数学第十章有限元法

数学第十章有限元法第1页，共28页，2023年，2月20日，星期六一、有限元方法解题分析

为了说明应用有限元方法的解题步骤，以及每一步骤中的要点，下面我们以两点边值问题为例进行具体分析。考虑两点边值问题其中我们将从Ritz法和Galerkin法两种观点出发，导出解边值问题（1.1）、（1.2）的线性有限元方法。第2页，共28页，2023年，2月20日，星期六（一）从Ritz法出发建立有限元方程1、写出Ritz形式的变分问题由变分原理可知，与边值问题（1.1）（1.2）等价的变分问题是：求其中积分表达式（1.3）是应用有限元法求解（1.1）、（1.2）式的出发点。第3页，共28页，2023年，2月20日，星期六2、区域剖分剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为单元。单元的几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以不同。对于一维情形最为简单：将求解区域剖分成若干个子区间，其节点为每个单元的长度为

单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些。3、确定单元基函数有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的。由于各第4页，共28页，2023年，2月20日，星期六个单元具有规则的几何形状，而且可以不比考虑边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则。设为的有限维子空间，它的元素为要构造，只需构造单元基函数。构造单元基函数应遵循如下原则：

（1）、每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同，每个节点分别对应一个基函数，本例中，单元有两个节点，因此基函数有两个。（2）基函数应具有下面的性质：其中是单元节点序号为k的节点。第5页，共28页，2023年，2月20日，星期六若取为线性函数，则按上述原则，可将中的基函数取为显然，中任一函数可以表示为基函数的线性组合，即（1.4）第6页，共28页，2023年，2月20日，星期六其中，是在节点上的值，即在单元上，表示为可见，单元中的近似函数由单元基函数线性组合产生，全区域的近似函数由各个单元的近似函数叠加而成。

从以上可以看出，是满足下列条件的所有函数的集合：第7页，共28页，2023年，2月20日，星期六故是的一个n维子空间，称为试探函数空间称为试探函数。4、有限元方程的形成

与Ritz法一样，以代替，在上解泛函数（1.3）的极小问题。将（1.5）代入（1.3），得第8页，共28页，2023年，2月20日，星期六令便得到确定的线性代数方程组称（1.7）为有限元方程。显然，只要我们分别算出及就可以求解（1.7）。但在工程计算中，并不是按照上述步骤形成有限元方程的，而是首先建立单元有限元特征式（称这一过程为单元分析），然后再将单元的有限元特征式进行累加，合成为总体有限元方程（这一过程称为总体合成）。第9页，共28页，2023年，2月20日，星期六下面分步分析具体的计算方法。第一步：单元分析。注意到我们来计算单元上的积分。为讨论方便，作变换并引入记号则在上，可写成第10页，共28页，2023年，2月20日，星期六或写成（1.10）其中，而可表示为式中，于是有第11页，共28页，2023年，2月20日，星期六这里，称为单元刚度矩阵，其中对（1.8）式右端第二项积分，同样有第12页，共28页，2023年，2月20日，星期六式中，称为单元“荷载”向量。根据以上分析，便有这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：第13页，共28页，2023年，2月20日，星期六第二步：总体合成总体合成就是将单元的有限元特征式进行累加，合成为总体有限元方程。这一过程实际上是将单元有限元特征式中的系数矩阵逐个累加，合成为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量，从而得到关于的线性代数方程组。为了形成总刚度矩阵，我们令于是有第14页，共28页，2023年，2月20日，星期六从而（1.17）右端第一个和式为其中，第i-1行第i行这就是总刚度矩阵（未标明的元素均为0）。第15页，共28页，2023年，2月20日，星期六对（1.17）右端第二个和式，有其中，这就是总荷载向量。这样，就可以将（1.17）式写成第16页，共28页，2023年，2月20日，星期六因此，有限元方程为从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的计算，实际上是把中四个元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算也是如此。我们引入，只是为了叙述方便，实际上，在编制程序时并不需要。

显然，方程组（1.20）的系数矩阵K是一个对称正定的对角矩阵，因此可采用追赶法求出u在节点上的近似值。如果我们认为这个近似解不够精确，则可以使剖分更细，即节点取得更多。这样，就产生一个收敛性与误差估计的问题。由于此问题所用的数学工具较多，本课程不做讨论。另一方面，我们以上是在单元剖分的基础上，利用Lagrange型的分段线性插值函数构造出的n维子空间，这样自然想到，如果不采用分段的线性插值，而采用分段的高次插值，则会得到更好的近似。第17页，共28页，2023年，2月20日，星期六注1、当第一边值条件非齐次时，例如，则需象其它单元一样形成上的单元刚度矩阵。但形成总刚度矩阵K时，先把当作未知量，K扩大成矩阵，然后去掉第一行（或者一开始就不计算第一行），把第一列的第j行元素乘以累加到第j个方程的右端后，再去掉第一列。最后仍然归结到方程（1.20），只不过右端向量因第一边值作了修改。它只是比齐次边值多了第二项。由于第二项只含有的一次项，因此从上述泛函出发所形成的有限元方程不影响总刚度矩阵，唯一的改变量是第n个方程注2、若第二边值条件（右边值条件）非齐次，例如，则需从下列泛函出发：第18页，共28页，2023年，2月20日，星期六的右端要累加对于第三边值条件则不但要修改第n个方程的右端，而且总刚度矩阵的第n行n列元素也要作适当的修改。有兴趣的同学可以自行推导。(二)、从Galerkin法出发建立有限元方程从Galerkin法出发形成有限元方程的过程与前面完全一样，得到的结果也是一致的。但是从Galerkin法出发形成的有限元方程更具一般性，它不仅适用于对称正定的算子方程，而且也适用于非对称正定的算子方程。在实际问题中，主要是依据这一观点建立有限元方程。下面对这一问题作一简单陈述。第19页，共28页，2023年，2月20日，星期六由变分原理可知，与边值问题等价的Galerkin形式的变分问题是：我们仍用分段线性函数构成的试探函数空间代替,由（1.4）定义的分段线性函数是的一组基。和前面一样的方法，把第20页，共28页，2023年，2月20日，星期六代入（1.21），便得到所满足的方程组这和方程组（1.7）是完全一样的。

容易看出，方程组（1.22）的系数矩阵就是总刚度矩阵，在总刚度矩阵形成的过程中，注意到而从而有第21页，共28页，2023年，2月20日，星期六即故有这就是有限元方程（1.20）。由上述看出，按Galerkin法推导有限元方程更加直接方便。尤其重要的是。按这一观点推导的有限元方程，不仅适用于稳定问题，而且也适用于非稳定的问题，因此它具有广泛的适用性。（三）、应用举例用有限元方法解边值问题第22页，共28页，2023年，2月20日，星期六将区间〔0,1〕等分成4个单元。

解、利用上述分析结果，我们只需构造出单元刚度矩阵和单元荷载向量，然后合成为总刚度矩阵和总荷载向量。

注意到（1.14）和（1.16）：第23页，共28页，2023年，2月20日，星期六若将取成单元上的中点值则不难得到其中单元的中点为于是有第24页，共28页，2023年，2月20日，星期六如果把单元刚度矩阵和单元荷载向