第六章直线回归与相关

第六章直线回归与相关张菊英复习

已学过的基本统计推断方法单变量分析(univariateanalysis)：t检验、u检验、2检验、秩和检验、方差分析多变量分析(multivariateanalysis)：人的身高与体重，体温与脉搏次数，年龄与血压，药剂量与疗效，体表面积与肺活量，身高与臂长

直线回归（linearregression）问题的提出例11.1在脑血管疾病的诊断治疗中，脑脊液白细胞介素-6(IL-6)水平是影响诊断与预后分析的一项重要指标，但脑脊液临床上有时又不容易采集到。某医生欲用容易测定的血清IL-6含量，来了解急性脑血管病病人脑脊液IL-6水平，随机抽取了某医院确诊的10例蛛网膜下腔出血(SAH)患者24小时内血清IL-6(pg/ml)和脑脊液IL-6(pg/ml)数据见表11.1，试求脑脊液IL-6对血清IL-6的直线回归方程。表11.1SAH患者第一天血清和脑脊液

IL-6(pg/ml)检测结果

患者号

12345678910血清IL-6(x)22.451.658.125.165.979.775.332.496.485.7脑脊液IL-6(y)134.0167.0132.380.2100.0139.1187.297.2192.3199.4

为直观理解SAH患者血清IL-6和脑脊液IL-6的关系，以血清IL-6为横轴，脑脊液IL-6为纵轴，描出10对数据散点图如图11.1。血清IL-6(pg/ml)10080604020脑脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060直线回归目的研究变量之间的数量依存关系（Y随着X变化而变化），找出一条最能代表这种数据关系的直线。背景

高个子父代的子一代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子一代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。基本概念直线回归方程：X为自变量的取值为当X取某一值时应变量Y的平均估计值

函数关系与回归关系函数关系：自变量取某一数值时，应变量有一个完全确定的数值与之对应。如：y=2x+1回归关系：变量间虽然存在一定的关系，但关系不是十分确定。如：SAH患者的血清水平与脑脊液水平，一般情况下，血清水平越高，其脑脊液水平就越高。血清IL-6(pg/ml)10080604020脑脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060基本概念直线回归方程：X为自变量的取值为当X取某一值时应变量Y的平均估计值为截距(intercept)，即当X=0时Y的平均估计值a>0a=0a<0基本概念直线回归方程：为回归系数(regressioncoefficient)，又称斜率(slope)，是当X每改变一个观测单位时所引起Y

的改变量。b>0：X每增加（减少）一个观测单位，增加（减少）b个单位。b<0：X每增加（减少）一个观测单位，减少（增加）|b|个单位。b=0：X与Y没有直线回归关系。b>0b<0b=0原理最小二乘法：实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小。基本公式设有n对观测值(X1,Y1)，，(Xn,Yn),记则血清IL-6(pg/ml)10080604020脑脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060具体步骤(1)用实测数据绘制散点图(scatterdiagram)(2)计算回归系数b与截距a求求

则(3)列出回归方程

(4)作出回归直线：在X值实际范围内任取两点

(25,102.4535)(50,131.946)血清IL-6(pg/ml)10080604020脑脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060一、建立假设检验，确定检验水准

H0：X与Y之间无回归关系，即

H1：X与Y之间有某种程度的回归关系，即二、计算检验统计量方差分析：对应变量Y的离均差平方和进行分解P(X,Y)

表示实际值Ｙ与估计值之差,

称为残差或剩余。表示估计值与均数之差，它与回归系数的大小有关。当|b|值越大时，差值也越大。方差分析表来源平方和SS自由度均方MS统计量F总总=n-1回归回=1MS回=SS回/1MS回/MS残残差残=n-2MS残=SS残/(n-2)表11.2方差分析结果来源平方和SS自由度均方MS统计量FP总16242.1009回归8495.883918495.88398.77420.018残差7746.21618

968.2770

(2)

t检验则

t=(b-0)/Sb

，=n－2

本例中,t=2.306,=8

三、确定P值和作出统计判断

本例P<0.05,按=0.05水准拒绝H0，故可以认为X与Y之间有某种程度的回归关系，即回归系数0。注:直线回归方程的应用条件平均数的可信区间点估计:是在给定X下的条件平均值的点估计的1-α的可信区间估计

其计算公式为：

为自由度为n-2的t分布的双侧1-临界值

当时,条件平均值的可信区间最窄,越远离时,的可信区间越宽个体Y值的容许区间

同一X值下，个体Y值的预报区间要宽于条件平均值的可信区间。2、控制：控制是指要求应变量Y在一定范围内波动时，如何控制自变量X的取值。

例:

为使一名糖尿病人的血糖维持在正常范围（4.44~6.66mmol/L）,根据资料已建立的直线回归方程，问欲将血糖水平控制在正常范围的上界（6.66mmol/L）以内时，胰岛素应维持在什么水平上？解得X=32.64(mU/L)注意事项(1)直线通过点()(2)实际意义：从专业角度对两个变量内在联系有一定认识，不能把毫无关联的两种现象作回归分析。YX,(3)适用条件

Y为数值变量且服从正态分布，X为人为控制或精确测量，一般称为Ⅰ型回归。若X，Y服从双变量正态分布，则对这种资料进行的回归称为Ⅱ型回归。可计算两个回归方程：（4）散点图：必需有直线趋