斜抛与圆周运动

斜抛与圆周运动第1页，共24页，2023年，2月20日，星期六例4（第13届预赛第7题）.从离地面高度为h的固定点A将甲球以速度v0抛出，抛射角为α，且0<α<π/2。若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板做完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示。则当平板倾角θ为恰当值时(0<θ<π/2)，甲球恰好能回到A点。另有一小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面做完全弹性碰撞。试讨论v0、α、θ应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点。第2页，共24页，2023年，2月20日，星期六hv0AOGθαv0v0α'OG第3页，共24页，2023年，2月20日，星期六解：甲球从A点抛出时的抛射角为α，速度为v0，因为碰撞点与A点等高，球与板的碰撞是弹性的，板的质量又很大，根据机械能守恒定律可知，球与板碰撞前的速度与碰撞后的速度大小都等于v0，设碰撞后甲球从板弹回时的抛射角为α'，如图所示。A点与碰撞点之间的距离即为射程L，若甲球又回到A点，则有或由此得⑴⑵⑶第4页，共24页，2023年，2月20日，星期六若，表示甲球射到平板时速度方向与它从平板反弹回时速度的方向相反，故甲球必沿板的法线方向射向平板，反弹后，甲球沿原来的路径返回A点，因此有即若，表示甲球沿与平板的法线成某一角度的方向射向平板，沿位于法线另一侧与法线成相同角度的方向弹出，然后甲球沿另一条路径回到A点，由图中的几何关系可知⑷第5页，共24页，2023年，2月20日，星期六得下面分别讨论以上两种情况下，甲球乙球同时回到A点应满足的条件。(1)α′=α，θ=π/2-α，即甲球沿原路回到A点的情形。⑸⑹第6页，共24页，2023年，2月20日，星期六设甲球从A点抛出、与OG板碰撞，到沿原路径回到A点共经历时间为t1，则有设乙球从A点自由落下，与地面发生一次碰撞、再回到A点共经历时间为t2，则有⑺⑻第7页，共24页，2023年，2月20日，星期六两球在A点相遇，要求t1=t2，则即⑼⑽第8页，共24页，2023年，2月20日，星期六因sinα<1，有⑾综上所述可知，满足⑾式，甲球的抛射角α满足⑽式，平板的倾角θ满足⑷式，甲球才能沿原路径返回A点并与乙球相遇。(2)α′=π/2-α，θ=π/4，即甲球与OG板碰撞后，沿另一条路径回到A点的情形。设甲球自A点抛出，经与平板碰撞又回到A点经历的总时间为t1′，则有第9页，共24页，2023年，2月20日，星期六⑿设乙球自A点下落后回到A点经历的总时间为t2′，则有⒀第10页，共24页，2023年，2月20日，星期六两球在A点相遇，要求t1′=t2′，则即⒁⒂第11页，共24页，2023年，2月20日，星期六因0<α<π/2，故有⒃结合⒁式，得⒄综上所述可知，当v0满足⒄式，甲球的抛射角α满足⒂式，平板的倾角θ满足⑹式，甲球将沿另一条路径回到A点，同时与乙球相遇。第12页，共24页，2023年，2月20日，星期六综合以上讨论，可知：当，且甲球沿原路径返回A点的同时，乙球也回到A点；当，且，，，，第13页，共24页，2023年，2月20日，星期六甲球还可沿另一条路径返回A点，乙球也正好回到A点。以上只是竞赛时的标准答案，但仅据题意，似乎还应该有其他一些解。如甲球与平板碰撞后竖直弹起，掉下碰板后沿原路径再返回A点。第14页，共24页，2023年，2月20日，星期六巩固练习：

1.大炮在山脚直接对着倾角为α的山坡发射炮弹，炮弹初速度为v0，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角应为多少？最远射程为多少？

2.最大与地面成什么角度抛出石子，才能使石子在运动过程中始终远离抛掷石子的人？

3.一斜面体两斜面的倾角分别为θ和φ

，如图所示。一物体从倾角为θ的斜面底角处做斜上抛运动。为使物体从斜面体的顶角处切过，并落在倾角为φ的斜面底角处，则物体的抛射角α与倾角θ

、φ

应满足什么关系？第15页，共24页，2023年，2月20日，星期六v0αθφOh第16页，共24页，2023年，2月20日，星期六质点的圆周运动：做圆周运动的质点在任意时刻与圆心的间距R恒定，它在某一位置处的速度方向总是沿圆周的切线方向。vAOBvΔvΔv1Δv2设在时刻t，质点位于A，其速度矢量为v，经时间Δ

t到达点B，速度矢量变为v+Δv，如图所示。通常将Δv分解为两部分，一部分是速率大小的改变量Δv2，另一部分可以表示出速度的方向改变Δv1，则有第17页，共24页，2023年，2月20日，星期六其中为法向加速度表征速度方向变化的快慢。对一般的曲线运动，向心加速度第18页，共24页，2023年，2月20日，星期六其中ρ为质点所在曲线处的曲率半径（每一光滑平面曲线中的任何一个无限小部分均可属于某一圆，此圆称为曲线在该部位的曲率圆，其半径称为曲率半径）。aτ为切向加速度，表征速度大小变化的快慢，对匀速圆周运动而言，aτ=0。第19页，共24页，2023年，2月20日，星期六例：一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝.将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束.在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线.图(a)为该装置示意图，图(b)为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中Δt1=1.0×10-3s，Δt2=0.8×10-3s.(1)利用图(b)中的数据求1s时圆盘转动的角速度；

(2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向；(3)求图(b)中第三个激光信号的宽度Δt3.

第20页，共24页，2023年，2月20日，星期六第21页，共24页，2023年，2月20日，星期六(1)由图线读得，转盘的转动周期T＝0.8s ①解：角速度(2)激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动(理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动).(3)设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为ri，第i个脉冲的宽度为△ti，激光器和探测器沿半径的运动速度为v