吉林省新六所重点2023年高考适应性考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x-y..O

1.已知无，）'满足x+y..O,则匕口的取值范围为（）

,X-2

X.1

'3'

A.-,4B.（1,2]C.（-a）,0]U[2,+a））D.（—,1）52,小）

2.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）

A.z<3?B.z<4?C.z<5?D.z<6?

3.已知函数/(x)=Asin(a)x+e)(A>0,3>0,［同<］)的部分图象如图所示，且/(a+x)+/(a-x)=0,贝!］同

的最小值为()

v

4.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，

图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）

・一级0：«□三犯I囚嫌及以上

35

A.1月至8月空气合格天数超过2()天的月份有5个

B.第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了

C.8月是空气质量最好的一个月

D.6月份的空气质量最差.

5.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范

围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图，这200名学

生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()

A.56C.140D.120

若两个非零向量3、B满足(Z+B)•仅=且卜+0=2卜—q,则£与坂夹角的余弦值为(

6.)

3B.±|1

A.D.±-

522

x+y-2<0

x-2y-2<0,则目标函数z=2心的最小值为

7.已知实数X,)'满足约束条件〈

X>1

25

A.

34

4

C.D.

32

8.如图，在aAHC中，点。是3c的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点/，N,若丽=相而,

AC^nAN>贝!|加+〃=()

3

A.1B.-C.2D.3

2

「cfx—«y+3>0

9.已知丁=依+力与函数/(x)=21nx+5和g(x)=f+4都相切，则不等式组<'八所确定的平面区域在

x+/?y-2>0

》2+,2+2%一2>—22=0内的面积为()

A.2万B.34C.6兀D.127r

10.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.

现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

11.己知全集为实数集R,集合4=出炉+2代8>0},B={x\logix<l},贝4(余4)八8等于()

A.[-4,2]B.[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)

12.在菱形A8CO中，AC=4,80=2,E,尸分别为AB,BC的中点，则诙.诙=()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶

图：

由此可估计，全年(按360天计算)中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多天.

14.已知向量a=(cos5°,sin5°),b=(cos65°,sin65°),贝！]2a+B=.

15.从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是(结果用最简分数表

示)

ay--4丫_1丫/A

16.已知函数/（x）=j2/；卧二;x［；是偶函数，直线与函数y=/（x）的图象自左向右依次交于四个不同

点A,B,C,D.若A5=8C,则实数f的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在AABC中，ZB=~,b=5，.求8C边上的高.

3

用

①sinA=---，②sin4=3sinC,③a-c=2,这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

7

18.（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取

了100件产品作为样本，检测一项质量指标值.该项指标值落在［20,40）内的产品视为合格品，否则为不合格品.

乙生产线样本的频数分布表

质量指标[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计

频数2184814162100

（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产

的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；

（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的2x2列联表，并

判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析

保留哪条生产线较好？

甲生产线乙生产线合计

合格品

不合格品

合计

n(ad-bc)2,,

附：K~=-------------------------------,n=a+h+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

pgQ0.1500.1000.0500.0250.0100.005

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

19.(12分)已知函数/(x)=|x+l|-2|x-a|,a>0.

（D当a=l时，求不等式〃x）＞l的解集;

（2）若"x）的图象与X轴围成的三角形面积大于6,求。的取值范围.

20.（12分）如图1,在等腰梯形ABK鸟中，两腰Ae=86=2,底边AB=6,耳8=4,D,C是4B的三等

分点，E是的中点•分别沿CE,。石将四边形3CE6和ADE居折起，使6，B重合于点尸，得到如图2所示

的几何体.在图2中，M，N分别为CO,EF的中点.

国2

(1)证明：MN^^ABCD.

（2）求直线CN与平面AB尸所成角的正弦值.

21.（12分）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为“、b、且cos2C+3cosc-1=0.

（1）求角C的大小;

⑵若b=3a,AABC的面积为GsinAsinB,求sinA及c的值.

