最优订货方案模型

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（涉及电话、电子邮件、网上征询等）与队外的任何人（涉及指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,假如引用别人的成果或其他公开的资料（涉及网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严厉解决。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（假如赛区设立报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并署名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并署名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2023高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：最优订货方案模型摘要本文探讨的是超市最优订货问题，根据对运送费用、车辆载重限制、订货费用以及需求量的规定，做出优化模型，来合理选择订货方式和订货数量以及订货次数，从而使得总的费用最小。问题一：不考虑运送费用，证明全年订货总费用最小最优订货量存在并求最小值问题一的前提条件是不考虑运送费用，这就意味着我们无论每次定多少商品，都不影响其总费用，同时其如何装车的也无关，通过度析，我们需要考虑的只有储存费用和订货费用，由于订货费用只与订货次数有关，而订货次数则与每次订货量有关，所以将其归结其两者均与每次订货量有关，同时又根据超市是均匀售出商品的，所以我们应当关心的是其的剩余量，所以可以将其转化成一个存储模型，建立了总费用与每次订货量的数学关系模型，通过对其导数的研究即可以证明最优订货模式是存在的，同时也可求解出其最小值。问题二：运用第一问的结果求解出30种商品最优订货量与订货次数通过对问题二的分析，其是明显运用问题的结论求解出其相应最有结果下的订货量与订货次数，不同的是我们必须考虑其为实际情况，每件商品必须是整数，所以我们采用的是最有结果每次订货量左右的整数，运用Excel求解，取其中较小者作为本题的最优情况，最有结果见表四。问题三：订货次数拟定的总费用最小的每种商品的订货方式并求解与最优费用差问题三则是拟定订货次数的前提来完毕每种商品的订购方式，我们只需则运用问题一的结论，根据订购次数拟定每次的订购量，依次运用Excel推算出相应的总费用，取其较小者，从而拟定每种商品的订购方式，同时求解出与最优解的费用差值，即完毕本问。问题四：考虑运送的费用与限制的30中商品的最优订购方式本题的规定是对三十件商品的订购最优方式的拟定，考虑到运送的费用与限制，同时本题也做出了假设，假设每种商品其不可以混在一起运送，因而我们即可以对每种商品作为独立的情况，考虑到其运送的费用与限制，我们即可以选择出最优化的结果。同时我们根据分析的情况，出于对问题二结果的考虑，我们得出运送费用是制约总费用最关键的因素，而储存费和订购费几乎都可以忽略，我们通过需求量拟定装成尽也许满的情况下使得运送次数最小而得到最优结果，从而完毕这项问题的求解。问题五：考虑实际情况，完善上述模型考虑到实际情况，我们可以对模型四做进一步的修正，本题考虑到运费与车辆载重的限制，以及商品之间可以一起运送，所以我们建立了以总费用最小的规划模型，将需求量和实际情况下商品只能为整数作为其的约束条件，以总费用为目的，即可以完毕这项模型的建立。关键词：最优订货模型、存储问题、整数规划、lingo、Excel一、问题重述随着行业竞争剧烈度的提高，一个合理的规划方案，对一个公司的发展具有重要的意义。有关物资在仓库中的贮存以及运送问题，是经济管理和生产管理中常碰见的问题。根据大中型超市所售商品的销售形势及超市条件，采用数学建模的方法，合理地组织订货方案，可使订超市购成本降至最低，从而增长收益，使超市的经营公司在剧烈的竞争中处在有利地位。如一种商品在一次订货后，由于天天有顾客购买，其库存数量逐渐减小，降到一定水平时超市必需再一次订货，否则有也许导致商品断货，给超市导致损失。但是库存在超市的商品，需要一定的库存成本，因此每次对某件商品的订货量不能太大也不能太小，太多会增长库存成本，太少会增长订货次数，从而使订货的花费增长。现在根据某超市每件产品的需求量，库存成本，订货成本，重量等因素并考虑相关的运送成本，选择每次订货时最佳的订货数量以及订货次数，为该超市谋取更多利益。我们考虑所有商品的需求是均匀分布于全年的，因此每次订货的数量是一定的，并且商品的库存费用都与该商品的价格成正比，每件商品的价格在全年保持不变，每次的订货费用也相等。根据这些假设，解决下列问题：问题1：考虑1件商品，不考虑运送的费用，建立数学模型说明使得该商品全年 订 货总费用最小的最优订货量是存在的，并且求出这个订货量。问题2：不考虑运送的费用及载重限制，运用问题1的结论分别求出每种商品的订货 量和订货次数。问题3：在实际中，供应点事实上允许每个超市每两周（15天）或者每月（30天） 订货一次。那么对给定的商品超市要选择哪种订货方式好？计算出这种订货 方式与问题2的最优订货量情况下超市成本增长的数额。问题4：现在考虑运送的费用与限制，供应点可以随时订货。给出这些商品的最优订 购方案。问题5：对于更一般的情形，完善数学模型。二、问题分析本题研究的是最优的订货方案，对于大中型超市，根据其所售商品的销售形势以及超市条件适本地选择每种商品的订货数量及批次，从而来减少超市成本来增长收益。我们通过建立相应的数学模型来求解出相应的最优方案，从而对实际情况做出现实指导。2.1问题一的分析本问分析的前提是不考虑运送费用，即只要需要运送即可以及时去运送，同时也不考虑其运送次数，对于单件商品来说，剩余制约其为需求量以及订购次数，因而可以通过建立的数学关系，运用导数的关系来说明其最小值的存在性，再通过对最小值的分析从而来拟定每次订购量。