辽宁省2020届高三数学上学期期末考试试题理

高三上学期期末考试理数试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知会集，1，，则A.B.C.D.1，【答案】B【解析】解：会集，1，，则．应选：B．化简会集M，依照交集的定义写出．本题观察了会集的化简与运算问题，是基础题．2.若复数为虚数单位，则z的实部为【答案】C【解析】解：．的实部为3．应选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题观察复数代数形式的乘除运算，观察复数的基本看法，是基础题．3.抛物线的焦点坐标是A.B.C.D.-1-【答案】B【解析】解：在抛物线，即y，，，焦点坐标是，应选：B．先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线y的焦点坐标为，求出物线的焦点坐标．本题观察抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线y的焦点坐标为4.已知向量，的夹角为，且，，则A.B.C.D.【答案】D【解析】解：向量，的夹角为，且，，，，应选：D．由题意可得，，再依照，计算求的结果．本题主要观察两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．5.在中，，，，则A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，，，由正弦定理可得：，可得：，，可得：为锐角，-2-．应选：D．由已知利用正弦定理可得的值，依照大边对大角可求为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求的值．本题主要观察了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，观察了转变思想，属于基础题．已知一个样本，样本容量为7，平均数为11，方差为2，现样本中又加入一个新数据11，此时样本容量为8，平均数为，方差为，则A.B.C.D.【答案】A【解析】解：某7个数的平均数为11，方差为2，现又加入一个新数据11，此时这8个数的平均数为，方差为，，，应选：A．由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．本题观察平均数和方差的计算公式的应用，是基础题．九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗近似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐以以下图，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为-3-A.B.C.D.【答案】B【解析】解：设水深为x尺，则，解得，即水深12尺．又葭长13尺，则所求概率，应选：B．设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．本题观察的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．8.已知抛物线C：焦点为F，点P为其准线上一点，M是直线PF与抛物线C的一个交点，若，则直线PF的斜率为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：当点P在x轴上方时，如图：过M作准线于N，则依照抛物线的定义得由于，所以，，此时PF的斜率为，-4-当点P在x轴下方时，同理可得直线PF的斜率为应选：B．依照向量知识和抛物线的定义将问题转变在直角三角形中锐角的正切值．本题观察了直线与抛物线的综合，属难题．9.如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，则直线与直线所成角的余弦值为A.B.C.D.【答案】A-5-【解析】解：在正三棱柱中，底面边长为2，，以A为原点，AB为x轴，在平面ABC中，过A作AB的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，0，，，0，，，设直线与直线所成角为，则．直线与直线所成角的余弦值为．应选：A．以A为原点，AB为x轴，在平面ABC中，过A作AB的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值．本题观察异面直线所成角的余弦值的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地址关系等基础知识，观察运算求解能力，观察数形结合思想，是中档题．10.在区间仅有三个零点，则的最小值是A.B.C.D.【答案】C【解析】解：在区间仅有三个零点，即在区间仅有三个解，即在区间仅有三个解，这三个根应为：，，，应选：C．依照题意可得，在区间仅有三个交点，结合正切函数的图象，求得的最小值．-6-本题主要观察函数的零点的定义，正切函数的图象，属于中档题，11.设是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，则满足不等式组的解集为A.B.C.D.【答案】A【解析】解：依照题意，为周期为2的偶函数，则且，则有，则函数关于直线对称，又由在区间上单调递减，且，则在上递加，且，，则，即不等式组的解集为；应选：A．依照题意，由函数的周期性与奇偶性解析可得，则函数关于直线对称，据此可得在上递加，且，，则进而解析可得答案．本题观察函数的奇偶性与对称性，要点是解析函数的对称轴，属于基础题．12.已知椭圆的右焦点为，离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：记线段MN与x轴交点为C．的中点为M，BF的中点为N，-7-，，B为椭圆上关于原点对称的两点，．原点O在以线段MN为直径的圆上，．．，，．设，，易得．由，可得得，．直线AB斜率为，，，由于，离心率e的取值范围为应选：D．经过几何法获得，由，可获得A点坐标，进而求出OA的斜率，由直线AB斜率为，求出e的取值范围．本题观察椭圆的方程和性质，主要观察椭圆方程的运用，同时观察圆的性质和直线斜率公式-8-的运用，观察运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】解：双曲线，双曲线的渐近线方程为，即故答案为：双曲线的渐近线方程为，整理后就获得双曲线的渐近线方程．本题观察双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．14.的张开式中x的系数为______．【答案】1792【解析】解：的张开式的通项公式为，令，求得，可得张开式中x的系数为，故答案为：1792．在二项张开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得张开式中x的系数．本题主要观察二项式定理的应用，二项张开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果展望以下：小张说：“甲团队获得一等奖”；小王说：“甲或乙团队获得一等奖”；-9-小李说：“丁团队获得一等奖”；小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．