对数与对数函数知识点及题型归纳总结

aaaaa对与数数识及型纳结aaaaa知点讲一对概axN(N0)nlog(且a

，叫做以

为底

的对数注：①

，负数和零没有对数；②

log0,logaa

；③

N,lnN10

二对的算质(1)log(MN)MN(MNaa

);(2)loglogM(MNR

);(3)logMnlogM(aalogb(4)logb(a且ab且c底式）logc特殊地

ba

b

(,b且；(5)log

n

logb,m0,nR；a(6)

log

N(N且；(6)logNNNRa且a化常数为指数、对数值常用这两个恒等三对函（1）一般地，形如

y(a

的函数叫对数函.（2）对数函数

y(a

的图像和性质，如表2-7所示ylogxa图像

a

3342性质3342

（1定义域：(0,（2值域：（3图像过定点：

（1定义域：(0,（2值域：（3图像过定点：(1,0)（4在(0,

上是增函数

（4在

上是减函数题归及路示题对运及数方、数等思提对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用.数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为一对运例

2loglog5

（）.0B.1.2分loglogaa

n

loga

(na解log0.251055故选

2

0.25(10055

2

2评熟对数的各种运算性质是求本类问题的前变已x为正实数，则（）

lgyBlg(x

x

lgx

lgx

lg

.2

xy)

2

lg

lg变

2)lg(lg5)2

变

2

20(lg2)

2

例

loglog8274

解log327

433,log822.32所以原式

176变

(622)

例

)lg0.5

分

a(abcc解

lg30

)

x,

则

lg0.5

lg30lg0.5

(lg30lg3)lg5lg3lg3所以

二对方例解列方程：11(1)(lgx10);22(2)log

(2x2分利对数的运算性质化简后求.1解析（1）xlg5x2

，首先方程中的

x

应满足

，原方程可变形为lg2lg5lg(x10)

即lg

xx得x3

从

或

验，

是原方程的.（2）

log

2

，经检验是方程的解.

，解得

x

评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下

x

的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依.变

函数fx)(4

.（1）若函数f()

是R

上的偶函数，求实数

的值；（2）若a，求函数f(x

的零点三对不式例设

0

，函数f()

a()的x的值范围（）A.(.(0,3)aa分先对数不等式化为同底的形，再利用单调性转化为指数不等式求解(x)log

1，0，数ylogx

在

上单调递减，得

13a22xax(ax3)(x13

，因为x

，故，

，所以

x3.a

故选

.变

已知函数x

为R

上的偶函数

不等式

x的解集为例设log4,b,4C.

则（）分利对数函数的单调性来比较数的大小，通常借助和1作为分界点.解因

ylogx单递增，所以5log3log4且log5(log3)5故选D

34log54变

设algeb(lg)2

，则（）Cc

B变

设a

3.4

,b

3.6

,c

，则（）C

变

（2012大全国理）知

xln

,2,z5

12

，则（）A.C.

D题对函的像与质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方.一对函的像例如所示

C,C,C12

4

是底数分别为a,b,c,d

的对数函数的图像曲线

C,C,C12

4对应的底数,,,

的取值依次为（）

1A,21C.2,3,,3

12D.3,2,,3分给曲线的图像，判定

C,C,C所应的a,c,d134

的值，可令求解如2-16所，作直线

交

C,C,C13

4

于,D

，其横坐标大小为

，那么

C,C,C12

4

所对应的底数b,,d

1的值可能一次为,2

故选

评注对函数在同直角坐标系中的图像的相对位置底数大小的系如图所示，则yx且a图像越靠近y

在第一象限的图像，越，图像越靠近轴越小，变1

若函数

f()且

是定义域为的函数，则函数

f()logxa

的图像大致是（）

bc11a22minbc11a22min变

设b,c

均为正数，且

2

a

a,2

c2

，则（）cCc例函

ylog(xa

的图像必过定点.分对函数

ylog(a

的图像过定点(1,0)，即log1a

解析因

y(a

恒过

，故

即x

时，

ylogxa

，故ylog(xa

恒过顶点(0,2)

变

函数

ylogx2)a

的图像过定点.二对函的质单性最（域例设

，函数

f()loga

在区间

上的最大值与最小值之差为

，则

（）分析本题考查对数函数的单调性和最.解因为对数函数的底a，所以函数

f(x)loga

在区间

上单调递增，故f()

2f)a

min

logaa

1，即log2解故选D2变

若函数B.

f()x(0aaC

在区间

D

上的最大值是最小值的

3

倍，则

等于（）例设

)2log求f(x)122

2

x4

的最大值和最小值.解2(logx1

2

7logx122

2logx12

解得

2x

又

f()x1)(logx2)(log)2

3logx

令

tlogx，f(x)(t)

2

当t

1即2时fx);当t即f(x4变

已知

f)(x

，求函数

g())x

)

的最大值与最小

xxa42xx42xxa42xx42例若数

f()

(x()(0)

，且f)f()

则实数

的取值范围.解依意函f()

的图像如图示知f()

为奇函数，由f()f(

的得()0

，解得a1,0)U

变

已知函数

f)lg，

，且f(af(b，则b

的取值范围是（）AB.

2,

C.(3,

3,

变

定义区间

12

的长度为

x2

已函数

(xlog1

的定义域为

2与最小值的差为题对函中恒成问思提（1）利用数形结合思想，结合对数函的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价化思想，转化为函数的最值问例已函数

f(lg

1x3

x

，若

时有意义，求

得取值范围.解因

f(

1

x

在上有意义，即3

x

在所以

令

g(x)

,

xxxx因4222xxxx因4222因为y

与y

在

上为减函数，故g(x

在

上为增函数，所以对任意的

时，()

为

在

所以

的取值范围是

评为求的取值范围进行了分离(x)

存在最大值()

恒成立等价于

g(x)

max

a

；若()

不存在最大值，设其值域为

g(x(x

恒成立等价于n.变

当

时，不等式

恒成立，则的值围是（1.(1,2)C1,2D0,2变2

函数

f())(且1)，点P(xya

是函数y(

图像上的点时，点(xa,)

是函数g(x)

图像上的点.（1）写出函数g()

的解析式；（2）当

a

时，恒有

f(x()，确定a的取值范.最效练设

alog2,blogc1122

0.2

，则（）B.C.设数

(xf()x2)

，若

f，x的取值范围是（）00A.(U(2,

.(0,2)

C(3,设义区间()上函数()lg是函数(,b且A..CD.(0,2)

，则

的取值范围是（）已

y(2)a

在

的减函数，则

的取值范围是（）B.(1,2)

.(0,2)

D.(2,

已lgb

，则函数

f(

x

与函数

g(x)xb

的图像可能是（）知函数f(x)

是

上的偶函数，且f)f(1)

，当

时，

f(x

2

，则函数yf(x)logx5

的零点个数是（）.3.4设数

f(x，且()f(b)，a的值范围_已lgxx

，则

log

23

若数log(xa

2

在实a的取值范围10.已函数

fx)logx

，正实数

满足

，且(m