22o

22.（10分）已知正数x,y,z满足x+y+z=f（f为常数），且上+二+z?的最小值为？，求实数f的值.

497

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

设攵==，则攵的几何意义为点(x,y)到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.

x-2

【详解】

y—3

解：设攵一，则攵的几何意义为点P(x,y)到点0(2,3)的斜率，

x-2

作出不等式组对应的平面区域如图：

由图可知当过点。的直线平行于工轴时，此时Z=Jy—3=0成立；

x-2

左=2二^取所有负值都成立；

x-2

y—3X=1y—31—3

当过点A时，z=)一取正值中的最小值，c=A(U),此时％=—=——=2；

x-21x-y=0x-21-2

故匚的取值范围为(-8,0]U[2,+8)；

x-2

故选：C.

【点睛】

本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键.对

于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在.

2.C

【解析】

根据程序框图的运行，循环算出当5=31时，结束运行，总结分析即可得出答案.

【详解】

由题可知，程序框图的运行结果为31,

当S=1时，i=9；

当5=1+9=10时，，=8；

当5=1+9+8=18时，i=7；

当5=1+9+8+7=25时，/=6；

当5=1+9+8+7+6=31时，i=5.

此时输出S=31.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.

3.A

【解析】

“是函数/(x)的零点，根据五点法求出图中零点及y轴左边第一个零点可得.

【详解】

由题意工，7="，.•.函数/a)在＞轴右边的第一个零点为2+—=二，在＞轴左边第一个零点是

41266412

717t71

%一1一立，

.••I1的最小值是5.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性.函数/(x)=Asin(0x+°)的零点就是其图象对称中心的横坐标.

4.D

【解析】

由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差.故本题答案选D.

5.C

【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)X2.5=0.7,故自习时间不少于22.5小时

的频率为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

6.A

【解析】

设平面向量£与万的夹角为。，由已知条件得出a=b,在等式卜+q=2B一万］两边平方，利用平面向量数量积的运

算律可求得cos。的值，即为所求.

【详解】

rr

设平面向量Z与石的夹角为6,+=-|^|=0,可得a=b,

在等式B+©=2B-闸两边平方得才+2£.B+片=47一87B+宕，化简得cos。=|.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

7.B

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，目标函数2=七1的几何意义为动点加（乂咒到定点。（一L2）的斜率，利用数形结

合即可得到z的最小值.

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

目标函数z=三1的几何意义为动点M（x,y）到定点D（-l,2）的斜率，

当"位于A（l,一时，此时的斜率最小，此时,_4~2_5.

I2）而"1+14

故选B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

8.C

【解析】

连接AO,因为。为6c中点，可由平行四边形法则得A6(=；(A月+4仁)，再将其用丽7，丽表示.由M、

0、N

mn

三点共线可知，其表达式中的系数和彳+7=1,即可求出m+〃的值.

22

【详解】

连接A。，由。为BC中点可得，

AO^-(AB+AC)^—AM'+-AN,

222

0、N三点共线，

mn,

=1,

22

:.m+n=2.

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.

9.B

【解析】

根据直线y=ox+0与/(£)和g(x)都相切，求得。的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆

x2+y2+2x-2y-22=0,由此求得正确选项.

【详解】

22

f(x)=—,g'(x)=2x.设直线y=ax+b与“X)相切于点A(Xo,21nx0+5)'斜率为一,所以切线方程为

X演)

