中考数学《二次函数的应用》联系及答案

二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．图18－1②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且有AC⊥x轴，若OA＝10m，则桥面离水面的高度AC为 (B)图18－1A．16eq\f(9,40)m B.eq\f(17,4)mC．16eq\f(7,40)m D.eq\f(15,4)m【解析】∵AC⊥x轴，OA＝10m，∴点C的横坐标为－10.当x＝－10时，y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16＝－eq\f(1,400)×(－10－80)2＋16＝－eq\f(17,4)，∴点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10，－\f(17,4)))，∴桥面离水面的高度AC为eq\f(17,4)m.2．[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：t01234567…h0814182020184…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝eq\f(9,2)；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是 (B)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】利用待定系数法可求出二次函数表达式；将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度；求出h＝0时t的值，即可得足球的落地时间；求出t＝1.5s时h的值，即可对④作出判断．由表格可知抛物线过点(0，0)，(1，8)，(2，14)，设该抛物线的表达式为h＝at2＋bt，将点(1，8)，(2，14)分别代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,4a＋2b＝14，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝9.))∴h＝－t2＋9t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(81,4)，则足球距离地面的最大高度为eq\f(81,4)m，对称轴是直线t＝eq\f(9,2)，①错误、②正确；∵h＝－t2＋9t＝0，∴当h＝0时，t＝0或9，③正确；当t＝1.5s时，h＝－t2＋9t＝11.25，④错误．综上所述，正确结论的个数是2.二、填空题(每题6分，共18分)3．[2016·台州]竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1s时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t(s)时在空中与第2个小球的离地高度相同，则t＝__1.6__s.【解析】设各自抛出后1.1s时到达相同的最大离地高度为h，则小球的高度y＝a(t－1.1)2＋h，由题意，得a(t－1.1)2＋h＝a(t－1－1.1)2＋h，解得t＝1.6.故第一个小球抛出后1.6s时在空中与第二个小球的离地高度相同．图18－24．如图18－2，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过__3__s，四边形APQC的面积最小．图18－2【解析】设经过ts，四边形面积最小，S四边形APQC＝eq\f(1,2)×12×24－eq\f(1,2)(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144(0<t<6)，∴当t＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－24,2×4)＝3时，S四边形APQC最小．5．[2017·温州]小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图18－3①)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直∴代入得3a(3－4)＝eq\f(3,2)，解得a＝－eq\f(1,2)，∴抛物线的表达式为y＝－eq\f(1,2)x(x－4)．当y＝1时，－eq\f(1,2)x(x－4)＝1，解得x1＝2＋eq\r(2)，x2＝2－eq\r(2)，∴BC＝(2＋eq\r(2))－(2－eq\r(2))＝2eq\r(2)≈2.8(m)．答：水面上升1m后，水面宽约为2.8m.(25分)8．(10分)[2017·德州]随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近的广场中央新修了个圆形喷水池(如图18－5)，在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.图18－5(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出水柱抛物线的函数表达式；(2)水柱的最大高度是多少？【解析】(1)由于题目所给数据均与水池中心相关，故可选取水池中心为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，再利用顶点式求解函数关系式；(2)抛物线的顶点纵坐标即为水柱的最大高度．第8题答图解：(1)如答图，以水管与地面交点为原点，第8题答图原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋h(0≤x≤3)．抛物线过点(3，0)和(0，2)，代入抛物线表达式，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋h＝0，,a＋h＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3)，,h＝\f(8,3).))∴抛物线表达式为y＝－eq\f(2,3)(x－1)2＋eq\f(8,3)(0≤x≤3)，化为一般式为y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2(0≤x≤3)；(2)由(1)知抛物线表达式为y＝－eq\f(2,3)(x－1)2＋eq\f(8,3)，当x＝1时，y＝eq\f(8,3).答：水柱的最大高度为eq\f(8,3)m.9．(15分)[2017·成都]随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDE x(km) 8 9 10 11.5 13y1(min) 18 20 22 25 28(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y2(单位：min)也受x的影响，其关系可以用y2＝eq\f(1,2)x2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间．解：(1)设乘坐地铁的时间y1关于x的一次函数是y1＝kx＋b，把x＝8，y1＝18；x＝10，y1＝22代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(18＝8k＋b，,22＝10k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝2，))∴y1关于x的函数表达式是y1＝2x＋2；(2)设回家所需的时间为y，则y＝y1＋y2，即y＝2x＋2＋eq\f(1,2)x2－11x＋78＝eq\f(1,2)x2－9x＋80＝eq\f(1,2)(x－9)2＋eq\f(79,2)，∴当x＝9时，y最小＝eq\f(79,2)(min)．答：李华选择从B地铁口出站，骑单车回家的时间最短，最短时间为eq\f(79,2)min.(15分)10．(15分)[2017·嘉兴]如图18－6，某日的钱塘江观潮信息如下表：2017年×月×日，天气：阴；能见度：1.8km.11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”．图18－6按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(km)与时间t(min)的函数关系用图③表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12km”记为点A(0，12)，点B坐标为(m，0)，曲线BC可用二次函数s＝eq\f(1,125)t2＋bt＋c(b，c是常数)刻画．(1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48km/min的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48km/min，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8km共需多长时间？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(潮水加速阶段速度v＝v0＋\f(2,125)（t－30），v0是加速前的速度))解：(1)由题意可知：m＝30，∴B(30，0)，∴潮头从甲地到乙地的速度为eq\f(12,30)＝0.4(km/min)；(2)∵潮头的速度为0.4km/min，∴到11：59时，潮头已前进19×0.4＝7.6(km)，设小红出发xmin与潮头相遇，∴0.4x＋0.48x＝12－7.6，解得x＝5，∴小红5min与潮头相遇；(3)把B(30，0)，C(55，15)代入s＝eq\f(1,125)t2＋bt＋c，解得b＝－eq\f(2,25)，c＝－eq\f(24,5)，∴s＝eq\f(1,125)t2－eq\f(2,25)t－eq\f(24,5).∵v0＝0.4，∴v＝eq\f(2,125)(t－30)＋eq\f(2,5)，当潮头的速度达到单车最高速度0.48km/min，0.48＝eq\f(2,125)(t－30)＋eq\f(2,5)，解得t＝35.此时，s＝eq\f(1,125)t2－eq\f(2,25)t－eq\f(24,5)＝eq\f(11,5).∴从t＝35min(12：15时)开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48km/min的速度匀速追赶潮头．设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1＝0.48t＋h(t≥35)，当t＝35时，s1＝s＝eq\f(11,5)，代入可得h＝－eq\f(7