的特征向量，则k= 0 0 11 2线 6.设A2

3 p3b2Axbp

k2p2 2

k

3xyz40P(1,2,3)

的平面的一般式方程为2xyz300 yz101 k 0 已知二次型f(x)xTk 9 0x为正定二次型，则k需满足条件0k 0 0 k 在空间直角坐标系Oxyz中，设aj2kbij，则a与b的夹角π为 4Aa1 2

,a,a3

a,a,a1 2

线性无关，且a4

a2a1

3a，3则齐次线性方程组Ax0的通解为k1,2,3,1T得分（210分）单项选择题得分方阵A是降秩矩阵的充要条件是（D ）（A）rAB)r(B) （B）Axb有无穷多个解（C）存在非零矩阵B，使得ABO 存在非零矩阵B，使得ABOB都是nE为nAEBE,ABEAB，则必有（AAE）0,BE0（B）AE0,BE0（C）AE0,BE0（D）AE0,BE0设矩阵B,P都是n阶方阵，若BAP，且P可逆，则（B ）A的行向量组与矩阵B的行向量组等价A的列向量组与矩阵B的列向量组等价P的行向量组与矩阵B的行向量组等价P的列向量组与矩阵B的列向量组等价已知,

是齐次线性方程组Ax0的基础解系，则该方程组的基础解系还1 2 3可选用（C ）（A）

,

与,

等秩的向量组1 2 2

3 3

1 2 3（C）

,

与,

等价的向量组1 2 2

3 3

1 2 31 2 0 0 5.设对称矩阵A1 ，B0 0 0，则A与 1 1 0 0 0（A）合同且相似 合同但不相似不合同但相似 （D）不合同且不相似2 1 0得分 三（8分）已知A1 2 0,得分 0 0 1

2BAEB.解：由ABA2BAE，得(A2E)BAE,(A2E)BAA1B(A2E)1A30 1 0 0 1 0A2E1 0 0,(A2E)11 0 0 0 0 1 2 0B12 1 0

0 0 3 0 0 得分（8分）求向量组a得分1

1,1,0,T,a2

3,2,2,4T,a3

2,1,2,3T,a 1,0,2,T的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4

2 1 3 2 1

解：,a解：,

a a

2 1 0

1 1,,1 2 3 4,,

0 1

2 2 2 2 3 1 1 1

0 0 10000

0 1 001 1 00 0 100 0 0该向量组的秩为3极大无关组为aaa1 2 4aaa3 1 2得分（10分）已知在空间直角坐标系中，三个平面得分xkyz1xykz1kxyz（）试确定k（2）1）k2（2）x1yz1 1 1得分六、(12分)已知二次型f(x,x得分

,x)a(x2x2x2)2xx

2x

2x

经正交1 2 3

1 2

12 13 23xQygyyy2y2y2y2.求a.求正交矩阵Q

1 2

1 2 3在空间直角坐标系Oxyzf(x,yz)1表示什么曲面？.a 1 1 解1）A1 a 1，A的特征值为2,1,1 1 1 a由A的对角元之和等于A的特征值之和，可得a00 1 1 （2）A1 0 1A的特征值为2,1, 1 1 02对应的特征向量为p1

1,1,T，单位化，得q313

11,1,T1对应的线性无关特征向量为p2

1,1,T,p3

1,0,T，2正交化并单位化，得q 22

1,1,T,q 3

11,1,2T61 6323232Q1 1321 03

166162 66（3）为双叶双曲面（4）z2z2z21 2 3得分（6分）已知mnAxbA的秩为r，得分V是Axb的所有解向量构成的集合，证明：V的秩为nr1.A的秩为rAx0的基础解系含nr.的解.

设v, ,1

nr

Ax0Axbv1

u,,

nr

uuAxb设l(vu)l

u)lu0,即lvl

l)u0，1 1 nr

nr

11 nr

nr 1

nr用A乘以上式，得(l1

nr

l)b0.因为b0,所以l1

nr

l0.这时，有lv

l

0.因为v,

线性无关，所以l

0.11 nr

nr

1 nr

1 nr再由l1

nr

l0，可得l0.故v1

u,,

nr

uu.由Axb的通解为xkvk

u，11 nrnr即xk(v1 1

u)

nr

(vnr

u)(1k1

)unrb的所有解都能由v1极大无关组，V的秩为nr

u,,

nr

uuv1

u,,

nr

uu是V的得分（6分）已知nBAB