2021-2022学年湖南省张家界市高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省张家界市高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由交集的定义计算．【详解】由已知．故选：C．2．函数的定义域是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可得，即得.【详解】∵，∴，解得，且，所以函数的定义域为.故选：D.3．下列函数中在上是增函数的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数，二次函数，余弦函数的性质判断即可.【详解】因为底数大于1的指数函数为上的增函数，所以函数为上是增函数，A对，函数在上为减函数，B错，函数在上为减函数，C错，函数在上为减函数，D错，故选：A.4．命题“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】全称命题的否定是特称命题．因此命题“”的否定是：．故选：C．5．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先判断能否推出，再判断能否推出，由此确定正确选项.【详解】当时，，，所以，又能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.6．已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数的单调性，指数函数的单调性，求解即可.【详解】因为，，所以．故选：A7．已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】设半径弧长扇形面积对称轴是时，面积有最大值半径弧长扇形的中心角的弧度数.8．已知函数的定义域为，，当时，有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，由题可得，即求.【详解】∵当时，有，∴，即，令，则当时，，∴函数在上单调递减，由，知，可得，又，所以，∴，∴，解得.故选：C.二、多选题9．下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】由不等式性质知若，则，即，A对，取，则，，，B错，因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，因为，所以，，所以，D对，故选：ACD.10．已知幂函数图象过点，则下列命题中正确的有（）A． B．函数的定义域为C．函数为偶函数 D．若，则【答案】AD【分析】由题可得，利用函数的性质逐项判断即得.【详解】∵幂函数图象过点，∴，即，∴，故A正确；又函数的定义域为，故B错误；函数为非奇非偶函数，故C错误；当时，，故D正确.故选：AD.11．若下列各式左右两边均有意义，则其中恒成立的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据三角函数恒等变换公式逐个选项加以判断.【详解】，A对，，B错，，C对，，D对，故选：ACD.12．高斯是德国著名的数学家，人们称他为“数学王子”，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数（例如：，），则称为高斯函数．已知函数，，下列结论中不正确是（）A．函数是周期函数B．函数的图象关于直线对称C．函数的值域是D．函数只有一个零点【答案】AB【分析】由题可知函数为偶函数，结合条件可得，然后逐项判断即得.【详解】∵，∴，∴函数为偶函数，不是周期函数，是周期函数，对于，当时，，当时，，∴，由函数为偶函数，函数是偶函数，时函数成周期性，但起点为，所以函数不是周期函数，故选项A不正确；由函数是偶函数，函数的图象关于对称，由，，故函数的图象不关于对称，故B不正确；由上可知函数的值域是，故C正确；由可得，，当时，，，当时，，，当时，，，故直线与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，故D正确.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦函数的性质分析函数的图象和性质，进而利用高斯函数的定义可得函数的性质即得.三、填空题13．已知，则______．【答案】1【分析】由分段函数定义行计算出和，然后可得结论．【详解】由题意，，所以．故答案为：1．14．已知，则的最小值为___________.【答案】【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）参考数据∶取lg0.2=-0.699，lg0.3=-0.523，lg0.6=-0.229，lg0.7=-0.155【答案】5【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）xmg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，两边取对数得，，，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故答案为：5四、双空题16．已知函数的部分图象如图所示，则______，______．【答案】

2

【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点可求，即得.【详解】由图象知：，所以，则，所以，因为点在图象上，利用“五点法”可得，，又，所以，，所以.故答案为：2；.五、解答题17．已知集合，（）．(1)当时，求和；(2)是否存在实数，使得集合？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，=或(2)存在，【分析】(1)代入，根据集合的运算律求解，(2)假设存在实数，使得集合，列方程求实数，由此可得结果.(1)当时，，∵∴=或（注：结果正确，用区间表示同样给分．）(2)假设存在实数满足条件，∵，由，有由，则解得：故存在，使得集合．18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．已知为第二象限的角，_____________．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角关系式及三角函数在各象限的符号即求；（2）利用两角和公式展开即求.(1)选择①，法一：联立与，解得：或，∵为第二象限的角，∴；法二：由及已知得：，∵为第二象限的角，∴，，联立，得：；选择②，联立与，解得：∵为第二象限的角，∴；(2)∵，∴．19．设函数，且．(1)求a的值，并求函数的定义域；(2)用单调性的定义证明：函数在区间上单调递减．【答案】(1)a=2，；(2)证明见解析【分析】(1)由函数值求参数，通过真数大于零求得函数定义域；(2)通过函数单调性定义证明函数的单调性.(1)由，得：∴解，得：∴的定义域为；(2)设（），则∵∴∴∴即∴=在区间上单调递减．20．已知关于x的不等式的解集为．(1)求的值；(2)解关于x的不等式：．【答案】(1)(2)答案不唯一，详见解析【分析】(1)由韦达定理求参数；(2)求解含参数的一元二次不等式，讨论参数.(1)∵关于x的不等式的解集为∴－1，2为方程的两个根∴解得：；(2)由（1）知，不等式即为∵方程的两根为①当时，有；②当时，；③当时，有.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．21．已知函数．(1)求函数的最小正周期，并求的单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)5，.【分析】（1）利用正弦函数的性质即得；（2）根据三角函数的图象变换得到，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可；（3）结合三角函数图象，画图分析的位置，再根据对称性的性质结论求解即可.(1)∵，∴，由得：，∴的单调递减区间为；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图像，当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.(3)由方程，得，即，因为，可得，设，其中，即，结合函数的图像，可得方程在区间有5个解，即，其中，即，解得，所以.22．已知函数为奇函数．(1)求实数k的值；(2)若对，不等式恒成立，求实数m的最大值；(3)若函数在有零点，求实数的取值范围．【答案】(1)1(2)26(3)【分析】（1）由奇函数的性质求得参数值，然后检验函数是否满足题意即得；（2）用分离参数变形不等式，转化为求函数的最值，得参数范围；（3）用换元