区间型不确定多属性决策方法及应用

区间型不确定多属性决策方法及应用第1页，共83页，2023年，2月20日，星期六随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强．在实际决决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本章将介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念．区间数

之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点的多属性决策方法．本章对上述方法均进行了实例分析第2页，共83页，2023年，2月20日，星期六第1节基于可能度的多属性决策方法一、区间数比较的可能度公式记称为区间数，特别地，当时，退化为一个实数。先给出区间数的运算法则。设和，且，则第3页，共83页，2023年，2月20日，星期六设和，且，则（1）当且仅当和（2）（3），其中，特别地，若，则第4页，共83页，2023年，2月20日，星期六定义4.1当均为实数时，则称当时当时当时（4.1）为的可能度。第5页，共83页，2023年，2月20日，星期六定义4.2当至少有一个为区间数时，且记（4.2）为的可能度。则称设，则记的次序关系为第6页，共83页，2023年，2月20日，星期六例设，，求。解所以，第7页，共83页，2023年，2月20日，星期六定义4.3当至少有一个为区间数时，且记（4.3）为的可能度。则称第8页，共83页，2023年，2月20日，星期六例设，，求。解所以，第9页，共83页，2023年，2月20日，星期六定义4.4当至少有一个为区间数时，且记（4.4）为的可能度。则称第10页，共83页，2023年，2月20日，星期六例设，，求。解所以，第11页，共83页，2023年，2月20日，星期六定义4.5当至少有一个为区间数时，且记（4.5）为的可能度。则称可以证明以上4个定义是等价的。第12页，共83页，2023年，2月20日，星期六例设，，求。解所以，第13页，共83页，2023年，2月20日，星期六根据上述3种定义，可以证明下列结论均成立。定理4.1设，，则（1）（2）当且仅当（3）当且仅当（4）（互补性）特别地，第14页，共83页，2023年，2月20日，星期六（5）当且仅当特别地，（6）（传递性）对于3个区间数若当且仅当且则第15页，共83页，2023年，2月20日，星期六定义1.8设摸糊判断矩阵，若有

则称矩阵B是模糊互补判断矩阵例为模糊互补判断矩阵。第16页，共83页，2023年，2月20日，星期六定理2.2设模糊互补判断矩阵对矩阵B按行求和得则可依据的序关系对区间进行排序。第17页，共83页，2023年，2月20日，星期六例比较下列5个区间大小解：由可能度矩阵第18页，共83页，2023年，2月20日，星期六对于矩阵P按行求和：第19页，共83页，2023年，2月20日，星期六第20页，共83页，2023年，2月20日，星期六由得到第21页，共83页，2023年，2月20日，星期六第3节决策方法步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确知(即为实数)。对于方案，按属性进行测度，得到

关于的属性值(这里)．从而构成决策矩阵．最常见的属性类型为效益型和成本型．设分别表示效益型、成本型的下标集．为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，可用下列公式将决策矩阵转化为规范化矩阵，其中第22页，共83页，2023年，2月20日，星期六(4.9)(4.10)第23页，共83页，2023年，2月20日，星期六例4．3某地区盛产生皮．为了开发该地区的制革工业，考虑列生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因素(属性)，其中所考虑的属性有:—能源需求量(100kw．h/d)；—水的需求量(10万加仑／天)；—废水排放方式(十分制)；—工厂和设备成本(百万美元);

—作业成本(百万美元/年)；—有关地区的经济发展(十分制);—研究开发机会(十分制)；—投资报酬(以1为基数).请标准化决策矩阵。第24页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.5决策矩阵第25页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.5决策矩阵在上述属性中，能源需求量()、水的需求量()。工厂和设备成本()和作业成本为成本型外，其他均为效益型．第26页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.5决策矩阵例如，对于属性7，标准化公式为第27页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.5决策矩阵例如，对于属性7，标准化区间，如第28页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.5决策矩阵例如，对于属性7，标准化公式为第29页，共83页，2023年，2月20日，星期六将决策矩阵转化为规范化决策矩阵，如表4.6所示．表4.6规范化决策矩阵

第30页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤1由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵转化为规范化决策矩阵，如表4.6所示．表4.6规范化决策矩阵

