时间序列分解法和趋势外推法

时间序列分解法和趋势外推法第1页，共65页，2023年，2月20日，星期六4.1时间序列分解法一、时间序列的分解

经济时间序列的变化受到长期趋势、季节变动、周期变动和不规则变动这四个因素的影响。其中：（1）长期趋势因素（T）反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。回总目录回本章目录第2页，共65页，2023年，2月20日，星期六（2）季节变动因素（S）是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。（3）周期变动因素（C）周期变动因素也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。（4）不规则变动因素（I）不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的不规则变动。回总目录回本章目录第3页，共65页，2023年，2月20日，星期六二、时间序列分解模型

时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即：

时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。回总目录回本章目录第4页，共65页，2023年，2月20日，星期六加法模型为：

乘法模型为：回总目录回本章目录第5页，共65页，2023年，2月20日，星期六三、时间序列的分解方法（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化，得到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出季节指数S。（2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长期趋势，得到长期趋势T。回总目录回本章目录第6页，共65页，2023年，2月20日，星期六

（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到周期变动因素C。（4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即：y回总目录回本章目录第7页，共65页，2023年，2月20日，星期六4.2趋势外推法概述一、趋势外推法概念和假定条件趋势外推法概念：当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。

回总目录回本章目录第8页，共65页，2023年，2月20日，星期六趋势外推法的两个假定：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。

回总目录回本章目录第9页，共65页，2023年，2月20日，星期六二、趋势模型的种类多项式曲线外推模型：一次（线性）预测模型：二次（二次抛物线）预测模型：三次（三次抛物线）预测模型：一般形式：回总目录回本章目录第10页，共65页，2023年，2月20日，星期六指数曲线预测模型：一般形式：

修正的指数曲线预测模型：回总目录回本章目录第11页，共65页，2023年，2月20日，星期六对数曲线预测模型：生长曲线趋势外推法：皮尔曲线预测模型：龚珀兹曲线预测模型：

回总目录回本章目录第12页，共65页，2023年，2月20日，星期六

三、趋势模型的选择

图形识别法：

这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。回总目录回本章目录第13页，共65页，2023年，2月20日，星期六差分法：利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。一阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为：

回总目录回本章目录第14页，共65页，2023年，2月20日，星期六一次线性模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第15页，共65页，2023年，2月20日，星期六一次线性模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第16页，共65页，2023年，2月20日，星期六一次线性模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第17页，共65页，2023年，2月20日，星期六一次线性模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第18页，共65页，2023年，2月20日，星期六二次（抛物线）模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=b0+b1t+b2t2一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第19页，共65页，2023年，2月20日，星期六一次线性模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第20页，共65页，2023年，2月20日，星期六一次线性模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第21页，共65页，2023年，2月20日，星期六一次线性模型差分计算表一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b-2a+2bb3a+bb4a+3bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb第22页，共65页，2023年，2月20日，星期六差分法识别标准：差分特性使用模型一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次线性模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型回总目录回本章目录第23页，共65页，2023年，2月20日，星期六4.3多项式曲线趋势外推法一、二次多项式曲线模型及其应用二次多项式曲线预测模型为：回总目录回本章目录第24页，共65页，2023年，2月20日，星期六设有一组统计数据，，…，，令即：解这个三元一次方程就可求得参数。回总目录回本章目录第25页，共65页，2023年，2月20日，星期六例题

•例1

下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额。回总目录回本章目录第26页，共65页，2023年，2月20日，星期六年份时序（t）总额（yt

）年份时序（t）总额（yt

）年份时序（t）总额（yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7回总目录回本章目录第27页，共65页，2023年，2月20日，星期六（1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为

y轴，年份为x轴。回总目录回本章目录第28页，共65页，2023年，2月20日，星期六（2）从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将分别对该两种模型进行参数拟合。

适用的二次曲线模型为：

适用的指数曲线模型为：回总目录回本章目录第29页，共65页，2023年，2月20日，星期六（3）进行二次曲线拟合。首先产生序列，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。

