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数项级数概念性质第1页，共12页，2023年，2月20日，星期六无穷级数表达函数解微分方程数值计算第一节数项级数的概念和性质一.数项级数的概念中学:无穷等比级数就是无穷级数的一种定义将其各项依次累加所得的式子称为数项无穷级数设有数列项通项第2页，共12页，2023年，2月20日，星期六问题:如何理解无穷个数相加?变化趋势1.部分和:2.部分和数列:3.收敛:称级数收敛称为级数余项极限不存在,称级数发散例.判断级数敛散性:(1).1+2+3+…+n+…级数发散第3页，共12页，2023年，2月20日，星期六(2).级数收敛=1(3).q=1时q=-1时极限不存在,级数发散级数发散第4页，共12页，2023年，2月20日，星期六级数发散总之:级数收敛级数发散(4).级数发散第5页，共12页，2023年，2月20日，星期六二.数项级数的性质性质1若级数收敛于和S,k为常数,则证推论:级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变性质2.两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减第6页，共12页，2023年，2月20日，星期六性质3.改变有限项不影响级数的敛散性证不妨设去掉前k项,得级数常数原级数部分和时,同时敛散因此,不影响级数的敛散性.例:因为和都收敛级数收敛第7页，共12页，2023年，2月20日，星期六性质4.收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变证:设收敛级数新级数注意:(1).加括号后所得新级数发散,则原级数发散.(2).加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.例如:(1－1)+(1－1)+(1－1)+......收敛而1－1+1－1+1－1+......发散.第8页，共12页，2023年，2月20日，星期六性质5.(级数收敛必要条件)若级数收敛,则证:注意:(1).若,则级数发散(2).时,级数不一定收敛判断级数发散的第一步骤第9页，共12页，2023年，2月20日，星期六但可以证明级数发散假若级数收敛,则但是,矛盾例如:调和级数第10页，共12页，2023年，2月20日，星期六(2)不存在级数发散例.判断级数敛散性:(1)级

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