第31页，共83页，2023年，2月20日，星期六或者(4.11)(4.12)根据区间放的运算法则，把(4.11)和(4.12)两式写为(4.13)第32页，共83页，2023年，2月20日，星期六(4.14)步骤2利用WAA算子对各方案的属性值进行集结．求得其综合属性值(4.15)第33页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤3利用区间数比较的可能度公式(4.2)，算出各方案综合属性值之间的可能度并建立可能度矩阵步骤4利用公式并按大小对方案进行排序，即得最优方案。第34页，共83页，2023年，2月20日，星期六第4节实例分析例4.1考虑一个大学的学院评估问题，选择教学，科研和服务这3个属性作为评估指标．设有5个学院(方案)将被评估，并假定属性的权重向量为．决策者以区间数这种不确定形式给出了各方案的属性值，其规范化决策矩阵如表4.1所示．第35页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.1规范化决策矩阵利用公式可求出学院的综合属性值分别为区间数第36页，共83页，2023年，2月20日，星期六为了对各方案进行排序，先利用(4.2)式求出，两两比较的可能度矩阵第37页，共83页，2023年，2月20日，星期六对于矩阵P按行求和：第38页，共83页，2023年，2月20日，星期六第39页，共83页，2023年，2月20日，星期六若用符号表示方案之间具有可能度的优序关系，则相应的5个学院的排序为从而学院综合评估结果最好。由得到第40页，共83页，2023年，2月20日，星期六4．2基于投影的多属性决策方法第1节决策方法首先构造加权规范化决策矩阵，其中且定义4.6称为区间型正理想点，其中(4.16)第41页，共83页，2023年，2月20日，星期六定义4.7设和(4.17)是两个向量，定义定义4.8设则称为向量的模。第42页，共83页，2023年，2月20日，星期六众所周知，一个向量是由方向和模两部分所组成，而向量之间的夹角余弦值仅能街量它们的方向是否一致，而不能反映其模的大小．必须把模的大小与夹角余弦值结合起来考虑才能全面反映向量之间的接近度．为此定义投影的概念。定义4.9设和是两个向量，定义(4.18)第43页，共83页，2023年，2月20日，星期六为在上的投影，一般地，值越大．表示向量与之间越接近。令(4.19)其中，显然，值越大，表明方案越贴近区间型正理想点，因此，方案越优。第44页，共83页，2023年，2月20日，星期六依据上述定义，下面介绍一种基于投影的多属性决策方法．具体步骤下：

步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确知．决策者对所有方案按各属性进行测度，得到决策矩阵。并按(4.9)和(4.10)两式将转化为规范化矩阵。步骤2利用属性权重向量和规范化矩阵，构造加权规范化决策矩阵。第45页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤3利用（4.16）式确定区间型正理想点。步骤4利用（4.19）式求出方案在区间型正理想点上的投影。步骤5根据值对方案进行排序或择优。实例分析

例4．2维修性设计是指在产品的研制过程中，要充分考虑系统的总体结构、各部分的配置与连接，标准化和模块化等因素，以便在产品发生故障时，用户能及时恢复。第46页，共83页，2023年，2月20日，星期六现拟对某雷达接收机3个维修性设计方案进行选样．考虑的指标(属性)有：—寿命周期费用(万元)；—平均寿命(小时)；—平均维修时间；—-可用度；—综合性能．决策矩阵如表4．2所示．已知属性权重向量为试确定最佳方案。第47页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.2决策矩阵

第48页，共83页，2023年，2月20日，星期六在各项指标中，除寿命周期费用()和平均维修时间()为成本型外．其他均为效益型。步骤1由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵转化为规范化决策矩阵，如表4.3所示．

表4.3规范化决策矩阵第49页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.3规范化决策矩阵步骤2利用属性权重向量以及规范化决策矩阵构造加权规范化决策矩阵，如表4.4所示．第50页，共83页，2023年，2月20日，星期六表4.4加权规范化决策矩阵

第51页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤3利用(4.6)式确定区间型正理想点步骤4利用(4.19)式求出方案在区间型正理想点上的投影步骤5根据值对方案进行排序．得第52页，共83页，2023年，2月20日，星期六故最优方案为。4.3逼近理想点的多属性决策方法4.3.1决策方法定义4.10称为区间型负理想点，其中（4.20)第53页，共83页，2023年，2月20日，星期六下面介绍一种迢近理想点的多属性决策方法．具体步骤如下：

步骤1对于某一多属性决策问题，属性的权重完全确定．分别为决策炬阵及其规范化矩阵．步骤2利用属性权重向量和规范化矩阵，构造加权规范化决策矩阵.

