变分法的计算(短时间内掌握变分法与范数)

裁裁变分法是研究求解泛函极值(极大或极小〉的方法,变分问题即是求泛函的极值问题.把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解.泛RI泛RI足函数概念的•种扩充口»函数表示从数到数的对应关系*如y(x)二2力-工+1规定了自变量工和因变最yZ间的対应关系，是数用到数y的一种映射。＞而泛函则表示函数y到数/的一种映射关系，见下面的例予。yi)0泛函12/14)—最短弧长何题如图7・yi)0泛函12/14)—最短弧长何题如图7・2所刀乙设y(Q是连图7・2毘短弧长问题口接点(巧J|)到(心莎』的一条曲线&*若咻)是连续可微的，则两点的区间y(x)的弧长为＞显然，上述弧长的枳分式对丁任意给定的连续可微的函数?＜©都建在对应的-个积分值卫卩存在函数呦到数S[g)]的…种映射关系。5[>(x)]=『J1+尸(x)dx-因此，有卜'面泛函的定义。□定义7・2对于某一类函数集合中的每一个函数兀0都心在一个确疋的数上与之对应，那么就称丿为依赖于函数咻)的泛仇记为或简记为几＞相应地•自变量函数兀r)称为宗量。 C□从上述定义町肌泛函规定了数丿与函数血)的河理解为"色煞的3」”・»需要强调的是，上述定义中的宗量兀0足某•特定函数的咚f亿而不是对应于某一门变量龙的函数值°＞为强调泛函的宗量是函数的整体、有时将泛函衣示为W爪 E在泛函的定义中，强调泛函的宗吐y(x)屈丁某一类函数.＞由泛函的定义所确定的宗量属于的函数类称为祥许函数类或容许函数空间。如 中泛函5[v(x)J的容许函数类为通过A.B两点的连续町微或分段连续町微的函数y⑴P线性泛函赴研究泛函极值问题的基础，下血先给出线性泛函的定义。□定义口泛函JIX兀)]如果满足下列轻加性和齐次件两个条件J[y1(x)+y2(x)]=J[y©)]+J[y2M]■證加性J[c+v(x)]=cJ[y(x)| ；次件式屮，心)和力(工)为任意的两个函数H为任意常数。＞此时，称丿[咋)|为戋性 ，＞线性泛函处有匚iJ叠加性和齐次件©□泛函的极值则肚在容许函数类屮求得便泛函达到极值的函数。＞如最短弧长的例产中爾邊从函数序列中求鶴个使最短的函数。/在不考虑约束的条件下,连接两点的是一条连接两点的直线d□为导出泛函的极值条件，还需雯 宗応和泛函的变分口为此，小妨冋顾一下函数微分的定义。□若函数.冃匕）具有连续的导数，则它的增量可以表示如下Ay=f(x+Av)-f(x)=f(x}Ax+r(xAv)＞上式右边第I项是心的线件函数，第2项是心的窩阶无穷小量口/因此肖血充分小时，第1项起主要作用，它与®很接近。/所以，第1项为函数增量的线性主部,亦称为函数的微分,记为dy二/(x)dx□类似于让述变叡和函数金）的微分的宦义，泛函加*和泛陷的变分如卜。

＞山于£Cy(x),a8yU))M关于旳(A)的线性连续泛函卫r(y(x),a8y(x))为a.&y(x)的高阶无穷小，因此有L(y(x).arrfv(A))=tzZl(v(.v).rfy(x))Um 功Um 功a^tGLim迪型凹埶(兀)胡go 加y⑴£丿［曲)+切⑴|二Lim£丿［曲)+切⑴|二Lim川步伍)］一丿【只兀)1)a=Lirn丄(、心)4冈O))+Ny(Q皿莎(.<0«->o a=LimL(v(x).ady(x))<1*1.2.1运算规则6y二ny"[6y(J(u+v)=(5«+Jv,6(wv)=u8v+v6u^6(u/v)-(v6u-u6v)/v2变分号町曲积分号外进入积分匕内RM变分号町曲积分号外进入积分匕内RM&(dy)=t/(5y)□由上述例子可以看曲根据引理7丄讣算泛函的变分如同计算凶数的微分一样简单。＞基于上述泛函变分的定义和让算方法，有如下泛^Jl\'（x）］的极小值定理。□定理7・2若可微泛函在％｛工）上达到极小（极大）值,则在尸=旳（疋）上有 3J—0口证明对）'■任意给定的心來说,几旬十0I是实变早口的函数°＞根据定理的假设可知，变暈a的函数Jly^&y］在*0上达到极值。尸苗函数极值的必要条件，有d --—J[y+«6y]=0da＞由引理7・1町知上式的左边等于泛函川⑴］的变分出呢人＞因此，考虑到变分2的任意性，从而定理得证。 □□口□泛函的变分实际上就是关于其宗量变分渝（A）的线件连续泛函,因此，在实际求解过程中，可以通过求泛函对其所有宗量的一阶偏微分得到泛函的变分乜＞泛函丿［戸（工）小co,…，片（耳）］的变分为总4(-0+盏技⑴1+"I□在本