数值计算方法三次样条插值演示文稿

数值计算方法三次样条插值演示文稿现在是1页\一共有68页\编辑于星期五（优选）数值计算方法三次样条插值现在是2页\一共有68页\编辑于星期五4.4.1分段插值现在是3页\一共有68页\编辑于星期五分段线性插值现在是4页\一共有68页\编辑于星期五分段线性插值现在是5页\一共有68页\编辑于星期五分段线性插值现在是6页\一共有68页\编辑于星期五缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在现在是7页\一共有68页\编辑于星期五分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。现在是8页\一共有68页\编辑于星期五分段三次Hermite插值现在是9页\一共有68页\编辑于星期五分段三次Hermite插值算法现在是10页\一共有68页\编辑于星期五例题现在是11页\一共有68页\编辑于星期五例题现在是12页\一共有68页\编辑于星期五4.4.2三次样条插值现在是13页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是14页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是15页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是16页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是17页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是18页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是19页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是20页\一共有68页\编辑于星期五现在是21页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是22页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是23页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是24页\一共有68页\编辑于星期五三次样条插值现在是25页\一共有68页\编辑于星期五例题例4.4.1已知函数y=f(x)的数表如下表所示。

求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529现在是26页\一共有68页\编辑于星期五解做差商表(P111),由于是等距离节点,现在是27页\一共有68页\编辑于星期五由第二类边界条件得现在是28页\一共有68页\编辑于星期五解方程得将Mi代入式4.4.14)得现在是29页\一共有68页\编辑于星期五由于故

现在是30页\一共有68页\编辑于星期五4．5曲线拟合的最小二乘法插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.同样也可以用级数的部分和作为函数的近似表达式.无论用那种近似表达式,在实际应用中都要考虑精度,所以我们给出最佳逼近的讨论.现在是31页\一共有68页\编辑于星期五4.5.1最佳平方逼近定义4.5.1设称为函数在区间[a,b]上的内积.

其中为区间[a,b]上的权函数,且满足下面两个条件:现在是32页\一共有68页\编辑于星期五容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质.现在是33页\一共有68页\编辑于星期五内积的性质现在是34页\一共有68页\编辑于星期五函数的欧几里得范数定义4.5.2设称为函数f(x)的欧几里得范数,或2范数.现在是35页\一共有68页\编辑于星期五函数的欧几里得范数性质现在是36页\一共有68页\编辑于星期五线性相关的函数系定义4.5.3设函数,如果存在一组不全为零的数使成立,则称函数系是线性相关的,否则称是线性无关的.现在是37页\一共有68页\编辑于星期五线性相关的函数系的判定定理4.5.1函数在区间[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gramer行列式现在是38页\一共有68页\编辑于星期五不难证明在R上线性无关.定理的等价说法是:函数系线性无关的充分必要条件是Gramer行列式.现在是39页\一共有68页\编辑于星期五最佳平方逼近定义4.5.4设函数及函数系且线性无关.记为连续函数空C[a,b]的子空间,如果存在元素满足现在是40页\一共有68页\编辑于星期五则称为f(x)在上的最佳平方逼近函数.且其中是法方程唯一的一组解.现在是41页\一共有68页\编辑于星期五令则误差为现在是42页\一共有68页\编辑于星期五特例取则法方程为其中现在是43页\一共有68页\编辑于星期五例题例4.5.1设求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.解设由于现在是44页\一共有68页\编辑于星期五故法方程为解得现在是45页\一共有68页\编辑于星期五平方误差为现在是46页\一共有68页\编辑于星期五4.5.2对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.现在是47页\一共有68页\编辑于星期五在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据:,求曲线与实验数据误差在某种度量意义下最小.现在是48页\一共有68页\编辑于星期五设是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令记误差.为寻求我们常以误差加权平方和最小为度量标准,即现在是49页\一共有68页\编辑于星期五达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数极值必要条件有现在是50页\一共有68页\编辑于星期五用向量内积形式表示,上式可记上式为求的法方程组,其矩阵的形式为现在是51页\一共有68页\编辑于星期五其中由于向量组是线性无关,故式(4.5.14)的系数行列式现在是52页\一共有68页\编辑于星期五故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函数f(x)的最小二乘解其平方误差为现在是53页\一共有68页\编辑于星期五特例现在是54页\一共有68页\编辑于星期五例题例4.5.2设函数y=f(x)的离散数据如下表所示试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718现在是55页\一共有68页\编辑于星期五解由式(4.5.16)可得解方程组得所以拟合二次函数为现在是56页\一共有68页\编辑于星期五平方误差为现在是57页\一共有68页\编辑于星期五例4.5.3地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高现在是58页\一共有68页\编辑于星期五年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08现在是59页\一共有68页\编辑于星期五解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图4.5.1(P119)现在是60页\一共有68页\编辑于星期五从图可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系为决定参数α,β将上式改写成现在是61页\一共有68页\编辑于星期五记则有这是已知数据相应地变为如下表所示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32现在是62页\一共有68页\编辑于星期五由式(4.5.16),取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:现在是63页\一共有68页\编辑于星期五相应的t与n的指数型拟合曲线关系为就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求现在是64页\一共有68页\编辑于星期五以地球气温比1860年上升为例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)现在是65页\一共有68