回总目录回本章目录第30页，共65页，2023年，2月20日，星期六(4)进行指数曲线模型拟合。对模型：两边取对数：

产生序列，之后进行普通最小二乘估计该模型。最终得到估计模型为：回总目录回本章目录第31页，共65页，2023年，2月20日，星期六其中调整的，，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用

二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：

进行预测将会取得较好的效果。回总目录回本章目录第32页，共65页，2023年，2月20日，星期六二、三次多项式曲线预测模型及其应用

1.三次多项式曲线预测模型为：注：选择三次多项式曲线模型进行预测，时间序列各数值的三阶差分必须相等或大致相等。回总目录回本章目录第33页，共65页，2023年，2月20日，星期六2.参数求解设有一组统计数据，，…，，令即：解这个四元一次方程就可求得参数。回总目录回本章目录第34页，共65页，2023年，2月20日，星期六3.应用实例例某市2001～2007年棉布产量时间序列如表所示，试预测2009年的棉布产量。年份2001200220032004200520062007棉布产量（亿米）252340374379375385430第35页，共65页，2023年，2月20日，星期六(1)模型选择年份2001200220032004200520062007棉布产量（亿米）252340374379375385430一阶差分—88345-41045二阶差分——-54-29-91435三阶差分———25202321棉产量历史数据的三阶差分基本近似一个常数，其波动范围在20-25之间，因此可以配以三次多项式曲线模型进行预测。第36页，共65页，2023年，2月20日，星期六（2）参数计算年份时序(t)yit^2t^3t^4t^6tyt^2yt^3yyi预测(yi-yi预测)^22001-32529-2781729-7562268-6804252.170.02892002-23404-81664-6801360-2720339.530.22092003-13741-111-374374-374374.450.2025200403790000000378.950.0025200513751111375375375375.050.00252006238548166477015403080384.770.052920073430927817291290387011610430.130.0169合计02535280196158862597875167-0.5271第37页，共65页，2023年，2月20日，星期六3.参数计算预测2009年棉产量，须令t=5,得在90%概率保证度下，预测的置信区间为～4.模型及预测第38页，共65页，2023年，2月20日，星期六4.4指数曲线趋势外推法一、指数曲线模型及其应用

指数曲线预测模型为：如果时间序列各期数值的一阶差比率大致相等，就可以配以指数曲线模型进行预测。回总目录回本章目录第39页，共65页，2023年，2月20日，星期六对函数模型做线性变换得：令，则这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。

回总目录回本章目录第40页，共65页，2023年，2月20日，星期六例题年份199920002001200220032004200520062007总需求量165270450740122020103120546090001.选择模型（1）散点图第41页，共65页，2023年，2月20日，星期六（2）一阶差比率年份199920002001200220032004200520062007总需求量16527045074012202010312054609000一阶差比率-1.641.671.641.651.651.551.751.652求解模型参数年份199920002001200220032004200520062007总需求量16527045074012202010312054609000时序123456789Yt=lnyt5.115.606.116.617.117.618.058.619.10第42页，共65页，2023年，2月20日，星期六年份时序tYtt^2Y^2tY199915.11126.075.11200025.60431.3411.20200136.11937.3218.33200246.611643.6526.43200357.112550.5035.53200467.613657.8545.64200578.054964.7356.32200688.616474.0568.84200799.108182.9081.94合计4563.89285468.42349.33第43页，共65页，2023年，2月20日，星期六3.模型及预测预测2008年需求量，令t=10(万件)第44页，共65页，2023年，2月20日，星期六二、修正指数曲线模型及其应用修正指数曲线预测模型为：

