新教材人教a版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时课件

第2课时等比数列的前n项和的应用数学文化

数学文化

【目标认知】课程标准学习目标能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,抽象出等比数列模型,并应用该模型解决相关问题(1)判断、建立数列模型①变化“量”是同一个常数:等差数列;②变化“率”是同一个常数:等比数列.(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,(3)根据要求解的问题,利用公式或列出方程(组)求解.知识点

解答数列应用问题的方法课前预习【诊断分析】

判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)一个乒乓球从1米高的高度自由落下,反弹后的高度是原来的60%,求六次着地后的总的行程是一个等比数列求和问题.(

)(2)某工厂1月份生产产品10000件,合格率为90%,以后的六个月内,每个月比上月产量增加10%,合格率提高1%,则这七个月的产量和合格率都构成等比数列.(

)课前预习×[解析]第一次着地是单行程,后五次着地是上下双行程,不构成等比数列.×[解析]各月的产量构成等比数列,合格率构成等差数列.

课前预习√

[探索]什么是复利?复利计算属于哪种数列模型?探究点一等比数列前n项和公式的实际应用课中探究解:复利是指把前一期的本金与利息的和(简称本利和)作为下一期的本金的一种计算利息的方法.在计算时每一期本金的数额都不同,以符号P代表最初的本金,n代表存期,r代表利率,Sn代表第n期结束时的本利和,那么Sn=P(1+r)n.复利计算属于等比数列模型.例1(1)某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建五个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列,已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元,第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元,则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为 (

)A.93万元 B.45万元

C.189万元 D.96万元课中探究

A(2)某家庭打算以一年定期的方式向银行存款,计划从2021年起,每年年初向银行存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到2031年年初不再存款,直接将所有存款和利息全部取出,共取出多少元?课中探究

变式

某企业在第1年年初购买了一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.第2年到第6年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元;从第7年开始,每年年初M的价值为上年年初价值的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,求Sn(n≥7).课中探究

[素养小结]求解数列应用题的具体方法步骤:(1)认真审题,准确理解题意.①明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题、等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题,是求an,还是求Sn,特别要注意准确弄清项数是多少.②明确题目中主要的已知量和关系.(2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达,将实际问题抽象为数学问题.(3)求解数学问题,检验所得结果,并将符合要求的结果转化为实际问题的结论.课中探究拓展

据相关数据统计,2019年年底全国已开通5G基站13万个,部分省市的政府工作报告中将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作,2020年1月份全国共建5G基站3万个.(1)如果从2020年2月份起,以后的每个月比上一个月多建设2000个5G基站,那么,2020年年底全国共有5G基站多少万个?(精确到0.1万个)(2)如果2020年新建5G基站60万个,到2022年年底全国至少需要800万个,并且,今后新建的数量每年比上一年以等比递增,问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划?(精确到1万个)课中探究

拓展

据相关数据统计,2019年年底全国已开通5G基站13万个,部分省市的政府工作报告中将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作,2020年1月份全国共建5G基站3万个.(1)如果从2020年2月份起,以后的每个月比上一个月多建设2000个5G基站,那么,2020年年底全国共有5G基站多少万个?(精确到0.1万个)(2)如果2020年新建5G基站60万个,到2022年年底全国至少需要800万个,并且,今后新建的数量每年比上一年以等比递增,问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划?(精确到1万个)课中探究

探究点二等差、等比数列前n项和的综合问题课中探究例2

[2021·北京丰台区高二期末]已知等差数列{an}满足a2=4,a3+a4=17.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=2,再从①bn+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn这三个条件中任选一个作为已知条件,求数列{an+bn}的前n项和Tn.

探究点二等差、等比数列前n项和的综合问题课中探究例2

[2021·北京丰台区高二期末]已知等差数列{an}满足a2=4,a3+a4=17.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=2,再从①bn+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn这三个条件中任选一个作为已知条件,求数列{an+bn}的前n项和Tn.

探究点二等差、等比数列前n项和的综合问题课中探究例2

[2021·北京丰台区高二期末]已知等差数列{an}满足a2=4,a3+a4=17.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=2,再从①bn+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn这三个条件中任选一个作为已知条件,求数列{an+bn}的前n项和Tn.

课中探究解:(1)由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1),∵a1=1,∴a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,即an=2n-1.若选①,则当n=1时,b1=B1=20,当n≥2时,bn=Bn-Bn-1=22-2n,又b1=20满足上式,∴bn=22-2n.若选②,则由Bn+1-bn=Bn-2得bn+1-bn=-2,又b1=20,∴数列{bn}是以20为首项,-2为公差的等差数列,∴bn=22-2n.若选③,则bn=22-2log2(an+1)=22-2n.

课中探究

课中探究1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,且a1=b1=1,b4=2a4=8,则S5+T5= (

)A.22 B.34 C.46 D.50课堂评价C

2.[2021·天津河东区高二期末]已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若a1,S3,S4成等差数列,则q2-q= (

)A.-1 B.1 C.-2 D.2课堂评价B[解析]由a1,S3,S4成等差数列,得S4-S3=S3-a1,即a4=a2+a3,可得q2-q-1=0,则q2-q=1.故选B.

课堂评价C

4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“一百八十九里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意为:“有一个人共行走了189里的路程,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 (

)A.108里

B.96里C.64里

D.48里课堂评价B

5.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,