压电方程组专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件

压电方程组压电晶体切割边界条件和四类压电方程组各类压电方程组常数之间关系二级压电效应1wangcl@第1页第1页压电晶体切割通过前几节相关压电常数讨论使我们理解到，不是压电晶体任何方向都存在压电效应，而只有一些特定方向才存在压电效应。2wangcl@第2页第2页压电晶体切割比如，—石英晶体，假如选择了与z轴垂直方向切下一块晶片（即晶片厚度方向与z轴平行），无论对此晶体作用什么力，都不能在z轴方向产生压电效应。假如选择了与x轴垂直方向切下一块晶片，则当应力T1、T2或T4作用时，在x方向能产生压电效应。

3wangcl@第3页第3页因此，用压电晶体做压电元件时，不是随便从晶体上切下一块晶片，就能够做成所需要元件，而是要依据压电晶体压电常数，以及对压电元件性能设计要求，并通过重复试验后，才干找到较适当方向进行切割。

4wangcl@第4页第4页切割符号要求

x、y、z代表晶体三个坐标轴，l、w、t代表晶片长度、宽度、厚度。比如：xy切割表示晶片厚度与x轴平行，长度与y轴平行（即第一个字母代表厚度方向，第二个字母代表长度方向）。又如：xz切割表示晶片厚度与x轴平行，长度与z轴平行。也有把xy切割和xz切割简称为x切割。length,width,thickness5wangcl@第5页第5页图4-13晶片切割示意图XY-切割XY-cutXZ-切割XZ-cutYZ-切割YZ-cut6wangcl@第6页第6页图4-13晶片切割示意图YX-切割YX-cutZX-切割ZX-cutZY-切割ZY-cut7wangcl@第7页第7页一次旋转切割yzw-50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕宽度沿顺时针方向旋转50，即即第一个字母代表厚度方向，第二个字母代表长度方向，第三个字母代表转轴方向，-50代表沿顺时针方向旋转50。xyt+45切割，表示厚度方向平行于x轴，长轴平行于z轴，并绕厚度沿逆时针方向旋转45，有时简称这种切割为45x切割。8wangcl@第8页第8页yzw-50°切割yzw-50°cutxyt+45°切割xyt+45°cut9wangcl@第9页第9页二次旋转切割yzlt40/50切割，表示厚度方向平行于y轴，长轴平行于z轴，并绕长度沿逆时针方向旋转40，再绕厚度沿逆时针方向旋转50。yzlt+40/50cut10wangcl@第10页第10页酒石酸钾钠晶体切割酒石酸钾钠晶体NaKC4H4O6-4H2O（即罗息盐）属于正交晶系222点群，它压电常数为11wangcl@第11页第11页当电场E=0时，电位移D与应力张量之间关系为：12wangcl@第12页第12页当应力为零时，电场E与应变张量之间关系为13wangcl@第13页第13页可见当酒石酸钾钠晶体分别受到应力X4、X5或X6作用时，将分别在x方向、y方向或z方向产生压电效应。对于x切割酒石酸钾钠晶片，要它在x方向出现正压电效应时，必须使晶片受到切应力X4作用。事实上要在晶体上作用一个切应力是比较困难，因此用x切割晶片通过D1=d14X4关系式来测定压电常数d14是不以便。

14wangcl@第14页第14页另一方面当x切割晶片受到x方向电场E1作用时，通过逆压电效应，晶片产生切应变x4，而不能产生身长缩短应变。为了得到能产生伸缩振动晶片，生产上常采用45x切割。从图4-14看出：（1）45x切割是利用晶片切应变转为沿长度方向伸缩应变。（2）45x切割长度与宽度不在和晶体y轴与z轴平行。15wangcl@第15页第15页图4-14酒石酸钾钠45x切割16wangcl@第16页第16页坐标变了，不能直接使用（4-18）式来描写45x切割晶片压电行为，需要对压电常数进行坐标变换，求出压电常数在新坐标系中矩阵表示式。在新坐标系中压电常数矩阵为17wangcl@第17页第17页新坐标系中压电常数矩阵18wangcl@第18页第18页即新坐标系中压电常数与旧坐标系中压电常数之间关系为19wangcl@第19页第19页假如45x切割晶片只受到y’方向（即长度方向）应力X’2作用时，在x方向产生电位移D’1为，20wangcl@第20页第20页可见通过D’1=d14X’2/2来测定压电常数d14时，只需要用张力或压力，这就比通过D1=d14X4来测定压电常数d14以便多。试验上，惯用45x切割晶片来测定酒石酸钾钠晶体压电常数d14；用45y切割晶片来测定d25；用45z切割晶片来测定d36。21wangcl@第21页第21页这些压电常数数值为： d14=34510-12库仑/牛顿 d25=-5410-12库仑/牛顿 d36=1210-12库仑/牛顿22wangcl@第22页第22页—石英晶体切割

