线性代数第3版习题全解（上海交通大学）2356

上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解习题1.11.计算下列行列式：xyz2cosx12cosx10cosxsixn74(1)(5)；2sinx;coxs3zxy；4101；15yzx2cosxxyyxyxxyx。xyy解：74=7×5−1×4=31；(1)(2)15D1；xyzyz1yz(3)Dxyzxyxyz1xyxyzzx1zx1yzxyz0xyyzx3y3z33xyz。0zyxz2cosx12cosx101014cos2x2cosx12cosx1(4)102cosx012cosx14cos2x2cosx8cos3x4cosx。12cosxxyyxyxxyx=x(xy)yyx(xy)yx(xy)(xy)2(xy)(5)xyyy3x32x32y32.用行列式方法求解下列线性方程组：2xx3x13xy1(1)123(2)4x2x5x4。；5x2y8123xx331解：1上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解(1)D53121,D1110,D538129,8212xD110,xD229DD12213113(2)D4253,D42527,1101301213211D4453,D42418，241311031,xD36。DxD9,xD12DD1233．求下列各排列的逆序数：(1)34215；解：(2)13…(2n−1)(2n)(2n−2)…2。(1)t=2+2+1=5t[12(n1)][(n1)(n2)21]n(n1)(2)4．写出四阶行列式中含有因子aa的项。1123aaaaaaaaa解：(1)t(1)tij441p2p3p4p11233p4p412343P3P4是2，4的全排列，即24，42，故(1)t1(324)aaaa,(1)1(342)taaaa1123344211233244，aaaa。即aaaa11233244112334425．证明000…0a1n0…aa2n12nn(n3)D(1)aa…aa。1n2n1n12n120a…aan12n1n1n1naa…aan1n2nn1按行列式定义即可证明（略）。nn习题1.21.试证明行列式性质4。2上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解a11a12a1naaa1n1112aaaaaaini1i2ini1i2D证：k0kakakainaaaini1i2i1i2an1an2annaaannn1n22.计算下列行列式：1110412412021052001171101(1)；(2)。1011011111101110111011100111001200111101001100111011解：(1)=101101010111011100111110001011123；0003412412021202120210152020210415220407240117(2)0152200152200117011701170724120212020010171857179001011750。0094500153.计算n阶行列式：a11…1111…1120…01a1…1(1)D11a…1；(2)D103…0。111…a100…n3上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解n1an1an1an1a11a111(1)D解：1a111a111111111001a10a10(n1a)11a1(na1)00a1111a000a1(n1a)(a1)n。111(2)把第2行的倍，第3行的倍，……，第n行的倍都加到第123n行上去，D可化成下列行列式1n1000ii212003001nDn!(1)。1ii2001n习题1.31.计算下列行列式：1111abbb0abaD01112abab;3a0ab;aabbba0ababaaba0(1)2011；1111a2(a1)2(a2)2(a3)2Db2(b1)2(b2)2(b3)2。(c3)2(4)c(c1)(c2)222d2(d1)2(d2)2(d3)21111111(1)D001211132132(1)33112；解：2100200024上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解abbbabbb(2)abab00ab0aabb0ab00bababaab0ab0ab0bbaab0ab0ab0ab0abab0b00aabbababab3；330aba2ababa1aba(3)a0ab2ab0ab2ab10abba0a2aba0a1a0aaba02abba01ba01aba0aabba2abbaba2ab00b0baa0baabab22ab2ab；a2a22a1a24a4a26a9b2b22b1b24b4b26b9c2c22c1c24c4c26c9d2d22d1d24d4d26d9(4)Da22a14a46a9a22a126b22b14b46b9b22b1260。c2c14c46c9c2c12622d22d14d46d9d22d1262.