若这四位同学中只有两位展望结果是对的，则获得一等奖的团队是______．【答案】丁【解析】解：若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵展望结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是乙团队，则小王展望结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是丙团队，则四人展望结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵展望结果是对的，与题设切合，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁故答案为：丁先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可．本题观察了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题．16.已知底面边长为3的正三棱锥的外接球的球心Q满足，则正三棱锥的内切球半径为______．【答案】【解析】解：正三棱锥的外接球的球心O满足，为的外心．外接圆的圆心为正三棱锥的外接球的球心，，，．．，-10-．则这个正三棱锥的内切球半径r满足：，解得故答案为：．由已知可得Q为的外心，外接圆的圆心为正三棱锥的外接球的球心，求得PQ，再由等积法求解正三棱锥的内切球半径．本题观察了球的内接三棱锥的内切球的半径求法，观察了计算能力，转变思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前n项和为，公差为d．若且，求数列的通项公式；若，，成等比数列，求公比q．【答案】解：且，，解得，或，当时，，当时，，，，成等比数列，，，整理可得，则或，-11-当时，公比为1，当，，【解析】依照等差数列的通项公式和求和公式即可求出，依照等比数列的性质即可求出．本题观察了等差数列和等比数列的通项公式，观察了运算和求解能力，属于基础题某工厂有两台不同样的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量判断，判断成绩的茎叶图以以下图：该产品的质量谈论标准规定：判断成绩在内的产品，质量等级为优秀；判断成绩在内的产品，质量等级为优秀；判断成绩在内的产品，质量等级为合格，将频率视为概率．完成以以下联表，以产质量量等级可否达到优秀以上含优秀为判断依照，判断能不能够在误差不高出的情况下，认为产品等级可否达到优秀以上含优秀与生产产品的机器有关：A机器生产的产品B机器生产的产品合计优秀以上含优秀__________________合格__________________合计__________________已知质量等级为优秀的产品的售价为12元件，质量等级为优秀的产品的售价为10元件，质量等级为合格的产品的售价为5元件，A机器每生产10万件-12-的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元，该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，裁汰收益低的机器，你认为该工厂会怎么做？【答案】6121814822202040【解析】解：依照题意填写列联表以下，A机器生产的产品B机器生产的产品合计优秀以上含优秀61218合格14822合计202040计算，不能够判断在误差不高出的情况下，认为产品等级可否达到优秀以上含优秀与生产产品的机器有关；机器每生产10万件的收益为万元，B机器每生产10万件的收益为万元，则，所以该工厂不会依旧保留原来的两台机器，应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．依照题意填写列联表，计算察看值，比较临界值得出结论；计算A、B机器每生产10万件的收益，比较得出结论．-13-本题观察了茎叶图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且求证：平面BDEF；求二面角的余弦值．【答案】证明：设AC、BD交于点O，连结OF、DF，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，，，，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，1，，0，，，1，，，设平面ABF的法向量y，，则，取，得，设平面的法向量y，，BCF-14-则，取，得，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．【解析】设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题观察线面垂直的证明，观察二面角的余弦值的求法，观察二面角的求法，观察空间中线线、线面、面面间的地址关系等基础知识，观察运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C订交于A、B两点，当l的斜率为2时，坐标原点O到l的距离为．求a、b的值；上可否存在点P，使适合l绕F转到某一地址时，有建立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，说明原由．【答案】解：设，直线l的方程为，坐标原点O到l的距离为，，，，，，-15-即；由知椭圆的方程为，即，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l：，设、，把l：代入椭圆方程，整理得，显然．由韦达定理有：，，，在椭圆上，代入椭圆方程整理得，解得无解，故不存在这样的点P，使适合l绕F转到某一地址时，有建立．【解析】设，则直线l的方程为，由坐标原点O到l的距离求得c，进而依照离心率求得a和b把l：代入椭圆方程，由韦达定理可求得和的表达式，可得点P的坐标，代入椭圆方程，即可解决．本题观察了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆订交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数．若，求函数在处的切线方程；如有两个零点、，且．求a的取值范围；证明：．-16-【答案】解：，由条件知，，函数在处的切线方程为，即，，当时，在上恒建立，此时在R上单调增，函数至多有一个零点，当时，由解得当时，0'/>，单调增，当时，，单调减，有两个零点、，，解得由条件知，，．可得，．方法一：故．设，则，且，解得，．，要证：，即证明，即证明，设，，令，，则，在上单调增，，-17-在上单调增，则即时，建立，．方法二：则，设，则，为的两个零点，，易得在上单调增，在上单调减，所以，设，，则，恒建立，则在上单调增，，，即，即，又在上单调减，，，，即，【解析】求出的导数，，，即可求出切线方程，求出的导数，经过谈论a的范围，求出函数的单调区间，有两个零点、，则，解得即可先获得，，方法一：设，解得，，问题转变成证明即可；方法二：由，设，依照函数的单调性获得，设，，结合的单调性证明即可．-18-本题观察了函数的单调性、最值问题，观察导数的应用，函数恒建立问题，观察了