石英晶体z轴是光轴，z切割晶片在z方向无压电效应。x切割是最早采用切割，x切割晶片，频率温度系数约为-3010-6/度左右，还不够抱负。y切割晶片，频率温度系数较高，约为10010-6/度左右。因此生产上很小采用y切割晶片。当前生产上广泛采用切割方式，如图4-15所表示。

23wangcl@第23页第23页24wangcl@第24页第24页图4-15常见石英晶体切型25wangcl@第25页第25页这些切割温度系数，在较广温度范围内靠近于零。在高频方面惯用切割有:AT切割（=3515’）适合用于250kHz—3MHz；BT切割（=-49）适合用于3MHz以上；26wangcl@第26页第26页在低频方面惯用切割有：CT切割（=3836’）适合用于100kHz—400kHz；DT切割（=-51）适合用于70kHz—500kHz；ET切割（=66）适合用于250kHz—800kHz；FT切割（=-57）适合用于200kHz—600kHz；GT切割适合用于100kHz—500kHz；

27wangcl@第27页第27页钛酸钡z切割晶片压电方程

晶体介电性质所遵从电学规律，要用电位移D（极化强度P）与电场E之间关系式来描写。28wangcl@第28页第28页晶体弹性性质所遵从力学规律，要用应力张量X与应变张量x之间关系式—广义胡克定律来描写。或29wangcl@第29页第29页同样，压电晶体压电性质所遵从机电规律，要用电位移D，电场强度E，应力张量X，应变张量x之间关系—压电方程来描写。下面先以钛酸钡晶体z切割为例，进行分析讨论。然后推广到普通情况下压电方程。30wangcl@第30页第30页实际生产上常使用压电元件形状，大多数是薄长片或薄圆片等简朴形状。又由于钛酸钡压电常数d310，因此可选择钛酸钡zx切割晶片为例。这样切割晶片，长度l沿x方向，厚度lt沿z方向和宽度lw沿y方向。即晶片坐标轴与晶体坐标轴一致。31wangcl@第31页第31页图4-16钛酸钡zx切割晶片示意图

32wangcl@第32页第32页由于晶片长度l>>宽度lw和厚度lt，长度是主要矛盾，故只要考虑x方向应力T1作用，其它应力分量X2、X3、X4、X5、X6能够忽略不计；由于晶片电极面与z面垂直，故只要考虑电场E3作用，其它电场分量E1、E2能够忽略不计。

33wangcl@第33页第33页现在只考虑在应力X1和电场E3作用下晶片形变。当电场E3=0，应力X10时，晶片在应力X1作用下产生弹性形变为，弹性柔顺常数sE11上标E表示电场E=0（或E为常数），即sE11代表E=0弹性柔顺常数，故称短路弹性柔顺常数。

34wangcl@第34页第34页当电场E30，应力X1=0时，晶片在电场E3作用下通过逆压电效应产生压电应变为，35wangcl@第35页第35页当电场E30，应力X10时，晶片在应力X1和电场E3作用下，产生应变应当是弹性应变和压电应变之和，即36wangcl@第36页第36页在应力X1和电场E3作用下晶片电位移：当电场E30，应力X1=0时，晶片在电场E3作用下产生介电电位移为介电常数X33上标X表示应力X=0（或X为常数），即X33代表X=0（或X为常数）时介电常数，称为机械自由介电常数。37wangcl@第37页第37页当电场E3=0，应力X10时，晶片在应力X1作用下通过正压电效应产生压电电位移为，当电场E30，应力X10时，晶片在应力X1和电场E3作用下，产生电位移应当是介电电位移与压电电位移之和，即38wangcl@第38页第38页最后得到钛酸钡晶体zx切割晶片压电方程为（以应力X和电场强度E为自变量）：上被称为第一类压电方程组。39wangcl@第39页第39页第一类压电方程组普通形式为矩阵形式为d：压电应变常数压电位移器要求高d常数原子力显微镜40wangcl@第40页第40页这个方程组特点在于以应力X、电场强度E为自变量，应变x、电位移D为因变量；即认为应变x、电位移D改变是由应力X、电场E改变引起。式中还包括了短路弹性柔顺常数sE11，自由介电常数X33以及压电常数d31。