计算下列行列式：123…n1n122…2222…2110…000(1)D022…0000…2n0000…n11n；(2)D223…2；nn222…n5上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解00…0101x1…1100…200111x…2(3)Dn；(4)Dn10…00000…00n。n11…1xn解：(1)从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得n(n1)23n1n1000002010220000n(n1)22Dn000002n0n11n22n0n11n000000n(n1)(1)(2)(2n)(1n)(1)n1(n1)!；22(2)第2列的(−1)倍分别加到其他各列上去，得120002000020D021012120n22(n2)!；n020n2(3)先按最后一行展开，得00000120Dn(1)n1nn(1)n1(1)(n1)(n2)(n1)!2n1000n2n4(1)n!；2(4)将Dn增加一行、一列，得到n+1阶行列式：6上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解11111111001x111x011D011x110x0n220111x100nxn1n1111aii10x000100x2000xn1n(1)(aaa)。(设naaa0)。ai12n12i1习题1.41.用克莱姆法则解线性方程组：x2x3x4x4,1234xxx3,(1)；234x3xx1,4127x3xx3。234xaxax…ax1,21n111123nxaxax…ax1,22n12(2)其中ai≠aj，i≠j(i，j=1，2，…，n)。1223nxaxax…ax1。n1n2n1n23n12344234(1)D1013011116,D13130111168，解：10731373114341244D10130111316,D10131311616，23033107317上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解1234D101301130,xD18,xD23,xD36,xD40；DDDD4123407331aaa1aaan11n1n11n122122212211(2)D1aaa1aa2a,D1D,221aana1aanan1nn1n2n2n11a2a1aa11n11n1221221111aa1aa22D20,,Dn0211a2na1aan1n1n2n故x1,xx。x0123n2.问λ取何值时，下列方程组有唯一解？xxx1,123xxx,123xxx2。12321111111111解：D112211(2)11(2)0101111100(2)(1)2故当2且1时，方程组有唯一解。3.λ，μ取何值时，下列方程组有非零解？xxx0,123xxx0,123x2xx0。12311111(1)。1解：D1111112100当1，且0时，方程组有唯一解（零解），当1或0时，D=0，方程组有无穷多解。4.求下列行列式的值：8上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解an(a1)n…(an)n2345an1(a1)n1…(an)n1(1)D491625；(2)D；82764125n1aaa1…an1681256625a…a1xy1xy1xyababab1n11121n11121xy1xy1xyababab3D;4Dn;21222n21222nn1xy1xy1xyabababn1n2nnn1n2nn1a112122a5D,aaa0；12n2nnnnan123n12233…na12n14…n1；6Daa1n2；(7)Dnnnn1n2…2n1aaa101n2n3n4…0n1n2n3…1102…n2n11…n3n2(8)Dn。102345223242521111解：(1)D23452345234522333435324344454222233343532345(32)(42)(52)(43)(53)(54)14401a1a11ann(n1)(2)Da(1)n12an1(a1)n1(an)n1(an)nan(a1)n9上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解a(1)n(n1)(1)n(n1)(12n)[12(n1)]122a(ij)jin11xy1xy1xy11121nxxyxxyxxy(3)D。21121221nxxyxxy1xxyn1nnn若将其按第1n12余子式全一行展开，当n2时，所有代数为0。因此，当n2时，1xy121xyD0；当n1时，D1xy；n2时，Dn112xxyxxynn1121112xxyy。1212abbbbb1121n1(4)Dabbbbb。2121n1nabbbbb1n121n一列展开，当n2时，所有代数为0。因此，当n2时，余子式全abab若将其按第D0；当n1时，Dab；n2时，Daabb。1112ababnn11n12122122a00000a00012310a010a20200a3(5)Dn0a3n1iaaanaaaananainnnnnnni1iin1naaanaaaa1。aa12n1n12ni1i1ii1a1111aaaa1101a1101a1(6)D001a1001an1aaaa1a0010上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解aaaa111100001a1101a11a0n21aa111aa1n11ann10010a001a1na。