2022-2023学年江西省赣州市文清外国语学校高三第四次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：2B2B一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。zizA．1

z

i，则z（ ）B．-1 C．1i D．1iy2+x2

=1(a>b>0)

yx1 A

F(0

-c) c

ABF已知椭圆a2 b2

与直线a b

两点，焦点

，，其中

为半焦距，若△

是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）5-1A．2

3-12

314

5143．定义在R上的偶函数（）满足（+）＝（，当∈﹣，﹣2时，（）＝﹣﹣，则（ ）A．f

＞f6

cos6

B．f（sin3）＜f（cos3） 3C．fsin3

＜f

cos 3

D．f（2020）＞f（2019）2i若i1Zz，则表示复数z

的点是（ ）A．E B．F C．G D．H小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x，小张离开家的时间为y，(x,y)看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率P(A)等于（ ）5 2 3 7A．8 B．5 C．5 D．8ft东烟台苹果因果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓享誉国内.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成体）的直径（单位：mm）服从正态分布N2X~N2PX

0.6826，PX

0.9544.A．0.6826

10.2

B．0.84131

clog

C．0.81852

D．0.95447．已知a2 ，b0.22， 1 ，则( ) 3A．abc B．bac C．bca D．acbRf(x)4x[2,2)f(x)1xx4flog

6flog

543 3 3 （ ）32

3log22 3

12

2log23 3fxcosx2

与gxkxk在6,8上最多有n个交点，交点分别为x,y（i1，，，则nxii1A．7

y（ ）iB．8 C．9 D．10已知锐角满足2sin21cos2,则tan（ ）1A．2 B．1 C．2 D．4y2sin2x的图象经过点

0fxsin2xcos2x图象的一条212 212 对称轴的方程可以为( )

37

17

13x24

x24

x24

x24设正项等差数列

的前n

2

的最小值为8n n 6 3 a82A．8 B．16 C．24 D．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知等比数列

的各项都是正数，且3a

,1a,

成等差数列，则log

a)log

a)= ．n 22 3 1

2 3 4

2 4 5f(x)mx2ex值范围是 ．

1(e为自然对数的底数）在xx1

和xx2

两处取得极值，且x2

2x1

，则实数m的取在ABC中，角A的平分线交BC于D，BD3，CD2，则ABC面积的最大值为 ．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人那么高二年级被抽取的人数．70（12分）在ABC中，内角,B,C的边长分别为a,b,c，且c2．π若A

b3，求sinC的值；3若sinAcos2

BsinBcos2 3sinC，且的面积S sinC，求a和b的值．A A 2518（12分）已知a,b,c均为正实数，函数fxx1

x1

1的最小值为1.证明：a2 b2 4c2（1）a2b24c29；1（2）

1

1.ab 2bc 2ac19（12分）如图，在三棱柱ABCAB

中，AB平面ABC，ABAC，且ABACAB2.1 1 1 1 1AA1B

与BC所成的角的大小；上确定一点P，使二面角PABA的平面角的余弦值为2 5.1 1 1 520（12分）已知函数f(x)(x1)lnx，g(x)xk.x x（1）证明：函数f(x)的极小值点为1；（2）yf(xg(x在1,17.821（12分）已知抛物线＝2p（＞，焦点F到准线的距离为，抛物线E上的两个动点（x）和（x2，2，其中x1x2且x1x＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点．E的方程；求△ABC面积的最大值．22（10分）移动支付（支付宝及微信支付）100位市民做问卷调查得到22列联表如下：将上220.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？10103人颁发35岁（35岁）XX的分布列及期望.（k

nadbc2bcdcbd（nabcd）参考答案125601、B【解析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】ziizii(zi(1i)zi1z1.zi故选：B【点睛】本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.2、A【解析】A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于abc.【详解】

y2x21a2 b2

x0 xb联立方程 ，解方程可得 或 ， yx1

y

y0BA·BF=0，BA·BF=0，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，因为BAb,a，BFb,c，bbac0，因为b2a2c2，所以a2-c2=ac，a2e2e10，

或e （舍去，5-11 5-11 5所以该椭圆的离心率为故选：A【点睛】

5-1.2本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于a,b,c的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.3、B【解析】根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由（+）＝（，得（）是周期函数且周期为，f（x）x∈[﹣3，﹣2]2f（x）f（x）R上的图象如下，A0sin6