2221(1

y-(21nx0+5)=—(x-x0),化简得y=-x+21nx0+3①.令g(x)=2x=—，解得x=一，g—+4,

(1121)21,c,c1

所以切线方程为—+4x----化简得y=一龙一一7+4②.由①(D对比系数得21nx0+3=---+4,

1%?xo*0>//石

化简得2111%+与-1=0③.构造函数〃(x)=21nx+-V—l(x>0),"(月=2—4='上！上二！1,所以〃(力在

X。x~XXX

(0』)上递减，在(1,e)上递增，所以〃(可在x=l处取得极小值也即是最小值，而〃⑴=0,所以〃(x)=o有唯一

x-ay+3>Qx-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解.%=1.所以切线方程为y=2x+3.即a=2,。=3.不等式组，即《

x+by-2>Q[x+3y-2>0

画出其对应的区域如下图所示.圆/+：/+2%-2)，-22=0可化为(%+1)2+(丁-1)2=24,圆心为A(-1,1).而方程

x-2y+3=0\x--\|x-2y+3>0

组J.八的解也是，.画出图像如下图所示，不等式组/°八所确定的平面区域在

x+3y—2=0[y=\[x+3y-2>0

V+丁+2%一2y-22=0内的部分如下图阴影部分所示.直线x-2y+3=0的斜率为；，直线x+3y—2=0的斜率

11

1--1—

为—所以tanN84C=tan(NA£O+NAO£)=-^j+=l,所以NBAC=工，而圆A的半径为J五=2#,所

3]--X-

23

以阴影部分的面积是:x/x(2几『=3万.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考

查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.

10.C

【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分

分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.

【详解】

把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有

种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有种方法，由分步计数原理，共有C[A；=36种方案。

故选：C.

【点睛】

本题主要考查排列与组合，常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.

11.D

【解析】

求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简3,然后利用补集与交集的运算得答案.

【详解】

解：由“2+2工・8>0,得xV・4或x>2,

:.A={X|X2+2X-8>0}={X\xV・4或x>2},

由x>0,得0VxV2,

B={x\log2X<1}={x|0<x<2},

则4A={x|TWxW2},

.-.（M）n5=（o,2）,

故选：D.

【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.

12.B

【解析】

据题意以菱形对角线交点。为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出万瓦而，再根据坐标形式下向量的数量

积运算计算出结果.

【详解】

设AC与BO交于点。，以。为原点，丽的方向为X轴，场的方向为y轴，建立直角坐标系,

则FM,-ij,D(I,O),诙=1|/＞加=卜|,一1),

------95

所以DEDF=—―1=—・

44

故选：B.

【点睛】

本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直

接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.72

【解析】

根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点

比乙景点多的天数，得到答案.

【详解】

由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，

游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，

7-3

所以在全年)中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多360xy=72天.

20

故答案为：72.

【点睛】

本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

14.V7

【解析】

求出然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算.

【详解】

由题意得7=cos25o+sin25°=l，|«|=1=cos265°+sin265°=b|^|=1-

:.a-b=cos5°cos650+sin5°sin65°=cos60°=—1,:.(2a+B)2-^a+Aa-b+b2=4+4x—1+1=7,

|2tz+^|=V7.

故答案为：

【点睛】

本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础.本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积

的运算.

1

15.-

5

【解析】

依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。

【详解】

“任取两个数”的事件数为〃=C；=15,“任取两个数，和是质数”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3个，所以任取

31

两个数，这两个数的和仍是质数的概率是2=宜=二。

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率求法。

16.——

2

【解析】

由/(x)是偶函数可得x>0时恒有/(-%)=/(幻，根据该恒等式即可求得“，。，c的值，从而得到/(%)，令，=/(x),

可解得A，B,C三点的横坐标，根据A8=3。可列关于/的方程，解出即可.

【详解】

解：因为F(x)是偶函数，所以x>0时恒有/(—x)=/(x),^2x2-bx+c^ax2-4x-i,

所以（。-2）x2+（8一4）x-c-1=0,

。-2二0

所以<8-4=0,解得a=2,b=4,c=—l；

c+l=0

2xz-4x—1,x.0

所以/⑴=

+4x-l,x<0

由f=2x2+4x-l,即2x2+4x—1-f=0,解得x=-1±eJ2t+6；

故xA——I—-42t+6,Xy=-]+5J2t+6.

由f=2d-4x-l,即2x2_4x-l-f=0,解得x=l±gj2f+6.

=

故x©1——J2t+6,xl）=1+—12t+6.