n111aa11a1n2nnn12n(7)第2列的(−1)倍加到第3列，同时把第1列的(−1)倍加到第2列，其余各列不变，得111211nDnn10n112n1(8)将第k行的(−1)倍加到第k+1行上去(k=n−1，n−2，n−3，…，3，2)，得012n3n2n1n4n3n23n2n1n012101n2n1n3n211101012111Dn0020001111111100000020020011n12n3n2n112n3n2n1123n2n1n20000000(1)020000200002002000000200200n1n120020000(1)(1)(n1)1(n1)(1)n1(n1)2n2。00002002n25.用递推法计算行列式11上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解cos101000000102cos12cosDn。0000002cos112coscos101000000102cos12cosD2cosDnn1解：0002cos0000012cosDD，n2n1D的差分方程，其特征方程为r2cosr10，特征根为2n上式为关于，得rcosisin，故DCcosnCsinn。又D2cos1cos22n122C0,C1，从而Dcosn。21n复习题1x1111.设D12xx112x3，D的展开式中，x的系数等于______，x3的系数等于4x12x_____。解：将D按第一列展开，得四项求和2xx11x112x112xxDx2x31x312312x12xx23x1xx12只有第一项能出现x4，其系数是2。第一项含−2；第二、三项不含x3，系数x；第四项含x，其系数2。故D中x的系数为−2+2=0。333n2.计算阶行列式12上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解xaaaaaa1bxaaa2bbxDn。3bbbxan1bbbbxnxaaaaaaaa1bxa2bbx解：D3nbbbbbbxan1baxanxaaaaaaaaxaaaaa00011bxabxa22bbxbbx33bbbbbbxabbbbbbx0n1n1bxabanxaaa11bxaa1a12bbxxaDn1a3nbbbbbbx1n1b1xbababab1ab1ab1100xbab20xb3axaDnn100000xb1n1001an1n1xaxbDinn1xbxaD，同理可得Db。inn1ni1i1nnaxbbxaii当ab时，从上D述两式可以解i1i1得；abn13上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解1nn当ab时，只须对上式令ba即可得D1axa。xanii1i1i3.计算n1阶行列式(a,b均不等于零，i1,2,,n)iiaaababbbn1n2n1n22122n1n1121ababn1n2D。222n1aabn1n1abbnn1n1n12n1nn1n1ban111baba211112n1ba2baba2解：Dananan（范德蒙行列式）2222n112n1ba2ban1ban1n1n1n1n1n1bbnai。nijjaai11jiniaaa11121n4.设Da，求证：DDDD，其中D12nkaan1,1n1,2n1,n111k1,2,,n为将D中第x,x,,x,1后所得的新行列式。12n1k列元素换成n阶行列式，证明：将D增加一行和一列得到下列1此行列式显然为0。1111a11aax1121naaaxn1,11n1,21n1,n1n11n1一行展开，得1A0，将此行列式按第k11kk1A1n1Dk1,2,,n，1k显然Ak11nkD,1k1kkn1ADDD，故n11。k1,n1k114上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解12345.已知四阶行列式D33441567，试求A+A42与A43+A44的值。其中A是414j1122D的第4行元素的代数余子式(j=1，2，3，4)。1234123435833440358解：D3336。11215670333112201120,iji4j4aAaAaAaA由于i1j1，分别取i=j=4，得D,iji2j2i3j3aAaAaAaA64141424243434444aAaAaAaA0。再取i=2，j=4，得2141224223432444AA2A2A446。将a,a,a,a,a,a,a,a代入，得4142433A3A4A4A0414243442122232441424344AA12,AA9。解得41424344n6.计算阶行列式1x1x1xn1n2211D1x1x1x22。2n1x1x1x2nnnnn1阶行列式，解：将D增加一行、一列得到下列此行列式显然与原行列式相n等，所以1111111101x1x1x1xxx21n12n111101x1x1x1xxxD22n222nn22201x1x1x1xxx2nnn2nnnnn111121111xxx0xxx2n121n11111xxxn0xxx2222n22221xxx0xxx2nnn2nnnnn15上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解1111xx11x1xxn11n121xn112x1n1xxxn2x22222ii11xxn1n1xxnx2nnnnnn2xxxx1xxiijiiji11jini11jinnn2xx1xx。