262二次函数的图象与性质第六课时应用二次函数的有关知识解决问题（一）2021-2022华师大版九年级数学下册教案

课题：26.2二次函数的图象与性质第六课时应用二次函数的有关知识解决问题（一）＆.教学目标：1、会通过配方法求出二次函数的最大值或最小值。2、在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值，确定函数自变量的取值范围。3、通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的知识。＆.教学重点、难点：重点：根据实际问题建立二次函数的模型，并会通过配方求出二次函数的最大或最小值。难点：根据实际问题建立二次函数的模型，并确定二次函数自变量的取值范围。＆.教学过程：一、创设问题情境1、请你叙述二次函数的性质？2、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。（1）（2）二、探究新知§.探究二次函数的最值问题：问题1：求下列函数的最大值或最小值。（1）（2）解析：由于函数和的自变量的取值都是全体实数，所有只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数的最大值或最小值，即可通过配方方法或应用顶点公式坐标实现。解：（1）二次函数中二次项系数因此抛物线有最低点，即函数有最小值。因为故当时，函数有最小值是.（2）二次函数中二次项系数因此抛物线有最高点，即函数有最到大值。因为当时，函数有最大值是.探索：当时，求二次函数的最大值或最小值。§.方法归纳：最大值或最小值的求法第一步：确定的符号，有最小值，有最大值；第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值；第三步：若自变量的取值范围受到限制，则应根据实际情况加以讨论最值。问题2：如图，要用总长为的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。（1）设矩形的宽为，围成的花圃面积，求出与的函数关系式；（2）怎样围法，才能使围成的花圃的面积最大？解析：解决本题的关键是利用矩形的面积建立二次函数模型，然后根据自变量的取值确定最值。DCAB图1解：设矩形的宽为，则矩形的长为，则围成的花圃面积与的函数关系式是：，即DCAB图1配方得：（）故当时，函数取得最大值为.因为时，满足，这时所以围成的花圃与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长，此时花圃的面积最大，最大面积为.思考：对于实际问题应如何确定自变量的取值范围？问题3：某商店将每件进价为元的某种商品按每件元出售，一天可售出约件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销售量可增加约件。（1）设每件商品降价为元，该商品每天的利润为元，求出与的函数关系式；（2）将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？解：设每件商品降价为元，该商品每天的利润为元，由题意，得：，即（）配方得：因为满足.故当时，函数取得最大值为所以将这种商品的售价降低时，能使每天的销售利润最大为.§.概括：1、实际问题函数化：自变量选取的方法通常不是唯一的，以直接决定和影响其它因素变化的量为自变量，用自变量表示出其他量便得到函数关系式；2、用二次函数解决实际问题，较多的是配方（或用顶点坐标公式）求最值。但是一定要注意顶点坐标是否符合自变量的取值范围。三、讲解例题，巩固新知§.例1、用长的铝合金型材做一个形状如图2所示的矩形窗框。（1）设做成的窗框的宽为，做成的窗框的透光面积，求出与的函数关系式；（2）应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？思考下列问题：（1）若设做成的窗框的宽为，则长为多少？（2）根据实际情况，有没有限制？若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由。（3）你能说出面积与的函数关系式？解：设做成的窗框的宽为，则长为．这里应有，且，故．做成的窗框的透光面积与的函数关系式是x图2，即.x图2配方得所以当时，函数取得最大值，最大值因为时，满足，这时所以应做成宽、长的矩形窗框，才能使透光面积最大，最大面积是．同步练习：要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为.（1）要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米？（2）如果中间有（是大于的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？§.例2、某产品每件成本是元，试销阶段每件产品的销售价（元）与产品的日销售量（件）之间关系如下表：（元）（件）若日销售量是销售价的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？解析：日销售利润日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量。解：设日销售量是销售价的一次函数关系式为，由题意，得：，解得∴日销售量是销售价的一次函数关系式为设每件产品的销售价定为元，此时每日销售利润是元，则∴当每件产品的销售价定为元时，此时每日利润最大，最大利润为元。变式练习：某商店购进一批单价为元的商品，如果以单价元销售，那么一个星期可售出件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减小，即销售单价每提高元，销售量相应减少件。如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利