空间点、线、面的位置关系

第49讲 空间点、线、面的位置关系1．下列命题正确的个数是 (B)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线与另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个C．3个

B．2个D．4个①中两角应相等或互补；②的说法正确，因为两直线所成的角即夹角为锐角或直角；③在平面几何中成立，但在立体几何中不一定成立；④根据平行公理，是正确的．因此②④是正确的．2．(2017·尔滨模拟哈)已知a，b，c是空间中的三条不同的直线，命题 p：若a⊥b，ac，则b∥c；命题q：若直线a，b，c两两相交，则a，b，c共面，则下列命题中为真命题的是(D)A．p∧qB．p∨qC．(綈p)∧qD．p∨(綈q)若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以命题 p是假命题．若直线a，b，c交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题 q也是假命题．故p∨(綈q)为真命题．3．(2016·州市高考模拟广 )已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：不共面，命题乙：直线 EF和GH不相交，则甲是乙成立的 (B)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件甲?乙，但乙?/甲，所以甲是乙成立的充分不必要条件．4．如图，空间四边形 ABCD中，对角线 AC⊥BD，E、F、G、HCD、DA的中点，则四边形 EFGH的形状一定是 (C)

E，F，G，H四点分别为边 AB、BC、A．等腰梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形因为E、F、G、H

分别为边

AB、BC、CD、DA

的中点，所以

EF

1綊2AC，GH

1綊2AC，所以EF綊GH，所以四边形 EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，而EF∥AC，GF∥BD，所以EF⊥FG.故四边形EFGH为矩形．5．有下面几个命题：①若空间四点不共面，则任意三点不共线；②若直线l上有一个点在一个平面外，则直线l不在这个平面内；③若a?α，b?α，b?β，c?β，则a，c必共面；④三个平面两两相交，可有一条或三条交线．其中真命题的序号是 ①②④ .6．用a，b，c表示三条不同的直线， γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则③若a∥γ，b∥γ，则其中真命题的序号是

a∥c;a∥b;①④

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b..(写出你认为正确的所有命题的序号

)由公理4知①是真命题．在空间a⊥b，b⊥c，直线a，c可以平行、相交或异面，故②是假命题．由a∥γ，b∥γ，直线a，b可以平行、相交或异面，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理，真命题．故真命题的序号为①④.7．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．连接A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B，又因为A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1且EF≠CD1，所以CE，D1F相交，设交于点 P，如图，因为CE?平面ABCD，所以P∈平面ABCD，同理P∈平面ADD1A1，又因为平面 ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈DA，所以CE，D1F，DA三线共点．8．(2017·南六市一模河)设直线m，n是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是(D)A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β对于A，m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，也可能相交，所以A不是必然事件；对于B，m∥α，n⊥β，则m⊥β，又m∥α，则α⊥β，所以B是不可能事件；对于C，m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，所以C不是必然事件；对于D，m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，因此D是必然事件．9．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号是②④.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；③若直线m?α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；④若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．对于①，若直线m⊥α，如果α⊥β，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则直线m垂直于α，β的交线．在平面β内，存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线与直线m垂直，故②正确；对于③④，若直线m?α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．AE＝AH＝10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD上的点，且EBHD1，F、G分别是边CB、CD上的点，且CF＝CG＝2.求证：四边形EFGH是梯形．2CBCD3AE A