2.2问题二的分析本问则是对问题一的扩展，其规定的是对三十件商品每个依次分析，并求解出订货量和订货次数，我们只需将问题一中的模型进一步求解，对其每次的订货量取整满足其总费用最小即可拟定其每次的订货量，再根据需求量来拟定最小订货次数从而可以得出订货量，即完毕本题的规定。2.3问题三的分析问题三重要是解决两个问题。其第一个问题是给超市制定每种商品的订货方式，拟定是每两周（15天）订货一次还是每月（30天）订货一次，解决此问题的方法即是修改其订货次数，对第一问做出的结果进行运用，我们只要根据订货次数，加之需求量，从而推导出每次最优订货量，在通过第一问的结果计算出总的费用，与相应的24次订货的总费用相比较，取其较小者作为最优结果，即相应于每种商品的最优订货方式，从而完毕此问题。第二个要解决的问题是与问题2的最优订货量情况下超市成本增长的数额，他只是对第二问与第三问结果求解出相应的费用之差，得到超过的成本。2.4问题四的分析本题的规定是对三十件商品的订购最优方式拟定下来，考虑到运送的费用与限制，同时本题也做出了假设，假设每种商品其不可以混在一起运送，因而我们即可以对每种商品作为独立的情况，考虑到其运送的费用与限制，我们即可以选择出最优化的结果。2.5问题五的分析题目的目的是这三十种商品的最优订货模型，前提规定是有了运送的费用与限制，同时也放宽了订货条件，其可以随时订货。完毕此类问题的关键是对制约条件与相应的总费用的表达，其可以采用的是规划来完毕最优方案的求解，即对全年总费用最小相应求解出每种商品每次的订货量，从而完毕了订购方案。三、模型假设与约定所有商品的需求是均匀分布于全年的。商品的库存费用都与该商品的价格成正比。每件商品的价格在全年保持不变。每次的订货费用也相等。货源充足。四、符号说明及名词定义第种商品每次订货费用第种商品的单位价格第种商品一年所需的总费用（存储费+订货费） 第种商品的库存费用与价格比例第种商品一年的存储量第种商品的最小库存量第种商品每年的需求量第种商品订货次数第种商品第订货数目第种商品的质量第种商品的运送次数第种商品的每车最多运送的个数五、模型建立5.1订货总费用最小的最优订货量模型.根据题目的规定，不考虑其运费情况，所以可以将其转化成存储模型，基于对时间的划分，题目给出了全年均匀出售，所以本题则采用取时间微元的情况建立，即将其当作出售看作一个连续的函数，建立下列模型：5.1.1最优模型的建立一方面我们将库存情况做成如下图表情况：时间时间t0T1T2T3存储量Q最小库存量s一年的存储费=每单位商品一年的存储费×平均存储量=一年的订货费=每次的订货费×每年订货次数=一年总的费用：考虑到对超市的经济效益，其最小库存量可以取零，即，将上式转化成如下方程：5.1.2订货总费用最小的最优订货量是存在性证明根据假设以及所给数据可以看出，总费用只是每次订货量的函数，因而只需证明函数存在最小值即可，证明如下：一方面求对的导数令倒数等于零即可以取到整个区间最小值，最小极值点为根据相关的数学知识可知道，其最小值取在端点或者极小值处。通过度析端点处是不也许的，由于每次订货量是没有上限的，所以最小值应是极小值附近，所以结果如下：即可以说明使得该商品全年订货总费用最小的最优订货量是存在的。5.2每种商品的订货量和订货次数求解模型考虑到实际情况，由于每次的订货量是整数，而我们运用数学求解出不一定全是整数，因而其最小值应当取在附近的两个整数上，通过计算出总费用并比较大小，选择其较小者，即为为总费用最小值，因此建立如下模型进行筛选：小于的整数以及相应的总费用：大于的整数以及相应的总费用：取出相应的总费用较小者即为总费用的最小值：即最终总费用:通过比较两者的大小即可返回其优的每次订货量，从而等到订货次数：5.3订货次数拟定的总费用最小模型一方面本问需要解决的两个问题的前提是订货次数是拟定的，即12或者24，为了解决第一个要解决的问题建立如下模型：通过订货次数来拟定每次的订货量：相应的每次订货量的总费用:相应第二个要解决的问题是对每件商品相应于第二问最优情况下所增长的费用之和，模型如下：与第二问最优总费用之差的5.4基于运送的费用与限制供应点随时订货模型。本题的前提是商品之间不可以一起运送，所以我们只需根据其的需求量拟定每一次的订购量与订购次数和车辆运送情况，根据第二问的结果，我们可以很清楚的看到，运送费用对商品的总费用影响非常大，而其他两者费用几乎可以忽略，所以我们在这只需安排好运送情况，根据需求量拟定订购量，所以建立如下模型：一方面根据车子在中规定，求解出每车最多能运送商品的个数：根据需求量和每车最多的运送个数拟定运送次数：运用运送次数求解出每种商品前次的订购量，余下的则是最后一次订购量，即其等于，上述的订购方式即为最优的订购方式，即完毕此类问题的模型5.5基于运送的费用与限制供应点随时订货商品可一起运送模型对于本题模型的则是对上述条件的限制以及订货条件的放宽，根据对问题的分析，我们建立了总费用最小的规划模型，以下是模型的具体建立过程，：基于第二问的计算结果，本题考虑的取值，我们选取了其的最大值，因素是由于第二问的条件比第四个条件宽，因而当增长运送约束条件时那个订货次数将下降，因而可暂定第种商品第次储存所需的存储费用：全年总存储费用为：第种商品第次订货费用：全年总订货费用:30种商品第次的运送费用：全年总运送费用:所以规划模型总结如下：六、模型求解6.1订货总费用最小的最优订货量模型的求解.出于对超市效益的考虑，当超市没有存货量时，其效益最高，即时，超市效益最高，由此我们做了如下工作来证明全年订货总费用最小的最优订货量是存在的。6.1.1全年订货总费用最小的最优订货量存在性证明以及最小值的求取一方面我们将库存情况做成如下图表情况：时间时间t0T1T2T3库存量Q图一：均匀需求情况下库存量随时间的变化一年的存储费=每单位商品一年的存储费×平均存储量=一年的订货费=每次的订货费×每年订货次数=一年总的费用：考虑到对超市的经济效益，其最小库存量可以取零，即，将上式转化成如下方程：一方面求对的导数令倒数等于零即可以取到整个区间最小值，最小极值点为根据相关的数学知识可知道，其最小值取在端点或者极小值处。