七年级数学竞赛培优专题28 纵观全局

28

纵全—整思阅与考解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的体途径主要有：1.整体观察2.整体设元3.整体代入4.整体求和5.整体求积注既看部，又看整体；既见“树木见森林者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法例与解【例1】某市抽样调查了1000户庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是元由于将这个数据输入错了所以计算机示的这1000的平均年收入比实际平年收入高出了342元输入计算机的那个错误数据是．（北京市竞赛题）解思：有1000个未知量，而等只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．注有些题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求整体考虑，直接获得问题的答案．【例2】设

、、

是不全相等的任意数，若

xa

2y,z2

ab

错！找引用则

、、

（）（全国初中数学联赛试题）A.都小于零B.都不大于零C.至少有一个小于零D.至有一个大零1

解思：由

a、、

的任意性，若孤立地考虑

、

，则很难把握的

、、

正负性，应该考虑整体求出

xy

的值．【例3果a满等式

2

错未找到用求

2

5

4

3a

2

a错！找引源的值．(天津市竞赛题)解思：不能直接求出

的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条等式整体代入求值．注体思想在代数式的化与求值、解方程（组何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．【例4】已知

x2,

错！找引源代数式

3

12

1997

错！找引源求当

y

12

错！找引源时代数式

3

错！找引源的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）2

解思：a、b的无法求出，将给定的、分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值．【例5】已知实数

、、、、、

满足方程组．f

20

fcffeff

40320⑤640⑥求

f

的值．错！找引源（上海市竞赛题）解思将上述六个式子看成整体，通过⑥－，④－③，②－①分别得到误未到用

f,,b

错【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻3

的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M求最小值并完成你的填图．（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼解思解答此题的关键是根据题意得出

(a1

M10

错！找引源这是本题的突破口．注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达体现式子结构的特点，化繁为简的目的．能训1．已知密码3ABCPQR=4PQRABC,中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是2．若a，b，c的满足

(3b2

错！找引源则a2c误未到用。4

(“市杯”竞赛试题3．角

1中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算15

错！找到引源的值时，全班得到23.524.5°25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是4．如果

x

2，么xx2

=望”邀请赛试题）5．已知

a12

,a1991

都是正数，设

a12

1990

2

，N1219913

，那么

M

与

的大小关系是M

．（北京市“迎春杯”竞赛试题）6．若方程组

22

x

有解，则

xax（湖北省武汉市选拔赛试题）7．若正数

x，，

y2z5满足不等式311

，则

x，y，

的大小系是（）A．

x

B．

yx

C．

D．

不能确定8．若

5

bx

4

cx

3

dx

2

exf

，则

f

的值是（）A．

B．

C．

D．

9．在一家三口人中，每两个人平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人最大年龄与最小年龄的差是（）A．

B．

C．

D．

10．

a，b，

，满足等式

a2

πππ,y236

，则

x，，

中至少有一个值（）5

A．

大0

B．

等0

C．

不大于0

D．

小0（全国初中数学联赛试题）111111化简()())bcb(2)已知

abbc1ca1abc,，则的值为多少ab17cab12．有一个四位数，把它从中间成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来四数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．（江苏省竞赛试题）13．代数式

rvzrwytuy，r，s，，u，，，，

可以分别取1或-．（）明代数式的值都是偶数．（）这个代数式所能取到的最大值．罗金杯”竞赛试题）6

14．如图，在六边形的顶点处分标上数1，2345，，能否使任意三个相邻顶点处的三数和（1）大于9？（2）大于？若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由．（江苏省竞赛试题）7

23222322

纵全—整思例1380提：设a，，，…a分为所统计的1000户居的年收入，又设他们的平均值是，误输入计算机的数据为，由题意得

380001212例2

1D提示＋y＋＝[(a－)＋－c)＋a－)]．25例3－原＝2

(2aa21例4将＝，＝－代ax＋＋5＝997中，28－＋＝1．4a－＝99611当＝－，＝－时3－by3＋986＝a(－4)－24(－＋98622＝－12＋b＋4986＝－3(4－)＋986＝－3×9964986＝998．例5②①得b－＝20;④③得d－＝；⑥－⑤得－e＝320．故，f－＋－＋－＝32080＋＝．例6

设满足已知条件填好的数依次为a，…，，则a＋a＋＋a＋≤M，a＋a＋＋a＋≤M，…a＋＋＋＋≤．所以5（＋＋…＋）≤10，1

104

75

68即

92

3≤，解得M≥．．而为数，故M的最值为28．1，，，分成下的两组10，，6，，，9，8，5，，．次填入图中，8

【能力训练】1．·428＝·4285712．－提示由题意有

b

，即

bc

．则9＋b7＝2(3－＋)＋(a＋－3)＝×＋×－）－10．3．5°4．18

x＋x＋－13x＋15＝(x＋＋x＋x)2(

＋x－x＋15＝3＋15－－＋＝x＋)＋9＝3×39＝18．5．＞

提示：设x＝＋…＋，y＝＋＋…＋，M－．6．－提：将3个方组相加(＋＋1)(

＋＋＝0，而

＋＋＝()24

＞，ab＋＝．7．8．9．A10．11．(1)原＝

abca＝＝caa(由a＋＋＝，得b＋＝a，＋＝－b，＋＝－＝－＋－1)＋－＋＝(2)由

11得，即．理，．15abba111abc11三式相加得2()＝48，故＝24．＝．aa11124ab12．前、后两个二位数分别为，n，则根据题意有10＋mn＝100＋n，m＝，＞＞，n－＞，n是位数，且个位数字为5，因此n＝，从而知＝19故所求四位数为1995．13．(1)略(2)在，－wy，－suz，swxtuy，－这六项相乘

得，－

＝－1