1 3cos1，2 2 6f

66

6，选项A错误；6B，所以＜2＜，4 2所以（si）＜（﹣co，即（si）＜（co，选项B正确；3 1 C

,cos ,1sin cos 0，3 2 3 2 3 3

4

4所以fsin 3f

3，即

fsin 3f

3， 选项C错误；Df(2020)f(0)f(1)f(2019)D错误.故选：B.【点睛】4、C【解析】Z的坐标为(1,1)z1iz1i2i.z【详解】2i 2i由z1i，所以

i(1i1i，对应点G.故选：C

z 1i【点睛】5、D【解析】这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.【详解】解：事件A发生，需满足xy，即事件A应位于五边形BCDEF 内，作图如下：PA

11112 2 271 8【点睛】考查几何概型，是基础题.6、C【解析】80，5PX，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，80，5，则PX 850.6826，PX 900.9544，所以PX 9010.95440.68260.1359，PX 900.68260.13590.8185.2故果实直径在75,90内的概率为0.8185.故选：C【点睛】7、B【解析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断.【详解】01

101由于 2

2 ， 20.212

1 155155log13

2log13

10故bac故选：B.【点睛】8、A【解析】x[2,2)f

54)f

2)，再与flog

6一起代3入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】Rf(x)4

33 3f(log3

f(log3

544)f(log31

2)，3当x[2,2)时，f(x)( )xx4，3log3

6[2,2)，log3

2[2,2)，3flog3

6f3

5413( )log13

6(

6)41log

2 233 log 4( 3 3 3 33( 1log63( ) 13

log1

6

2)8333 3 3 333363log2

(63)23.2A.【点睛】9、C【解析】gx过定点.【详解】由题可知：直线gxkxk过定点1,0且fxcosx2

在是关于对称如图gxfx9同时点左、右边各四个交点关于对称i1

xy2419i i故选：C【点睛】ycosx的性质，属难题10、C【解析】利用sin2sincos,cos12sin2代入计算即可.【详解】4sincos2sin2，因为锐角，所以sin02cossin，即tan2.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.11、B【解析】 由点0求得 12

x

解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得f

x

的对称轴，由此确定正确选项. 【详解】由题可知2sin 2

0,. 12

2 6fxsin2xcos2x

2sin 2x2

2sin 2x2 6

6

6 4

12 52x

k,kZ，x

12 2k,k24 2k3x故选：B

24【点睛】12、B【解析】方法一由题意得S 2S (S S)S 2根据等差数列的性质得SS,SS,S成等差数列设Sx(x0)，x16xx16x3a2 (3a

)2

a

)2

S)2 (x4)2 16a则SSa6

x2，SS9 6

x4，则8 = 89a 3a89

7aa

9 6S

x 82x x

816，23a2

2 1 2 3 3x4时等号成立，从而a

的最小值为16，故选B．方法二：设正项等差数列{a

2d，由等差数列的前nSn 63a3a1623a2

2S3

2，化简可得65 32 2

)26a d d)2即d 则

6d)2 2 3 16

816，当且1 2

2 9 a8 2a

a 2

82 仅当3a

16，即

4时等号成立，从而

3a28

2 2 2 2的最小值为16，故选B．2 2 3 a2 2452013【解析】根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.【详解】等比数列

的各项都是正数，且3a

,1

,

成等差数列，则a 3

n4a，1

22 3 1由等比数列通项公式可知aq2

3aq4a，1 1 1所以q23q40，解得q4或q1（舍所以由对数式运算性质可得log(a2

a)log(a4 2

a)5log2

aa43a a434 5aq2aq3 1log 1 1 log2aq3aq4 2q1 1

12，24故答案为：2.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.114ln2

【解析】先将函数f(x)在xx

和x

两处取得极值，转化为方程m

e (x0)x

2x

，再令x1 2 x

1 2 2 1h(x)

ex(x0)ym与曲线h(x)2x

exx2x 2

2x1

，用导数方法研究h(x)

ex单调性，作出简图，求出x 2x

m.2x 2 1【详解】fexf，又函数f(x)在xx1

和xx2

两处取得极值，x

是方程2mxex0

2x，1 2m

(x0)x

2 12x，2x令h(xex2x

(x0)，

1 2 2 1ym与曲线h(x

exx2x 2

2x，1h(xex(2x2)ex(x1)，4x2 2x2h(x)0x1，x1h(x0，即函数h(x

ex在上单调递增；2xx00x1h(x0h(x

ex在(,0)和(0,1)上单调递减；2xx 2x

x x ln2

m 1 1eex1 eex1 2 1 2x1

2x 得12

，此时

，ex2x ln2ex1因此，由x2

2x1

m

1 .ln21故答案为n

【点睛】本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.15、15【解析】

AB BD【详解】

CD,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出ABC面积的最大值.BD3CD2

BD 3 ,AC CD 2AC2xBAC2,0,AB3x2 2 524x29x223x2xcos25x21312cos1 75sinSABC

23x2xsin3x2sin1312cos2tan 752sincos

75

1tan21312

cos2sin2

1tan213121tan2 150tan 125tan2

1501 25tan 2

1501 25tan

15tan

tan1tan

25tan，即tan1时取等号5所以ABC15故答案为：15【点睛】1620【解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人，根据抽样比可求得结果.【详解】设高一、高二、高三人数分别为abc，则ac且abc1800，b600，用分层抽样的方法抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为60故答案为：20.

