高考三角函数试题评析及备考建议

2009年高考三角函数试题评析及备考建议

三角函数是高中数学的主干知识之一，也是高考重点考查的内容。2009年高考仍然延续了往年对这一部分考查的特点，即以中低档题考查三角函数的基本知识、方法与技能，文理科基本是相同题或姊妹题。但是实施新课标高考的省市试卷也出现了一些新的特点，重视对应用问题的考查，重视在三角形中考查三角函数的知识。以下我们对2009年高考三角函数试题进行盘点、评析，供复习参考。一、2009年高考三角函数试题盘点（理科）续表注：打*的试卷是新课标高考试卷。从上表中，我们不难发现，2009年高考数学对三角函数部分的考查有以下特点：(1)题型与分值除全国卷（Ⅱ）、海南（宁夏）卷出了两道小题和一道大题外，其他各省市试卷都是一道小题和一道大题，分值17分左右，约占整个卷面分的12%，估计以后的高考对三角函数的考查仍会保持这一状况。(2)客观题特点着重考查基础知识，如同角三角函数的基本关系式、三角函数的图像与性质，特别是函数y=Asin(ωx+ψ)的最大（小）值、单调性、奇偶性、对称性、周期性、图像变换等，此类题以前也往往在主观题中出现，难度中等，从今年大多数省市看，对这一块仍作重点考查，但难度明显降低，题小但精典，解答方法灵、活、巧。(3)主观题特点以容易题或中等难度题的形式出现，通过解三角形，着重考查学生利用所学知识解决实际问题的能力，在三角形中考查学生对三角公式的恒等变换、正（余）弦定理的运用等基础知识的掌握程度，同时，对学生的化归能力、运算能力、逻辑思维能力都有较高要求。在新课标高考试卷中，上述特点尤为突出，这与新课标及其考试说明的要求也是相一致的。(4)综合性问题继续加强与平面向量的综合考查，借助向量的工具作用，来建立三角函数关系式，进而再进行三角变换，最终研究三角函数性质，这仍将是以后命制三角函数题的一个方向。总之，纵观2009年各省市对三角函数的考查，总体难度有所降低，不再过分地去考查公式变形，降低了对运算复杂性、技巧性的要求，坚持主干知识重点考，加大了对学生实际应用能力的考查。二、试题选析1.求值题评祈求三角函数的值或三角函数式的值是最基本的题型，这类问题主要考查同角三角函数之间的关系式及两角和与差的正、余弦等公式的应用，同时也考查学生的运算能力及考虑问题的思维严密性。本题也是与向量进行综合，但向量只是“外衣”，解题时要把向量间的关系转化为三角函数的关系式，再进一步作答，这种综合或嫁接是简单的、机械的。做求值题时，要特别注意角的范围的限制，它决定了所求值的符号选择。2.三角函数的图像与性质评析高考中，对三角函数的图像与性质的考查是经久不衰的主旋律，是最重要的题型。这类问题的特点往往是：给出一个较为复杂的三角函数式，要求利用降次公式、辅助角公式等将其转化为一个三角函数式y=Asin（ωx+ψ）+k，再进一步讨论它的值域或最值、周期性、单调性、对称性、图像变换等。解答此类问题时，要熟练应用常用的公式，密切联系函数图像，突出数形结合的应用。3.解三角形例3（福建卷，理18）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A＞0,ω＞0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°。（Ⅰ）求A、ω的值和M、P两点间的距离；（Ⅱ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？评析本题将三角函数的图像与性质、解三角形等知识进行综合考查，同时冠以实际背景，可以看作实际应用题。第二问是一个方案设计型问题，是一个优化问题，也是一个开放题。本题构思巧妙，将多种知识有机融合于一题，是不可多得的一道好题。该题能够有效地考查学生的运算求解能力、应用数学知识分析和解决实际问题的能力、化归与转化思想、数形结合思想。评析本题将平面向量的基础知识（向量共线、垂直的充要条件，向量的模长公式）与三角函数的性质、同角三角函数间的基本关系进行了综合考查。在三角函数试题中融入向量，这是近年来许多省市三角函数试题的流行做法。在以后的高考复习中，也要高度关注。5.解三角形的实际应用例5（宁夏、海南卷，理17）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤。评析本题是一个典型的测量型应用题，也可以视为一个探究性开放题，符合新课标的基本理念。题目没有给出一个量与数据，而是要求学生指出需要测量的量，并设计测量方案。在以往的高考题或模拟题中，从来没有考查过此类问题，试题的难度虽然不大，但是对学生利用所学知识解决实际问题的能力、动手组织能力有较高要求。对于做惯条件、结论明确的题目的同学来说，无疑也是一个挑战。在今年的17份新课标试卷中，有多达6份试卷出现了解三角形的应用题，在2010年的高考复习中，应予充分重视。三、对2010年高考复习的建议(1)重视对《考试说明》的研究从宏观上准确掌握《考试说明》要求掌握的内容，做到复习不超纲，至少要对本省自主命题的高考题认真分析，明确考试要求、考试内容的知识要求、能力要求和个性品德要求。(2)狠抓基础，构建知识结构和认知结构以课本为主，重新全面梳理知识、方法，注意知识结构的重组与概括，揭示其内在联系与规律，第一轮复习，从知识上不放过任何一个概念、公式，要做到会公式的顺用、逆用、变用、巧用，深刻理解三角函数的图像与性质，熟悉一些基本结论，不放过课本上的任何一个例题、习题，做到会对例子的引申、拓展，实际上今年宁夏、海南卷的第17题就类似必修5第132页的例2。(3)突出重点，狠抓落实，夯实基础在全面掌握基础知识后，要突出重点，各个突破，如对三角函数的图像与性质，要抓住此类题的一般规律：先利用降次公式、诱导公式等，将y=f(x)恒等变形为y=asinx+bcosx，再利用辅助角公式变换到y=Asin（ωx+ψ）的形式，再利用它研究图像的变换、周期、初相、单调性、对称性、奇偶性等。一般方法及做小题时的特值法都要要求学生熟练掌握。又如解三角形时的边化角，角化边及利用三角形内角和进行角度的相互代换等思想，使学生在头脑中根深蒂固。(4)注重对学生实际应用能力的培养，尤其是利用正余弦定理解决实际生产、生活中的测量、航空、航海、气候等方面的问题，这类题选题时，要注意符合学生认知水平，同时，还要注意三角函数与其他数学知识的综合题训练，比如，三角函数与向量、不等式、数列、导数等综合，这类题难度不宜拔的过高。在三