通过度析端点处是不也许的，由于每次订货量是没有上限的，所以最小值应是极小值附近，所以结果如下：即可以说明使得该商品全年订货总费用最小的最优订货量是存在的。并且6.2每种商品的订货量和订货次数的求解一方面根据来拟定与，其计算结果如下：表一：每种商品实际情况下的与编号最优订货量()最优订货量（）最优订货量（）1527.0462767527528263.24555326364395.219045719596443.48042391434451224.744871122412256163.29931621631647282.8427125282283827.724131227289583.095189558358410570.713838757057111166.678280716616712249.32111212492501381.3489216881821460.0469360611566.75718493666716152.0233915215317197.81414219719818248.9979922482491910010010020194.935886919419521178.218699217817922151.083046615115223174.949385417417524124.03473461241252556.3436169856572652.21040055525327187.784871318718828286.445949628628729332.039154333233330418.1592315418419根据公式运用Excel计算相应的,列出每种商品相应的两种情况下的计算结果，如下:

表二：情况下的总费用以及订货次数编号最优订货量()最优订货量（）总的费用()订货次数()1527.0462767527189.736745119263.245553263189.742636110395.2190457195285.66109629443.4804239143874.01497752351224.74487112241224.744973136163.2993162163857.325441137282.84271252821357.64714529827.7241312273535.412147199583.09518955831749.2862121510570.71383875701997.4992031011166.67828071661435.1064731612249.32111212492353.596041271381.3489216881885.0930894451460.0469360852.6962145141566.75718493661105.5302241416152.023391521368.2179351417197.8141421971819.8959351618248.9979922481493.990972519100100832.01045231720194.93588691941247.5937911721178.21869921781497.0429822622151.08304661511111.9773322023174.9493854174864.25350361324124.0347346124386.991528972556.3436169856354.978888992652.21040055521409.746082827187.7848713187713.58504723628286.4459496286893.71272675629332.03915433322656.3162513030418.15923154181463.55835825表三：情况下的总费用以及订货次数编号最优订货量()最优订货量（）总的费用()订货次数()1527.0462767528189.736744919263.245553264189.742542410395.2190457196285.66105499443.4804239144874.01364832251224.74487112251224.744973136163.2993162164857.3254164137282.84271252831357.64713729827.7241312283535.391405189583.09518955841749.2862111510570.71383875711997.4992011011166.67828071671435.1064341612249.32111212502353.596022271381.3489216882885.0928839441460.0469361852.6957221141566.75718493671105.529761416152.023391531368.2178861417197.8141421981819.8959051618248.9979922491493.99095825191001008321720194.93588691951247.593771721178.21869921791497.0429492622151.08304661521111.9772922023174.9493854175864.25348341224124.0347346125386.991503672556.3436169857354.978640892652.21040055531409.744844827187.7848713188713.58503383628286.4459496287893.71272195629332.03915433332656.3162423030418.15923154191463.55835525相应比较选取其中的较小者，即，其结果如下表四所示：表四:编号最优订货量()最优订货量（）总的费用()订货次数