山西省吕梁市中阳县金罗中学2021年高三数学理测试题含解析

山西省吕梁市中阳县金罗中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若正项数列{an}满足lgan+1=1+lgan，且a2001+a2002+…+a2010=2014，则a2011+a2012+…+a2020的值为（）A．2014?1010B．2014?1011C．2015?1010D．2015?1011参考答案：A考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：lgan+1=1+lgan，可得=10，数列{an}是等比数列，可得a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）．解答：解：∵lgan+1=1+lgan，∴=1，∴=10，∴数列{an}是等比数列，∵a2001+a2002+…+a2010=2014，∴a2011+a2012+…+a2020=1010（a2001+a2002+…+a2010）=2014×1010．故选：A．点评：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）==，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．3.已知集合，则=,

或

参考答案：D4.已知，那么(

)．． ． ． ．参考答案：A略5.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：p．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.6.如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是………………（

）（A）满足的点必为的中点.（B）满足的点有且只有一个.（C）的最大值为3.（D）的最小值不存在.参考答案：C当时，，此时位于处，所以（A）错误。当时，此时位于处,当时，此时位于处,所以满足满足的点有且只有一个错误。所以(B)错误。将图象放入坐标系设正方形的边长为1，则,设,则由得，即。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。若点位于上，则，此时，，即，所以。若点位于上，此时，，所以。综上，即的最大值是3，最小值为0.所以选C.7.已知四边形的对角线相交于一点，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C由，，得，且.法一：注意到的取值只与的相对位置关系有关，与具体的坐标位置无关，所以可等价转换命题为：，，，，，，求的取值范围..选C.法二：取，则；设，，则求得，当且时，取到最小值，结合图形可判断此时满足的对角线相交于一点的要求，故选C.

法三：数形结合，在满足“，且，的对角线相交于一点”要求的情况下，固定位置，移动位置，考察各极端（极限）位置上的取值情况，结合选择支判断选项可得解.8.若函数在处取最小值，则

A．

B．

C．3

D．4

参考答案：C本题主要考查均值不等式的应用，以及对代数结构变换能力、逆向思维能力，同时考查方程的思想．难度中等．∵x＞2，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当x－2＝，即x＝3时取等号．即x＝3．9.定义新运算：当时，；当时,，则函数，的最大值等于（

）A．-1

B．1

C．6

D．12参考答案：C10.下列函数中，在其定义域内是减函数的是(

)A.

B．

C．D．

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象恒过定点,且点在直线上，其中，则的最小值为______________参考答案：12.已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，，则

参考答案：113.函数的值域是____________.参考答案：14.若函数的图像为C，则下列结论中正确的序号是__________．①图像C关于直线对称；②图像C关于点对称；③函数f(x)在区间内不是单调的函数；④由的图像向右平移个单位长度可以得到图像C．参考答案：①②对于①：若函数的对称轴方程为，当时，，故①正确；对于②，若函数的对称中心为，当时，对称中心为，故②正确；对于③，函数的递增区间为，所以函数在区间单调递增，故③错；对于④，的图像向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，故④错．所以应填①②．15.已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，，则棱锥O-ABCD的体积为__________．参考答案：略16.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①；②；③当时，，则＝________.参考答案：【分析】利用周期性和奇偶性，直接将的值转化到上的函数值，再利用解析式计算，即可求出结果．【详解】依题意知：函数为奇函数且周期为2，则，，即.【点睛】本题主要考查函数性质——奇偶性和周期性的应用，以及已知解析式，求函数值，同时，考查了转化思想的应用．17.以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是___________________参考答案：抛物线的焦点为，即双曲线的的焦点在轴，且，所以双曲线的方程可设为，双曲线的渐近线为，得，所以，，即，所以，所以双曲线的方程为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）给定函数（1）求在时的最小值；（2）为何值时，方程有唯一解。参考答案：解析：（1）

①若上连续,上是单调递增函数.

②若当上是单调递减函数；当上是单调递增函数.则时，取得最小值.

5分

（2）记

若方程

当上是单调递减函数；

当上是单调递增函数.

∴当x=x2时，

9分

设函数

至多有一解.

故时，方程有唯一解。

14分19.已知数列满足，（1）求，，；（2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式。参考答案：（1）

∴(2)证明：易知，所以当==1

所以因为

所以略20.如图，在四棱椎中，底面为菱形，为的中点.(1)求证：平面；(2)若底面，，，求平面与平面所成锐二面角的正弦值.参考答案：(1)证明：如图，连接交于点，连接，由底面为菱形，可知点为的中点，又∵为中点，∴为的中位线，∴.又∵平面，平面，∴平面.(2)解：如图，过点在底面内作，交于点，设，∵底面，∴分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，由题意得，且，得，∴点坐标为，，∴，.设平面的法向量为，∴，令，则，.∴.取平面的法向量为，，∴平面与平面的夹角正弦值为.21.已知等比数列{an}中，a1=，公比q=． （Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn= （Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式． 参考答案：【考点】等比数列的前n项和． 【专题】综合题． 【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明． （II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式． 【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q= ∴an=×=， Sn= 又∵==Sn ∴Sn= （II）∵an= ∴b