ijiii1i11jin7.设a,b,c,d是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解：axbxcxdx01234bxaxdxcx0cxdxaxbx0。12341234dxcxbxax01234证明：方程组的系数行列式abcdDbcdadabc，dcba显然，D满足D2DDTa2b2c2d20，根据克莱姆法则，此方程组只有零解。xyyzxyyy8.计算行列式Dzzxy。nzzzxxyyyzxxyD000zxxy0xyDy1zx解：n1n1nn1000xyxyDyxzn1。n1n1n1，当yz对调y,z，即得D的转置行列式，从而DxzDzxynn16上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解时，联立得yxzzxynn；yz当yz时，对上式取极限zy得xyxn1y，n1故yxzzxynn,yzDnyz。xyxn1y,yzn1anbnab9.计算行列式D2n。11cd11cndnan1bn10ab11Da解：cd12nn1cn10dn0bnan1c1ab2n1n11cd11cn1d0n1DadbcD2n2nn2n11adDcb1nn2n2nnnn2n2nadbc。iiadbcadbcadbcDnnnnn1n1n1n122222iii117上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解10.设Da。ijnn(1)如果aai1,2,,n,证明：D0；证明：D0。iiij(2)如果aai1,2,,n,jiiiijji证明：(1)假设D0，则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组axax01111nnaxax0n11nnn有非零解。(x,x,,x)T12n设r是该解中满足xmaxx的正整数，则riinrrjnnax0，axax,axax，rjjrjjrrjrrrj1j1jrj1jrxxnaarrj1jrna，jrjrjj1jrr与题设矛盾，故D0；(2)显然，a0，从而aaiia，由(1)知，D0。ijiiiiji习题2.1n1.一个阶方阵A，既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问A是什么类型的矩阵？答：A是对角矩阵。aababc1232.设A1236,Bx1y2z3。若AB，试求a,b,c,x,44556y,z的值。解：根据矩阵相等的定义，有a1,x11,ab2,y22,abc3,z33,解得a1,bc1,x2,y4,z6。18上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解xx3,243.设有线性方程组xx4,试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵。12xx0,312010101013、增广矩阵分别为A1010,A10104解：系数矩阵。210021000习题2.201013541121.设A3232,B，试求AB,BA,ATBT。112420101032323121238131612988129883232299238832882,ATBTBATAB51010,BA解：。27412,B43，试2.设A2+2AB+B2，|5A|，|AB|以及A*。求(A+B)2，A2134555550505050(AB)2解：5555A22ABB2710852215453521522201310765555A52A50，或5A51050,AB854，或15202013ABAB(2)(2)4,A42。31A,B,C，满足条件ACCB，试3.若矩阵证明：A,B必为方阵；问C如何？Aa,Bb,Ccij证明：根据矩阵相乘的条件，可设，ijijmknlkn由ACCB，得mk,nl，即A,B为方阵，而C不一定为方阵。19上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解b1ba,4.设aa，如果A，试求矩阵的所有元素之和。A212nbnbbababa111121nbbababaA解：aaa，221222n12nbbababann1n2nnnnA的所有元素之和为ab。iji1j1115.如果ABBA，则A与B可交换。试求所有与可交换的矩阵。01ab11ab1111abA解：设与可交01换，即，cd0101cdcdaabacbd，得，ad,c0ccddc11ab，其中a,b为任意实数故与可交换的矩阵为。010a106.设A01n，试求A（为非负整数）。n0010101000解：记A0101000EB，00100100000则B2000,B3B4BnO，000nn11n22nB2nn1nEnB从而AnEB0100。217.试证明：对任意矩阵mnA，AAT恒为对称矩阵。