()1527.0462767528189.736744919263.245553264189.742542410395.2190457196285.66105499443.4804239144874.01364832251224.74487112251224.744973136163.2993162164857.3254164137282.84271252831357.64713729827.7241312283535.391405189583.09518955841749.2862111510570.71383875711997.4992011011166.67828071671435.1064341612249.32111212502353.596022271381.3489216882885.0928839441460.0469361852.6957221141566.75718493671105.529761416152.023391531368.2178861417197.8141421981819.8959051618248.9979922491493.99095825191001008321720194.93588691951247.593771721178.21869921791497.0429492622151.08304661521111.9772922023174.9493854175864.25348341224124.0347346125386.991503672556.3436169857354.978640892652.21040055531409.744844827187.7848713188713.58503383628286.4459496287893.71272195629332.03915433332656.3162423030418.15923154191463.558355256.3订货次数拟定的总费用最小模型的求解由于订货次数是有限的，即其只能为12或24，所以根据上述模型每种商品的订货量每次订货其的总费用相应的用Excel计算出其相应的结果，如下表四：表四：最优方式以及相应的差值商品序号N/12[N/12]+1N/24[N/24]+1TC(12)TC(24)min(TC)最优方式次数最优解与最优解的差值1833.3834416.7417210.1195.1195.124189.75.32250.05125.026196.5279.0196.512189.76.76366.76733.334304.5459.0304.512285.718.84479.28039.6401044.0882.0882.024874.07.9951250.01251625.06261225.51513.01225.5121224.70.766166.716783.384858.41060.5858.412857.31.057666.7667333.33341888.81377.61377.6241357.619.95841.74220.8213853.53690.83690.8243535.4155.349708.3709354.23551783.51972.51783.5121749.334.2110475.0476237.52382033.02816.52033.0121997.535.5011216.7217108.31091486.21573.21486.2121435.151.0812543.3544271.72723107.72363.82363.8242353.610.2413300.0301150.01511757.41061.41061.424885.1176.351466.76733.334859.71009.4859.712852.77.001575.07637.5381121.31298.61121.3121105.515.7516166.716783.3841375.51626.01375.5121368.27.2817250.0251125.01261874.62023.61874.6121819.954.7018516.7517258.32591911.01497.01497.0241494.03.0119133.313466.767869.4902.7869.412832.037.4320266.7267133.31341310.41340.81310.4121247.662.8121383.3384191.71921960.81502.41502.4241497.05.3622250.0251125.01261259.71135.71135.7241112.023.7023175.017687.588866.71081.4866.712864.32.472466.76733.334464.5773.0464.512387.077.532541.74220.821372.3546.2372.312355.017.322633.33416.7171563.02437.51563.0121409.7153.2527558.3559279.22801182.1772.0772.024713.658.41281333.31334666.76672177.01232.51232.524893.7338.8129816.7817408.34093808.02716.02716.0242656.359.6830850.0851425.04261849.31465.51465.5241463.61.94本题规定的计算结果如下表五所示：商品序号最优方式次数与最优解的差值1245.322126.7631218.844247.995120.766121.0572419.95824155.3491234.21101235.50111251.08122410.241324176.3514127.00151215.7516127.28171254.7018243.01191237.43201262.8121