初一数学竞赛专题16 不等式

专题16

不等式（）阅读与考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同处，主要体现在：解一元一次不等与解一元一次方程类似解题时要注意两者之间的重要区别式边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负.解不等式组与解程组的主要区别是方组时我们可以对几个方程进代加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，后再求公共部.通地说，解方程组，可以“统一思想不等式组时只能“分而治之”例题与解【1】知关于

的不等式组恰好有个数，则的值范围是（）A

11111111B、C、、22(2013年全初中数学竞赛广东省试题）解思：x的集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析的值范围.【例2】如果关

x

的不等式

m)的解集

107

那么关于

x

的不等式mx(m

的解集为

.（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解思：已知条件出发，解关于x的不等式，求出，的或，的系【3】知方程组

xy

若方程组有非负整数解，求正整数的值.（天津市竞赛试题）解思：关于

x

，的程组，立关于m的等式组，求出m的值范围【4】知三个非负数，c满3＋2＋c＝和＋b－1，若m＝a＋－7c，的大值和最小值（江苏省竞赛试题）解思：例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表m，过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的大值与最小值.

【6】

,x,x,,4,56

是自然数，

xxxx1

7

，x,,x13454

6

，xx,又xxx20105671

，求

xx13

的最大值望杯”邀请赛试题）解思：入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破.【6】知实数，满足

1

且－2有大值，求＋b的值解思：法一：已知a－的围，需知b的范围，即可知a－b的大值得情形解法二：设a－b＝m（＋）n－b＝m＋)a＋（m－b能力训1、知关于x的等式

A级2m3的解集是32

那么m的值是望杯”邀请赛试题）2、等式组

a2x

的解集是

x

，那么＋b的为（湖北省武汉市竞赛试题）3、a＋b0ab0，＜，

a

的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、方程组

4xy

的解x，都正数，则m的值范围是（河南省中考试题）5、于x的不等式

axa

的解集为

x

，则a应足（）Aa1B、＜C

a

、

a6、合不等式

x

(2013年国初中数学竞赛预赛试题的的取值的范围是）7、知不等式

(mxx

的解集

那么m等（）

bbA

11B、33

C、D、－8、知a，面给出4个结论：①

；1

；

1a2

1④1a2

，其中，一定成立的结论有（）A、个

B、个

C、3个

D、个（江苏省竞赛试题）9、k为何整数值时，方程组

xx

有正整数解？（天津市竞赛试题）10、

xy

是关于x，y的方程

(

ax

的解，求不等式组

xbaxx

的解集11、知关于x的等式组2

的整数解有且仅有个－，1，那，适合这个不等式组的所有可能的整数对（，b共有多少个？（江苏省竞赛试题）B级1、果关于x的等式

ax

的正整数解为12，那

的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、不等式组

有解，则

的取值范围是___________.3、知不等式

（海南省竞赛试题）只有三个正整数解，那么这时正数a的值范围.（”希望杯“邀请赛试题）4、知

x

则

2x

的取值范围为

.(“新知杯”上海市竞赛试题）

55、正数a，，满足不等式组aa311bb4

，则a，，的大小关系是（）Aa＜＜c

B、b＜

C、＜＜

、确定冲之杯”邀请赛试题）6、共（）整数适不等式

x9999A10000、、D、（五羊杯“竞赛试题）7、知m，是整数3＋＝n3且3m＋＞，＋＜，则mn的是（）A、70B、C、77D、8、等式

x

的解集为（）A、

x

55B、xC、xD、x222（山东省竞赛试题）9已知

2xxxx32

的最大值和最小.（北京市”迎春杯”竞赛试题）10、知x，，是个非负有理数，且满足3x＋＋＝x＋－＝，若s＝＋y－z，求的值范围.（天津市竞赛试题）11、满足下条件的最小正整数n，对于n存在正整数使

871513

成立.

1234721123472112、知正整，，满足＜＜，

1ab

，试求，，的值例1

C提示：解不等式组得

专题16320

不等式（组），则个数解为x＝，，，，结数轴分析，应满足3－＜，－＜

.例2

x

m提示：m)，m

，

，

13

.例3

或

8x提示：解方程组得，由6y

得1≤m≤b例4提：已知条件得,解得,m=3c－由abc得,解得

37,的最大值为,小值为711

57例5先x和x表示，…得

xxxxxx,因此x+x+xx+5+x6x=2xxxxx于是得x

13).因x是然数所

是整数，所以x

1212121212312212121212123122是10的奇数.因为1＜，故有三组解x=10,x或=30,x或x=50,x=68.因此+的最大值为50+68=118,以x++的大值为+x)=2118=236.例6解一∵a－≤①，1≤b≤②，由②知≤－ab≤－③，①③－≤－≤，－≤≤④，+④得－≤21要使a—最，只有a－=1且－b=0.

∴=1且=0，此时8a+2003=8.解法二：设a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+－知,解.3n而

13,,∴－b=a+222∴－≤－≤1当a2b最时，，－∴，，时+2003bA级

2.11.

1提原不等式组变形为

xabx2

由解集是0＜＜知

2

,解

b故a+=2+(－＜－＜＜－a

＜＜5.B提示：由ax＞3+x得a－1)(x+3)＞由等式的解集为x＜3知x+3＜所以a－＜0,＜6.C7.B8.Ck=2或3.10.提示：由非数性质求得=2,b原不等式组的解集为x＜－11.原不等式组等价于

axbb

,因为该不等式组的整数解一10，不是对称地出现，bb所以其解不可能是必，由整数解情况可知2232得a=－－－故数对(a,)共2×对B级

33提示由题意可知:x.由整数解为1,2,3知解得a4

aa≥－提示原等组变形为由等式组有解知－a≤故≥－9≤＜

x

B提示原等式组变形为

57cc,aa,b.23C示：若x≥，则x2000)+x≤，即2000≤≤共有4个整数;若0≤＜则x－2000)+x9999.2000，成立，又有2000个数适合若＜，则+(－)≤即－≤＜，有3999个整数适合，故一共有4000+2000+3999=9个数适合D8.C提由原不等式＞x+5)2提：解不等式，得x

,原式=x,从知最大值为4，小值为

10.提示sx+22≤3n15n711.提示由,得，即87n.又n与是是正整数，显然