20上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解AATAAT，所以为对称矩阵。TAATT证明：因为AATT8.设为对称矩阵，为反对称矩阵，试证明：AB(1)A2为对称矩阵；(2)ABBA为对称矩阵；(3)AB为反对称矩阵，当且仅当ABBA。AA，BTB。证明：由题意知，TA2，所以A为对称矩阵；22(1)因为ATA2T(2)因为ABBAABBATBTATATBAB，BA所以ABTTTBA为对称矩阵；(3)ABBA，得证。ABTABBTATABBAABAB为反对称矩阵习题2.3aaaa111213141.设Aaaaa，假设矩阵是由分别经过下列初等变换得到BA21222324aaaa31323334的，试求矩阵B。(1)先交换矩阵的第一、三行，然后将第二列的2倍加于第三列；A行的1倍加于第而后将第一二行。(2)用3乘矩阵的第一列，Aaaa2aa3132333234Baaa2aa解：(1)；2122232224aaa2aa11121312143aaaa11121314(2)B3a3aaaaaaa。2111221223132414a343a31aa32332.试求一个三阶方阵P，使得PA等于对A经过下面的初等变换所得到的矩阵：先交换A的第一、第三行，再用3乘矩阵A的第二行，最后将第一行加于第二行。解：根据定理1.1，所求三阶方阵P等于将三阶单位矩阵做题中初等行变换后的矩阵，即21上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解001P031。1003.试求一个方阵Q，使得AQ等于对A经过下面的初等变换所得到的矩阵：m4m42乘矩阵A的第三列，然后将第一列的1倍加于第二列，最后交换首先用矩阵的第一、第三列。解：根据定理1.1，所求三阶方阵Q等于将三阶单位矩阵做题中初等列变换后的矩阵，即011Q010。2004.将下列矩阵行初等变换成简化阶梯矩阵：23421201512332(1)1211；(2)。214543132135153201512111211121120150433解：(1)rr(2)rr1212rr132113210112131211121101120112rr(4)rr2323(1)r0015043331206100001030103。(1)rr2rr3221rr001500153123421123321233223421(2)(2)rr12(2)rrrr2145431221454313(3)rr3515335153141233212332011043011043(5)rr(1)r2r4(1)r05511010011014232(1)r30110430000022上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解123321203344011043010104143(2)rr21(10)rr(3)r3r100110143200110140000000000100175242010104143。0011014000001211005.设A342010，试求矩阵A的简化阶梯矩阵R。如果令B表54100136示A的前三列组成的三阶方阵，C表示R的后三列组成的三阶方阵，试计36算BC和CB。121100100210A021310021310解：36014650110021010021013102013610103，22001167100116711212101001313010，2BC34225410011671210121100CB1331342010。225410011671习题2.4OEOEk1,2,,n1nk，Am1.设An为阶方阵，证明：Akn10OOOO，mn。23上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解0010101001010100证明：A1200010100000000000000OEOEOE,AmOmnA,,A，类似可证。n23n3n11OOOOOO2.设AOEOE，证明：kEnkk1,2,,n1，AAE。n1n1OOnk0010101001010100证明：A1210010100000100010001OEOEOE,,An1n3,AnE。nA3n2，类似可证1E2OEO3En1O习题2.51.判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。2131111211A012;2B014;3C242;103043310112301124D。00111001213100213100(1)A,E012010012010解：10300113101022224上海交通大学《线性代数(第三版)》习题全解662200555235520111040120100105511001511001222222331100555331235541010A，故234。155112555001112111100103110(2)B,E014010014010001304104300113100113100113131313343401000100，131313134001304110010131313131034B故。113041121100121100(3)C,E242010000210，故C不可逆。310001112310000112010000110010(4)