41wangcl@第41页第41页边界条件boundaryconditions通常测量样品频率特性（谐振频率和反谐振频率）时，晶片中心被夹住，晶片边界却处于机械自由状态。这时边界上应力X|边界=0，应变x0，这样边界称为机械自由边界条件，或称边界自由条件。42wangcl@第42页第42页但是应当注意，边界自由条件只表示样品在边界上应力为零，样品内应力普通情况下并不等于零，只有在低频情况下，样品内应力才靠近于零，因此在边界自由和低频条件下，测得介电常数才是（机械）自由介电常数X33。

43wangcl@第43页第43页若测量电路电阻远小于样品电阻，则可认为外电路处于短路状态，这时电极面上没有电荷积累，样品内E=0（或为常数）。这样电学边界条件称为（电学）短路边界条件。在短路条件下测得弹性柔顺常数才是短路弹性柔顺常数sE11。

44wangcl@第44页第44页其它边界条件比如测量时，样品边界被刚性夹住，这时边界上应变x|边界=0，应力X0，这样边界条件称为机械夹住边界条件，或称边界夹住条件，或者边界夹持条件。也应注意，边界夹持条件，只是表示样品在边界上应变为零，样品内应变普通情况下并不等于零，只有当频率非常高情况下，样品内应变才靠近于零，因此在非常高频率下测得介电常数才是夹住介电常数xmn。45wangcl@第45页第45页若测量电路电阻远不小于晶片内电阻，则可认为外电路处于开路状态，这时电极面上自由电荷保持不变，样品内电位移D为常数（或D=0）。这样电学边界条件称为（电学）开路边界条件，简称开路条件。在开路条件下测得弹性柔顺常数才是开路弹性柔顺常数sDij。46wangcl@第46页第46页四个边界条件：机械边界条件有两种,即:边界自由条件,边界夹住条件;Freeandclamped电学边界条件也有两种,即:短路条件,开路条件。Shortandopen47wangcl@第47页第47页从二种机械边界条件和二种电学边界条件中各选一个，就可组成四类不同边界条件：（1）机械自由和电学短路条件；（2）机械夹持和电学短路条件；（3）机械自由和电学开路条件；（4）机械夹持和电学开路条件。48wangcl@第48页第48页对于不同边界条件，为了运算方便，就必须选择不同自变量。比如，当边界条件为边界自由条件和短路条件时，以选应力张量X和电场强度E为自变量，应变张量x和电位移D为因变量较方便，对应压电方程组就是第一类压电方程组。与其它各类边界条件相适应自变量与压电方程组以下。49wangcl@第49页第49页第二类压电方程组假如在测量上述z切割钛酸钡晶片时，在晶片长度两端被刚性夹具所夹住，即边界上应变x=0，应力X0；并且外电路电阻远小于晶片内电阻，在电极面上无电荷积累，即电压保持不变（或E=常数），电位移D常数。这时晶片边界条件为机械夹持和电学短路条件。

50wangcl@第50页第50页在此边界条件下，以选应变张量x和电场强度E为自变量，应力张量X和电位移D为因变量较以便。相应第二类压电方程组为

51wangcl@第51页第51页式中:cE11=(X1/x1)E称为短路弹性刚度常数，是在外电路为短路条件下，测得弹性刚度常数；E33=(D3/E3)x称为机械夹持介电常数，是在机械夹持条件下，测得介电常数。52wangcl@第52页第52页e31称为第二类压电常数（也称压电应力常数）。它意义为：e31=(D3/x1)E为在短路条件下，由于晶片沿x方向应变x1改变，引起沿z方向电位移改变与应变x1改变之比。或者：e31=-(X1/E3)x为机械夹持条件下，由于沿z方向电场强度E3改变，引起沿x方向应力X1改变与E3改变之比。负号表示电场强度E3增长时，应力X1变小。

53wangcl@第53页第53页第二类压电方程组普通形式为矩阵形式为e:压电应力常数54wangcl@第54页第54页第三类压电方程组当边界条件为机械自由和电学开路情况下，以选应力张量X和电位移D为自变量，应变张量x和电场强度E为因变量比较以便，相应第三类压电方程组，55wangcl@第55页第55页式中：sD11=(x1/X1)D称为开路弹性柔顺常数，是在外电路为开路条件下，测得弹性柔顺常数；X33=(E3/D3)X称为自由介电隔离率，它等于自由介电常数X33倒数，即X33=1/X33，是在机械自由条件下，测得介电隔离率，或介电常数倒数1/X33。

