版-二面角求法及经典题型归纳

111立体何二角求一知准、二角概：从条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这直线叫做二面角的棱,这个半平面叫做二面角的、二面的面的念平面角是指以二面角的棱上一点为点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。、二面的小围°，°]、三垂定：平内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直、平的向：直线L直平面α，取直线L方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量然，一个平面的向量有无数个，它们是共线向量）、二面角做法：做二面角的平面角主要有3方法：（1义法：在棱上取一点，在两个半平内作垂直于棱的条线，这所夹角；（2面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这条交线所成的角；（3垂线法：过一个半平面内一点（记A）做另一半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的线，记垂足为C，连，则∠ACB即为该二面角的平面角。、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二二角基求及习、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这直线叫做二面角的棱,这a两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律例1中二面角S—AM—中平面ABM上的一已知点（B向棱AM作线，得垂足（F在另一半平面ASM过该垂足（F作棱AM的线（如GF两条A垂线（、）形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

O

B例1．在正方体ABCD—AD中求）二面角

A-A11

的大小；（2平面

ADC与面ADDA1

所成角的正切值。D1C1A1B1DAB

C-1-

1111例2:如图1，设正方形ABCD-ABCD中，E为CC中点，求截面ABD和成111！11二面角的度数。练习：过正方形

ABCD的顶点A作

PA^平

，设PA=AB=

，求二面角B--D

的大小。、垂法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当P在个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例）二面角B-FC-C中半面BFC上一已知点B作一半平面FCC垂线，得垂足；再过该垂足作FC的线，得垂足P，结起点与终点得斜线段，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影解直角三角形求二面角的度数。例1

平^平A，ABCD

是正方形，ABEF是形且AF=

12

，G是EF的点，（1求证：

平面A^平

）与平面所角的正弦值；（3求二面角

B-

的大小。-2-

111111例点P在面ABCABC。

是等腰直角三角形ABC

PAB

是正三角形，（1求证：

平面PAB^平面AC

；（2求二面角

--

的大小。PAB

C例如3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC垂直平分，分别交AC、VC于D、E，VA=AB，VB=BC，二面角E-BD-C的度。练习：正方体ABCD—A的长为，是AD的中点，求二面角小。C1

BD

的大B1D1A1A

B-3-

．棱面的理法（1）补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时两平面的图形补充完整使之有明确的（称为补棱借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例1．过正方形ABCD的顶点A作

PA^平

，设PA=AB=

，（1）求平面PAB与平面PCD所二角的大小。例．如图所示，四棱锥-的面ABCD是边长为1的形，BCD＝°E是的点⊥底面ABCDPA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面;（Ⅱ）求平面PAD和面PBE所成二面角（锐角）的大例3．如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为，D为CC点，求平面1A'BD与平面ABC所成二面角的度数。例4、正三角形边长为10A平面α，B在平面α的同侧，且与α的距离分别是42，求平面与α所成的角的正弦值。-4-

1111111111111111111（2）射影面法

q

射影S

）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式

SS

）求出二面角的大小。例：正方体CD中，棱AA的中点，求平面EBC平面ABCD所的二面角。例方体ABCDABCD的长为1是

1

的中点平面

11

与平面ABCD所成二面角的大。例3

如图12设正方体ABCD-ACD中M为AA上点AM:MA=3:1,求截面BM与底面ABCD所二面角。例4．图，在三棱锥PABC中ACBC2，90

，

APBP

，-5-

）求证：）二面角

AP

的大小；、垂面由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例如：过二面角内一点A作AB于B，AC⊥βC，面ABC交棱a于O则∠BOC就二面角的平面角。例．

^平ABCAB^BC，SA=BC

，（1求证：^）求二面角

-B

的大小；（3求异面直线SC与AB所角余弦值。PABC例2、如图6，设正方体ABCD-ABCD，E、F分别是AB、CD中点。111111（1）求证：A、E、C、F四点共面）求二面角-EC-D的大小。11例3、如图，已PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝，求平面与平面PCD所成的二面角的大小。-6-

nnnAB、向量向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法说有的立体几何题都可以用向量法求解用向量法立体几何题时常要建立空间直角坐标系写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量a、

，有cos＜，

＞=

．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的|问题．例在棱锥V-ABCD中是正方形是正三角形VAD⊥底面ABCD面VAD与面VDB所的二面角的弦值．证明：建立图空间直角坐标，并设正方形边长为，依题意得

=(0，1，0)，是面VAD的向，z设=，y是面VDB的法向量，则

nn

nz

=(1，－1，)。

VD

C∴cos＜，＞

|AB|

21=－，7

x

A

B

y又由题意知，面VAD与VDB所的二面角为锐角，所以其余弦值是-7-

217

例2.如图，直三棱柱ABC—AB中=

，CB=

，侧棱AA=1，面AABB的两条对角线交点为D，B的中为M．⑴求证CD⊥平面BDM；

A

A

D⑵求面BBD与所二面角的余弦值．

C

CM

B

B

例3如，在四棱锥P—ABCD中底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC是PC的中点，作EF⊥PB交PB于．求二面角—PB—D的大小三几说：、定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由足在另一个面内作棱的垂线此得的平面角在任意三角形中以不好计算不是我们首选的方法。、三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