序列数值的一阶差的一阶比率大致相等，可以选用修正指数曲线模型进行预测。回总目录回本章目录ab>00<c<1b<00<c<1yxO第45页，共65页，2023年，2月20日，星期六参数求解修正指数曲线模型中的a,b,c三个参数求解，可用分组分解法，即把整个时间序列分成相等项数的三组，以三个组的变量总数联系起来求得。注：n为每组数值的项数第46页，共65页，2023年，2月20日，星期六例题年份199920002001200220032004200520062007销售量50606869.671.171.772.372.873.21.模型选择第47页，共65页，2023年，2月20日，星期六某商品销售量的一阶差的一阶比率年份199920002001200220032004200520062007销售量50606869.671.171.772.372.873.2一阶差分-1081.61.50.60.60.50.4一阶差的一阶比率--0.800.200.940.401.000.830.80第48页，共65页，2023年，2月20日，星期六2.参数的计算年份时序(t)销售量(yi)199905020001602001268∑Iy-1782002369.62003471.12004571.7∑IIy-212.42005672.32006772.82007873.2∑IIIy-218.3所求模型：3.进行预测第49页，共65页，2023年，2月20日，星期六4.5生长曲线趋势外推法指数曲线预测不能预测接近极限值时的特性值，因为当趋近极限值时，特性值已不按指数规律增长。如果考虑极限值的影响，就会发现事物经历发生、发展到成熟的过程，因为这条曲线形状近似于S，所以又称S曲线。

龚珀兹曲线和皮尔曲线均属于生长曲线回归预测法。

回总目录回本章目录第50页，共65页，2023年，2月20日，星期六一、龚珀兹曲线模型及其应用

1.龚珀兹曲线预测模型为：

对函数模型做线性变换得：

2.在选择应用龚珀兹曲线时，应考察历史数据对数一阶差的一阶比率是否大致相等。龚珀兹曲线是预测各种商品市场容量的最佳拟合线。回总目录回本章目录第51页，共65页，2023年，2月20日，星期六(1)lga<00<b<1(2)lga<0b>1(3)lga>00<b<1(4)lga>0b>1kkkk回总目录回本章目录3.龚珀兹曲线对应于不同的lga与b的不同取值范围而具有间断点。曲线形式如下图所示。第52页，共65页，2023年，2月20日，星期六(1)lga<00<b<1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求

已逐渐接近饱和状态。回总目录回本章目录第53页，共65页，2023年，2月20日，星期六(2)lga<0b>1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求已由饱和状态开始下降。回总目录回本章目录第54页，共65页，2023年，2月20日，星期六(3)lga>00<b<1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求下降迅速，已接近最低水平k。回总目录回本章目录第55页，共65页，2023年，2月20日，星期六(4)lga>0b>1k渐进线（k）意味着市场对某类产品的需求从最低水平k迅速上升。回总目录回本章目录第56页，共65页，2023年，2月20日，星期六4.参数计算求解模型参数k,a,b

需将时序数据分为相等的三组，对时序值求常用对数，并将各组时序数据按所得对数值求和，并置t1=0,然后运用下列式子求解参数然后再查反对数表。第57页，共65页，2023年，2月20日，星期六例如年份时序(t)销售量(yi)lgy199904.940.6937200016.210.7931200127.180.8561∑Ilgy--2.3429200237.740.8887200348.380.9232200458.450.9269∑IIlgy--2.7388200568.750.9420200679.420.97412007810.241.0103∑IIIlgy--2.9264模型及预测查反对数表市场饱和点的需求量是k=10.73万元，由数据可知产品处于生命周期的成熟阶段最高峰，销售量已无增长前景，并可能在某一时刻转入下降趋势。第58页，共65页，2023年，2月20日，星期六二、皮尔曲线模型及其应用皮尔曲线预测模型为：

皮尔曲线多用于生物繁殖、人口发展统计，也适用于对产品生命周期做出分析，尤其适用于对处在成熟期的商品的市场需求饱和量（或称市场最大潜力）进行分析和预测。回总目录回本章目录第59页，共65页，2023年，2月20日，星期六参数求解第60页，共65页，2023年，2月20日，星期六时序(t)销售量(yt)1/yt1/yt+1(1/yt)(1/yt+1)(1/yt)^2150.870.0200.0190.0003780.0003864252.030.0190.0190.0003600.0003694353.330.0190.0190.0003510.0003516453.350.0190.0180.00