56wangcl@第56页第56页g31称为第三类压电常数，也称压电电压常数。它意义为：g31=(x1/D3)X为在机械自由条件下，由于晶片沿z方向电位移D3改变，引起沿x方向应变x1改变与D3改变之比。或者g31=-(E3/X1)D为开路条件下，由于沿x方向应力X1改变，引起沿z方向电场强度E3改变与X1改变之比，负号表示应力X1增长时，电场强度E3变小。

57wangcl@第57页第57页第三类压电方程组普通形式为矩阵形式为g:压电电压常数压电点火器要求高g常数58wangcl@第58页第58页第四类压电方程组

当边界条件为机械夹持和电学开路情况下，以选应变张量x和电位移D为自变量，应力张量X和电场强度E为因变量比较以便，相应第四类压电方程组，59wangcl@第59页第59页式中：cD11=(X1/x1)D称为开路弹性刚度柔顺常数，是在外电路为开路条件下，测得弹性刚度常数；x33=(E3/D3)x称为夹持介电隔离率，它等于夹持介电常数x33倒数，即x33=1/x33，是在机械夹持条件下测得介电隔离率，或介电常数倒数1/x33。60wangcl@第60页第60页h31称为第四类压电常数（也称压电刚度常数）。它物理意义为：g31=-(X1/D3)x为在机械夹持条件下，由于沿z方向电位移D3改变，引起沿x方向应力X1改变与D3改变之比，负号表示电位移D3增长时，应力X1变小。或者h31=-(E3/x1)D为电学开路条件下，由于沿x方向应变x1改变，引起沿z方向电场强度E3改变与x1改变之比，负号表示应变x1增长时，电场强度E3变小。

61wangcl@第61页第61页第四类压电方程组普通形式为矩阵形式为h:压电刚度常数62wangcl@第62页第62页旋转坐标系中压电方程组前面介绍压电方程组是在主轴坐标系中压电方程组,介电常数,弹性常数和压电常数都是在主轴坐标系中数值。这些数值能够在相关手册中查到。不过实用压电晶片所处坐标系（普通以晶片长、宽、厚为坐标轴）与主轴坐标系不同。63wangcl@第63页第63页以第一类压电方程组为例简介如何得到旋转坐标系中压电方程组，其它压电方程组变换类似。64wangcl@第64页第64页变换矩阵坐标变换：电学量变换：力学量变换：65wangcl@第65页第65页66wangcl@第66页第66页67wangcl@第67页第67页例：绕x轴旋转后-石英晶体第一类压电方程组68wangcl@第68页第68页介电常数69wangcl@第69页第69页式中：70wangcl@第70页第70页弹性常数71wangcl@第71页第71页变换矩阵N72wangcl@第72页第72页73wangcl@第73页第73页式中：74wangcl@第74页第74页压电常数75wangcl@第75页第75页式中：76wangcl@第76页第76页新坐标系中压电方程组为77wangcl@第77页第77页压电方程组常数之间关系

因为自变量不同，共得到了四类压电方程组，都是晶体压电性质所遵从规律，因此它们之间不是相互不相关，而是存在一定联络。这个联络一定会在各压电方程组常数之间反应出来。就是说，各压电方程组常数之间存在一定关系。78wangcl@第78页第78页在四类压电方程组中有：（1）反应压电晶体弹性性质常数，如sE11、sD11和cE11、cD11等机械参量；（2）反应压电晶体介电性质常数，如x33、X33和x33、X33等电学参量；（3）反应压电晶体压电性质常数，如d31、e31、g31、h31等机电参量。

79wangcl@第79页第79页由第一类压电方程组（4-23）式中第一式可得：80wangcl@第80页第80页再将此式代入第一类压电方程组（4-23）式中第二式可得：81wangcl@第81页第81页整理得：第二类压电方程组82wangcl@第82页第82页将此两式与第二类压电方程组（4-24）式比较能够得到:（1）cE11=(sE11)-1这表明z切割钛酸钡晶片开路弹性刚度常数cE11为开路弹性柔顺常数sE11倒数。83wangcl@第83页第83页（2）e31=d31(sE11)-1=d31cE11这表明z切割钛酸钡晶片第二类压电常数e31为第一类压电常数d31与短路弹性刚度常数cE11乘积，或第一类压电常数d31为第二类压电常数e31与开路弹性柔顺常数sE11乘积。84wangcl@第84页第84页（3）x33=X33-d31(sE11)-1d31=X33-e31d31或X33-x33=e31d31这表明z切割钛酸钡晶片自由介电常数X33与夹持介电常数x33之差等于e31与d31只乘积。采用上述类似办法，可进一步得到诸常数之间关系如表4-2所表示。