步骤3利用(4.16)和(4.20)两式确定区间型正、负理想点、第54页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤4计算每个方案分别到正理想点和负理想点的距离：(4.21)(4.22)第55页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤5计算每个方案对理坦点的贴近度(4.23)步骤6按值的大小对方案进行排序，值越大，则方案越优。第56页，共83页，2023年，2月20日，星期六4.3.2实例分析例4．3某地区盛产生皮．为了开发该地区的制革工业，考虑列生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因素(属性)，其中所考虑的属性有:—能源需求量(100kw．h/d)；—水的需求量(10万加仑／天)；—废水排放方式(十分制)；—工厂和设备成本(百万美元);

—作业成本(百万美元/年)；—有关地区的经济发展(十分制);—研究开发机会(十分制)；—投资报酬(以1为基数).已知属性权重向量为第57页，共83页，2023年，2月20日，星期六有关部门提出了5个备选方案，各方案在上述属性下的属性值如表4.5所示。试确定最佳方案。

表4.5决策矩阵第58页，共83页，2023年，2月20日，星期六

表4.5决策矩阵在上述属性中，能源需求量()、水的需求量()。工厂和设备成本()和作业成本为成本型外，其他均为效益型．第59页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤1由(4.9)和(4.10)两式将决策矩阵转化为规范化决策矩阵，如表4.6所示．表4.6规范化决策矩阵

第60页，共83页，2023年，2月20日，星期六表4.6规范化决策矩阵

步骤2利用属性权重向量以及规范化决策矩阵构造加权规范化决策矩阵，如表4.7所示．第61页，共83页，2023年，2月20日，星期六表4.7规范化决策矩阵

第62页，共83页，2023年，2月20日，星期六表4.7规范化决策矩阵

第63页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤3利用(4.16)菏(4.20)式确定区间型正、负理想点步骤4计算每个方案分别到正理想点和负理想点的距离第64页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤5计箅每个方案对理想点的贴近度步骤6按值的大小对方案进行排序得：因此最佳方案为。第65页，共83页，2023年，2月20日，星期六第5章属性权重完全未知且属性值为区间数的多属性决策方法及应用5.1对方案无偏好的多属性决策方法5.1.1公式和定义对于某一多属性决策问题，其属性的权重向量为，并满足单位化约束条件：(5.1)第66页，共83页，2023年，2月20日，星期六且设决策矩阵为，这里。其相应的规范化矩阵为。为了能衡量两个区间数相似的程度相离度的概念．定义5.1设区间数，，如果范数称为区间数和的相离度。第67页，共83页，2023年，2月20日，星期六显然越大，则和相离的程度越大．特别地，当时，有，即和相等。5.1.2决策方法对于某一多属陆决策问题．一般需要求出各方案的综合属性值．由规范化矩阵及属性权重向量，利用WAA算子得到方案的综合属性值(由(4.15)式获得)。第68页，共83页，2023年，2月20日，星期六当属性权重及属性值都是确定的值时。由各方案综合属性值的大小可以确定万案的优劣；否则,就不能直接由(4.15)式确定综合属性值。

下面将考虑属性权虽完全未知、属性值为区间数且决策者对方案无偏好的情形。第69页，共83页，2023年，2月20日，星期六5.3UOWA算子设表示全体区间数的集合。定义[224]设，若其中是与UOWA相关联的权重向量，满足且是一组数据组中第大的元素。第70页，共83页，2023年，2月20日，星期六则称函数是不确定算子，（简记算子）。可以利用第1章中确定OWA算子加权向量的方法或用下面的表达式来确定加权向量，其中(5.13)这里，为模糊语义量化算子第71页，共83页，2023年，2月20日，星期六(5.14)其中。对应于模糊语义量化准则[79]，“大多数”，“至少半数”，“尽可能多”的算子中的参数对分别为第72页，共83页，2023年，2月20日，星期六例5.3给定一组区间数利用(4.2)式对这4个区间数进行两两比较，并建立可能度矩阵第73页，共83页，2023年，2月20日，星期六根据(4.6）式(4.6)得到可能度矩阵P的排序向量利用对区间数，按降序进行排列，可得第74页，共83页，2023年，2月20日，星期六若假定UOWA算子的加权向量为则利用UOWA箅子对这4个区间数进行集结，可得第75页，共83页，2023年，2月20日，星期六5.4基于UOWA算子的多属性决策方法5.4.1在决策者对方案无偏好情形下的多属性决策方法

下面介绍一种在决策者对方案无偏好情形下的多属性决策方法．具体步骤如下[226]：

步骤1对于某一多属性决策问题．决策矩阵及其相应的规范化矩阵分别为其中，其中，第76页，共83页，2023年，2月20日，星期六步骤2利用(4.2)式对方案的各属性值进行两两比较．并建立可能度矩阵，利用(4.6)式求得可能厦矩阵的排序向量

。并按其分量大小对方案的各属性值按从大到小的次序进行排序，得到第77页，共83页，2023年，2月20日，星期六第78页，共83页，2023年，2月20日，星期六第79页，共83页，2023年，2月20日，星期六表1.19列出了3种互补标度，它们部是模糊互补判断矩阵．0~1标度0.1~0.9三标度0.1~0.9九标度含义00.10.1元素j极端重要于元素I0.138