微积分基本定理(理 同步)

微积分基本定理同步课程˙微积分基本定理微积分基本定理知识回顾知识回顾一、 初等函数的导数公式表yyf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)ynxn1n为正整数yx(0,0,Q)y为有理数yax(a0,a1)yaxlnaylog x(a0,a1,x0)ay1xlnysinxycosxycosxysinxaloge

a称为a的自然对数其底为e是一个和一样重要的无理数e2.7182818284 ．注意(ex)ex．二、 导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：f(x)g(x)是可导的，则f(xg(x))f(xg(x，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差．⑵函数积的求导法则：f(x)g(x)是可导的，则f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x，函数的导数．由上述法则即可以得出[Cf(x)]Cf(x)，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：

f(x) g(x)f(x)f(x)g(x)设f(x)，g(x)是可导的，g(x)0，则 g(x)1/12

．g2(x)1 g(x)

同步课程˙微积分基本定理特别是当f(x)1时，有g(x) g2(x)． 知识讲解知识讲解一、函数定积分yy=f(x)Oabx设函数yf(x) 定义在区间[yy=f(x)Oabxaxxxx

x b，把区间[a,b分为n个小区间，0 1

n 1n其长度依次为xi

x xi1

01．记为这些小区间长度的最大值，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i

，作和式I nni0

f(i

)x．i当0In

的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作a

f(x)dx，即a

f(x)dxlimn0i0

f(i

)x．if(x)abf(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a,b上可积．二、曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形Syf(x)在区间[a上的定积分，即Sa

f(x)dx．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间a，b中插入n1各分点，将它们等分成n个小区间xi1

，xii12n，区间x x的长度xxx ，ii i i i第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．三、求积分与求导数互为逆运算bF(x)dxFb)F(a)，即F(x从a到b的积分等于F(x在两端点的取值之差．a2/12四、微积分基本定理如果F(x)f(x)f(x)在[a,b]ba

同步课程˙微积分基本定理f(x)dxF(bF(a)F(xf(x)的一个原函数．由于[F(xc]f(xF(xcf(x的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a,b]上的改变量F(b)F(a)简记作F(x)b，a因此，微积分基本定理可以写成形式：a

f(x)dxF(x)a

F(b)F(a)．【例】根据定义计算积分11

xdx．【例2】根据定义计算积分20

4x2dx．3/121(x1)2【例】1(x1)20

x)dx．

同步课程˙微积分基本定理【例】由ycosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积利用定积分应表达．【例】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ ）A．da

f(x)dx

da

f(x)dxC．b

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx D．

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dxa b c a b cyyaObcdx【例6】求曲线ysinx以及直线xπ，x5π，y0所围成的图形的面积S．2 44/12【例7】已知函数f(x)sinx，

同步课程˙微积分基本定理ysinxxxπxπ之间的平面图形的面积；ysinx的图象猜出ππ

f(x)dx的值；⑶试将上述问题推广到一般的情况．【例8】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 和v（如图所示那么对于图中给定的t和t下列判断中一定正确的是甲 乙 0 1（ ）A．在t1C．在t0

时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻，两车的位置相同 D．t0

时刻后，甲车在乙车后面时刻后，乙车在甲车前面v(t)v甲v乙O t【例】 x3 dx（ ）1cosxA．1 B．C．0 D．2【例10yf(x)xaxbxf(x)在[ab上的面[0, 积，已知函数ysinnx在 上的面积为[0, n n

(nN*)，则函数ysin3x在[0,]上的面积．35/12同步课程˙微积分基本定理【例1】5(2x1dx ．0【例1】2(2xex)dx ．0【例1】2111dx（ ）1x x2 x3ln28

ln28

ln24

ln218【例14】曲线ycosx0≤x≤3π与坐标轴围成的面积是（ ）2 2 A．4 B．5 C．3 D．22【例1】1(x|x|)2dx ．1【例16y

4、直线x1、x6和x轴围成的封闭图形的面积为 ．x2【例1】设函数f(x)ax2c(a0)．若1f(x)dxf(x)，0≤x≤1，则x

的值．x0 0 0 0xπ

16 2 【例18】已知a0

sinxcos

dx，则二项式a

展开式中含x

项的系数是 ．x【例19x

πxacosxdx2，则实数a ．202【例20】e11 dx ．2 x1【例2】已知f(x)ax2bxc，且f(1)2，f(0)0，1f(x)dx2，求a、b、c的值．06/12（ 【例22】已知函数f(a)asinx（

ff

2

同步课程˙微积分基本定理0 A．1 B．1cos1 C．0 D．cos11【例23】试用定积分表示由直线yx，yx1，及y轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．yy=3x23O1x【例24】从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取yy=3x23O1x【例25】由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为（ ）1124

13

712【例26】设函数yf(x)的定义域为R ，若对于给定的正数K，定义函数f

(x)K,f(x)≤K ，f(x)1K1时，定积分2

K f(x),f(x)Kdx的值为（ ）x 1 k4A．2ln22 B．2ln21 C．2ln2 D．2ln21【例27】已知自由落体的速度为vgt，则落体从t0到tt0所走过的路程为（ ）1 1 1A．gt3 0

2 B．gt0

2 C．2 0

2 D．gt4 07/12同步课程˙微积分基本定理【例28】给出以下命题：⑴若ba

f(x)dx0，则f(x)0； ⑵2sinxdx4；0f(xF(xF(x是以T为周期的函数，则a0

f(x)dx

aTT

f(x)dx；其中正确命题的个数为（ ）A．1B．2 C．3 DA．1【例29】给出下列四个命题：①已知axdx，点( 3,a)到直线3xy10的距离为1；0f(x0

0yf(x)xx0

取得极值；m1ylog12

(x22xm的值域为R；④在极坐标系中，点P(2,)到直线sin()3的距离是2．3 6其中真命题（把你认为正确的命题序号都填在横线上）【例30yexyexx1所围成的封闭图形的面积S．yySOx【例31】如图，求曲线xy1及直线yx，y2所围成的图形的面积S．yyxy=12BC1AO12x8/12同步课程˙微积分基本定理【例32】求曲线y22x以及直线yx4所围成的图形的面积S．【例33f(xf(x2x2

1f(t)dt，则f(x)= ．0【例34】设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2．⑴求yf(x)的表达式；⑵求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．⑶若直线xt(0t1)把yf(x)的图象与两坐标轴所围形的面积二等分，求t的值．9/12同步课程˙微积分基本定理【例35yax2bxxy4x轴所围成的图形的面积SS达到最大值的a、b

．max10/12同步课程˙微积分基本定理随堂练习随堂练习【练】（2012丰台区高三期末理）曲线与x轴所围成的封闭图形的面积．yCBOAx【练】（2011海淀区高三期中练习理）点A是函数f(x)=sinx的图象与x轴的一个交点（如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，那么边AByCBOAx课后作业课后作业【题1】下列等于1的积分是（ ）A．1dx B．1(x1)x