因为AB=BC,所以乙一乙=左一/，即j2r+6=2-J2f+6，解得，=一^,

故答案为：---.

2

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.详见解析

【解析】

选择①，利用正弦定理求得“，利用余弦定理求得。，再计算BC边上的高.

选择②，利用正弦定理得出a=3c,由余弦定理求出c,再求8c边上的高.

选择③，利用余弦定理列方程求出J再计算8C边上的高.

【详解】

选择①，在AABC中，由正弦定理得，一=”一,

sinAsinB

aV?

即V21_百»解得a=2；

~V~~

由余弦定理得Z?2=cr+c2-laccosB,

即(S)-22+C2-2X2XCX^,

化简得°2—2c-3=0,解得c=3或c=T（舍去）;

所以8C边上的高为〃=csin6=3x立=上叵.

22

CLC

选择②，在AA8C中，由正弦定理得——二——,

sinAsinC

ac

又因为sinA=3sinC,所以------=-----,即Q=3C；

3sinCsinC

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，

即(⑺2=(3C)2+c2-2x3cxcxg,

化简得7c2=7,解得。=1或c=—1(舍去)；

所以3。边上的高为h=csinB=lx昱=2

一一22

选择③，在AABC中，由a-c=2,得。=。+2；

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，

即(⑺2=(C+2)2+C2-2X(C+2)XCX1,

化简得(2+2。-3=0,解得c=l或c=-3(舍去)；

所以3c边上的高为h=csinB=lx"=二巨.

22

【点睛】

本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.

18.(1)0.0081(2)见解析，保留乙生产线较好.

【解析】

⑴先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次

独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出K-的观测值即可判断.

【详解】

(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：

0.032x5+0.080x5+0.032x5+0.036x5=0.9.

设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A，事件A发生的概率为〃，则由样本可估计P=0.9.

那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A恰好发生2次,

其概率为：c>2(l-p)3=0.0081.

(2)2x2列联表:

甲生产线乙生产线合计

合格品9096186

不合格品10414

合计10010()200

200x(90>4-96x10)2

Kz的观测值上=»2.765,

186x14x100x100

•••2.765>2.706,P(K2>2.706)=0.100,

.•.有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关.

由(1)知甲生产线的合格率为0.9,

18+48+14+16

乙生产线的合格率为=0.96,

100

V0.96>0.9.

,保留乙生产线较好.

【点睛】

此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.

19.(I){x||<x<2}(II)(2,+oo)

【解析】

试题分析：

(I)由题意零点分段即可确定不等式的解集为<x<2：；

99?

(II)由题意可得面积函数为为§(。+1)9一，求解不等式§(。+1)->6可得实数a的取值范围为(2,一)

试题解析：

(7)当a=l时，/(x)>l化为卜+1|-2上一1|—1>0,

当xK-1时，不等式化为x—4>0,无解；

2

当—1<X<1时，不等式化为3x—2>0,解得3Vx<1；

当时，不等式化为—x+2>0,解得lWx<2.

所以〃X)>1的解集为卜|g<x<2

x-1—2tz,x<—1,

(〃)由题设可得，/(x)=<3元+1-2〃,一1<x<a,

-x+1+2a,x>a.

^^■,0）,B（2a+l,0）,C（a,a+1）,

所以函数/(X)的图像与X轴围成的三角形的三个顶点分别为A

22

A4BC的面积为§(。+1)二

27

由题设得§(Q+1)>6,故〃〉2.

所以”的取值范围为(2,+8)

20.(1)证明见解析(2)上

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【解析】

⑴先证av^EF,再证DN_L砂，由E产〃3C可得平面COV,从而推出肱V，平面ABCD；(2)建立空

间直角坐标系，求出平面AB厂的法向量与西，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.

【详解】

(1)证明：连接CF,DN,由图1知，四边形8CEE为菱形，且NCM=60°,

所以ACE户是正三角形，从而CNLEF.

同理可证，D