85wangcl@第85页第85页表4-2钛酸钡z切割晶片各常数之间关系式介电常数与压电常数之间关系弹性常数与压电常数之间关系压电常数与介电常数、弹性常数之间关系86wangcl@第86页第86页次级压电效应为了进一步阐明介电常数X33与x33之间以及弹性常数sE11与sD11之间差别是什么原因造成，这里首先要简介二级压电效应。二级压电效应又称为次级压电效应。Secondarypiezoelectriceffect87wangcl@第87页第87页当z切割钛酸钡晶片只受到应力X1作用时，作为弹性介质它将产生弹性应变x1(1)，即作为压电晶体，X1还将通过正压电效应（即第一次压电效应），产生压电电场E’3，即而压电电压将再通过压电效应（即第二次压电效应），使晶片又产生一个附加压电应变x1(2)88wangcl@第88页第88页可见附加压电效应是由于对同一晶片考虑了第二次压电效应结果，常称为二级压电效应（第一次压电效应称为一级压电效应）。89wangcl@第89页第89页同样，当晶片只受到电场E3作用时，作为电介质它将产生极化，相应电位移D3(1)为

作为压电晶体，E3还将通过逆压电效应（一级压电效应），产生压电应变，x’1即而压电应变将再通过正压电效应（二级压电效应），使晶片又产生一个附加压电电位移D3(2)，

90wangcl@第90页第90页可见附加压电电位移也是二级压电效应。以上讨论了二级压电效应，要不要再讨论三阶以上压电效应？由于二级压电效应比一级压电效应小得多，三级压电效应比二级压电效应小得多，因此普通情况下不再需要考虑三级以上压电效应。91wangcl@第91页第91页夹持介电常数与自由介电常数

普通电介质不存在压电效应，因此介电性质与机械性质无关，即有X33=x33=33。可见对于非压电体，只要用介电常数ij来描写介电性质就够了。但是对于压电体，其介电性质与机械条件相关，因此存在夹持介电常数x33与自由介电常数X33之别。所谓机械“夹持”是晶体被刚性夹具夹住，无论在多大电场作用下，都不能使晶体产生形变。92wangcl@第92页第92页Clamped（夹持夹住夹紧）

这时电场对压电晶体作用，只能使之产生介电极化，而不能通过二级压电效应产生附加压电极化。也就是说在机械夹持条件下，电场在压电体中所引起作用与它在普通电介质所起作用相同。机械夹持状态下相应电位移为：93wangcl@第93页第93页Mechanicalfree所谓机械“自由”是压电体处于自由状态。这时压电体在电场作用下，能够产生自由形变，因此电场在压电晶体中作用，除了使晶体产生极化外，还能通过二级压电效应使之产生附加压电极化。也就是说在机械自由条件下，电场在压电体中所起作用要不小于它在普通非压电体中作用。

94wangcl@第94页第94页可见自由介电常数X33与夹持介电常数x33差别是由于二级压电效应造成。在机械自由条件下，相应电位移为：故得：95wangcl@第95页第95页数值举比如下：钛酸钡晶体（25C）：X33=168，x33=109，故有X33-x33=59；铌酸锂晶体：X33=30，x33=29，故有X33-x33=1；钛酸钡陶瓷：X33=1700，x33=1260，故有X33-x33=440；PZT-4陶瓷：X33=1300，x33=635，故有X33-x33=665。96wangcl@第96页第96页短路弹性柔顺常数sE11和开路弹性柔顺常数sD11

普通弹性介质不存在压电效应,弹性性质与电学边界条件无关,因此即有sE11=sD11=s11。可见对于非压电体只要用弹性柔顺常数sij来描述弹性性质就足够了。但是对压电体，由于存在压电效应，压电体弹性性质与电学边界条件相关，因此存在短路弹性柔顺常数sE11和开路弹性柔顺常数sD11差别。

97wangcl@第97页第97页Shortcircuit所谓“短路”是测量电路电阻远小于晶体内电阻，外电