60020人．1800【点睛】本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）sinC

（）ab5.21721【解析】先由余弦定理求得a，再由正弦定理计算即可得到所求值；运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinCa，b的方程组，解方程即可得到所求值．【详解】（）由余弦定理a2b2c22bccosA9423212

7,a7a7由正弦定理

c21得sinC21sinA sinC 7（2）sinA1cosBsinB1cosA2 2

3sinCsinAsinAcosBsinBsinBcosA6sinCsinAB6sinC,sinA所以ab10 ①又S1absinC25sinC,所以ab25 ②2 2由①②解得ab5【点睛】18（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】..【详解】由题意abc0，则函数f(x)x

x 1

x

1(x

1) 1

1

1 1 ，1a21b24c2 a2 b2 4c2 a2 b2 4c21a21b2fx的最小值为1，即1a2

1 1b2 4c2

1，由柯西不等式得(a2b24c2)

1 1 1

(111)2

9，a2 b2 4c23当且仅当ab2c3

时取“=”.故a2b24c29.1 1a1 1a2 b22 1，ab

1 4c2

1 1，bc a2

1 1，4c2 ac（以上三式当且仅当ab2c

3时同时取“=”）31由（1）知， 1a2

1 1b2 4c2

1，2所以，将以上三式相加得 112

21

1 1 2ab bc ac a2 b2 4c2即1 1 1 1.ab 2bc 2ac【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.19（1） （2）P3【解析】（）因为A⊥A，A⊥平面AB，所以以A为坐标原点，分别以A、AB所在直线分别为x轴和y11轴，以过A，且平行于BAz轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AB=2求出所要用到的点的坐标，求出棱1111AABC上的两个向量，由向量的夹角求棱AABC所成的角的大小；111 1 （2）设棱BC上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1 1 面角P-AB-A的平面角的余弦值为2 5，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．1 5试题解析：解（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则CBA1

B1

0,4,2，AABCBC2,0.1 1 1AABC 4 1cosAA,BC1

1 AABC

8

2，AA1

1BC所成的角是.3（2）PBC中点，1 1BPBC22,0P2,42,2.1 1 1设平面PAB的法向量为n1

x,y,z，AP2,42,2，nAP0 x3y2z0 zx1

，nAB0 1

2y0

y0故n1ABA

n

cosn,n

nn 1

2 5而平面

的法向量是1 2

，则 1 2

1 2nn

12 5 ，解得

1PB

1 2中点，其坐标为P1,3,2.2 1 1点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：观察图形，建立恰当的空间直角坐标系（）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量（）的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量（）将空间位置关系转化为向量关系（）根据定理.20（1）见解析（2）见解析【解析】(1.(2)函数yfxgx在1,有两个零点，即方程x2lxx2在区间1,有两解，令hxx2lxx2.

k【详解】（）证明：因为f'x1

1lnx1

1，(x0) x2 x2 1x2当x时，lnx0,11x2fx在区间

0,1

10，f'x0，x2xlnx0,110,110，x2 x2f'x0fx在区间递增；f0fx1yfxgx在有两个零点， 即方程x21lnx

k在区间1,有两解，令hxx2lxx2，则h'x2lxx1x令xh'xx，则'x2lnxh'x在单调递增，又h'120，h'24ln2502

110，x2故存在唯一的mh'm2mlnmm1

0，即lnm

1 1 ，m 2 2m2hx在单调递减，在区间单调递增，hhe

hx

hmm2lmm

m21

1 1 m21

m2

1又因为

2 2m2

2 m2m1,2，所以hx

17，8x的方程x21lnxx2

k在1,有两个零点，由fx的图象可知，17hx

kh1，即1k17.8

8 min【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.14 721（1）y2＝6x（2） ．14 73【解析】根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；|AB|.【详解】抛物线＝2p（＞，焦点6x；

p，0）x2

p的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝2AB

，y，则

xx 1 22，x0 0 0 2y y y y 6 3yy

2 1 2 1 y 1 2，k xx y2 y2 yy y ，0 2 AB 2 1

2 1

1 2 06 6ABy﹣y0

y0﹣，①3可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，3 y且点（，，由①可得直线AB的方程为﹣y （x﹣，即x 0﹣y）+2 ②0 y 3 000代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y2＝0 由题意y，2是方程③