245.36222423.7023122.47241277.53251217.322612153.25272458.412824338.81292459.6830241.94总增长成本数额=1449.85元6.4基于运送的费用与限制供应点随时订货模型的求解根据上述模型的求解可以依次运用Excel算出如下结果：商品序号每车最多运送数目g运送次数w前w-1次每次运送量最后一次运送量18001380040022003200200313371332411491143851609416012065736575720040200200861961129125681251251010057100100111332013373121255312520131372713738148010808015641564416333733321730710307237181903319012019200820020020266132668213331433327122200152002002321010210210246613668255010505026192219127200342001002821077210402925040250503050021500200优化方案如下：商品序号订购次数n前w-1次订购量最后一次订购数1138004002320020037133249114385941601206365757402002008961129681251251057100100112013373125312520132713738141080801515644167333217103072371833190120198200200201326682114333271221520020023102102102413668251050502622191273420010028772104029402505030215002006.5基于运送的费用与限制供应点随时订货商品可一起运送模型通过对三种费用的计算，对模型的晚上结果如下：出于对模型变量范围太大，并且未知数量太多（未知数有30×56），所以考虑到使用生成随机数的方法求解出其近似最优解，只需通过多次循环求取，取其中最小值作为最优订购方案即可。七、模型检查由于每种结果都是根据每步运用Excel计算出的，人工参与比较多，同时其求解方式比较单一，所以模型的检查存在一定的问题，为此在此带过。八、模型评价优缺陷：本题的最大亮点是直接建立了总费用与订货量的直接函数关系，这样可以从定量的情况下比较总费用最小的最优订购方式，从而为实际生产给予指导，对于每种假设都给予了相应的解决方案。特别是对模型五的求解，本题采用的手法是运用给出一定范围取值计算机自动生成一组随机数，将其带入总费用的方程中，求解出相应的值，通过几次随机数的生成，取出其中使得总费用最小的一组随机数作为本题的最优结果，考虑这样做的目的是由于其模型运算量巨大，假如直接运用程序在lingo中求解，其运算时间过长，无法在规定的时间内完毕求解。九、模型推广该模型有一定的局限性，如现实中不能时刻都保证货品的及时补给，有时也许会出现断货现象，这对超市的运营就会产生一定的影响。并且各种商品的需求在单位时间内并不是均匀的，通常情况下我们都是在非均匀需要条件下订货。为了更贴近实际，则应考虑商品的非均匀需求以及断货的情况。总的来说，整个模型的建立思绪清楚，遵循可操作性原则，科学性原则，可比性原则，该模型建立出了在较抱负状态下超市订货的最优次数和最优数量，减少了库存成本，给生活中超市订货的制度予参考，具有一定的实际应用价值，可使超市在根据商品需求和运送条件等因素更好的运用资源选择各种商品最佳订货数量和次数，不仅为公司谋求更多的利益，并且也方便顾客们的采购。本模型较好的解决了超市订货的最优订货方案问题，有效的改善了超市的运营效率，在经济迅猛发展和各行业竞争剧烈的今天，人口迅速增长，人们的物质生活水平不断提高，对各种商品的需求量也不断增长。订货最优方案的制定是超市有力的营利措施.同时该模型也可运用到其他行业和领域的最优订货问题中去，同时也可运用该模型算法拓展模型在其他领域的合用范围.十、参考文献[1]张亚杭.运用初等数学建立存贮模型[J].机械职业教育，2023(1)，39-41[2]陈荣秋.求非均匀需求条件下订货批量的方法[J].管理现代化，1985（6），18-25十一、附录每车最多运送数目g运送次数w前w-1次每次运送量最后一次运送量商品序号订购次数n前w-1次订购量最后一次订购数80013800400113800400200320020023200200133713323713321149114384911438160941601205941601205736575636575200402002007402002006196112896112125681251259681251251005710010010571001001332013373112013373125531252012531252013727137381327137388010808014108080641564415156443337333216733323071030723717103072371903319012018331901202008200200198200200266132668201326683331433327121143332712001520020022152002002101021021023102102106613668241366850105050251050501922191262219120034200100273420010021077210402877210402504025050294025050500215002003021500200商品序号N/12[N/12]+1N/24[N/24]+1TC(12)TC(24)min(TC)最优方式次数最优解与最优解的差值1833.3834416.7417210.1195.1195.124189.75.32250.05125.0261