2020高考数学解答题的解题策略

2020高考解题的解策略——北四中：吕宝在高考数学试题中，解答题的题量虽然比不上选择题，但是其占分的比重最大，足见它在试卷中地位之重要．解答题也就是通常所说的主观性试题，这种题型内涵丰富，包含的试题模式灵活多变，其基本构架是：先给出一定的题设(即已知条件)，然后提出一定的要求(即要达到的目标)，再让考生解答，而且题设”和要求的模式多种多样．考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和过程，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚．1．新课高考解答题有以下的特点：(1)从近几年看，解答题的出处较稳定，一般为数列、三角函数包括解三角形)、概率、立体几何(与向量整合)、函数与导数及不等式、解析几何等．(2)解法灵活多样，入口宽，得部分分易，得满分难，几乎每题都有坡度，层设关卡，能较好地区分考生的能力层次．(3)侧重新增内容与传统的中学数学内容及数学应用的融合，如函数与导数数列结合，向量与解析几何内容的结合等．(4)运算与推理互相渗透，推理证明与计算紧密结合，运算能力强弱对解题成败有很大影响．在考查逻辑推理能力时，常常与运算能力结合考查，推导与证明问题的结论，往往要通过具体的运算；在计算题中，也较多地掺进了逻辑推理的成分，边推理边计算．(5)注重探究能力和创新能力的考查．探索性试题是考查这种能力的好素材因此在试卷中占有重要的作用；同时加强了对应用性问题的考查．2．高考学解答题的本题型我们认真分析近几年各省市高考数学试题，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数、平面向量型解答题、立体几何型解答题、排列组合、二项式定理及概率型解答题、函数与不等式型解答题、解析几何型解答题、数列型解答题．这是高考数学的重头戏，这部分内容包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，它们突出了中学数学的主要思想和方法，考查了考生的创新能力和创新意识．3．高考学解答题的题策略

(1)审题要慢，解答要快．审题是整个解题过程的基础工程”题目本身是怎样解题的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识．(2)确保运算准确，立足一次成功．(3)讲究书写规范，力争既对又全．这就要求考生在面对试题时不但会而且对，对而且全，全而规范．(4)面对难题，讲究策略，争取得分．会做的题目当然要力求做对、做全、满分，而对于不能全部完成的题目应：①缺步解答；②跳步解答．解题过程卡在其一中间环节上时，可以承接中间结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的(2)、问．总之，对高三学子来说：准确、规范、速度，高考必胜；刻苦、韧、自信，必成功题型一

规范解问题立体几何的考查，主要有两类新题型，一是在考查对空间几何体结构认识的前提下，综合性地考查对空间几何体的体积、表面积的计算，考查空间线面位置关系，角与距离的计算，这类试题以“图”引入，背景新颖，对考生的空间想象能力有较高要求；二是在考查立体几何基本问题的前提下，将试题设计为“探索性”的类型，改变了给出明确结论让考生证明的局面，这类试题由于结论不明确，对考生的数学素养有较高要求．要想解决好如上所述的立体几何新型试题，除了牢固掌握好立体几何的基础知识和基本方法外，还要在空间想象能力、数学思想方法等方面下一番工夫，只有这样考生才能面对新题型得心应手，将新题型转化为所熟悉的常规题，以便顺利解决问题．在解答方面，除推理证明，运用空间向量也是一种重要方法．这类题一定要注意解题规范，条件充分．例1.如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝＝a，点E是SD上的点，且DE＝(0<λ≤1)．(1)求证：对任意λ∈，都有AC⊥BE；(2)若二面CAE—D的大小为60°，求λ的值．解方法一：(1)证：连结BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.

AE＋1λ＋1λAE＋1λ＋1λ∵SD⊥平面ABCD,∴BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得AC⊥BE.(2)解SD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴SD⊥CD又底面ABCD是正方形，∴CDAD又SD∩＝D，∴CD⊥平面SAD.过点D在平面SAD内作⊥AE于F，连结CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C——D的平面角，即∠CFD＝60°，在RtADE中，∵＝a，DE＝λaAE＝aλ＋1，ADDEλa于是，DF＝λ21DFλλ3在RtCDF中，由cot60°＝＝，得＝，CD223即3λ2

＋3＝3.2由λ∈(0,1]，解得λ＝.2方法二：(1)证明：D为原点向分别作为x，，z轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则D(0,0，，A(0,0)，(a，a,0)，(0，a,0)E(0,0，－λa，＝－a，a,0)，＝－a，－a，－λa)，＝a,0，－λa，＝(0，a，－λa)．∴＝(－a，a,0)·(－a，－a，)＝a

2

－a

2

＋0·λa＝，即对任意的λ∈，都有AC⊥.(2)解：＝，0)为平面ADE的个法向量．

12121212设平面ACE的一个法向量为n＝(，y，)，拓展提——阔思路

提炼方(1)利用向量证明线面关系，要注意建立坐标系，构造向量．(2)利用向量研究角．如果两个平面的法向量分别是、n，则这两个平面所成的锐二面角或直二面角的余弦值等于|cos〈，n〉|，在立体几何中建立空间直角坐标系求解二面角的大小时，使用向量的方法可以避免作二面角的平面角的麻烦．题型二

探究性题(1)未给出结论的通常称为归纳型问题．解答这类问题思路：归纳猜想证明；(2)结论不确定的，通常称之为存在型问题．解答思路：假设推理—定论；(3)条件不全，需探求补足条件的，通常称为：条件探索型．解答思路：结条件．答案往往不唯一；(4)给定一些对象的某种关系，通过类比得到另一些对象的关系．解答思路透彻理解条件，转换思维；(5)给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个或几个)为论，通常称为重组型．解答思路：组合条件，逐一验证．xy22例2．如图，已知椭圆＋＝1(b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右a2b22焦点F、F为顶点的三角形的周长为2＋1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和PF与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

12121211220010020000000120001211111112121111212122k＋1211112121211220010020000000120001211111112121111212122k＋121111(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线、PF的斜率分别为、k，证明：k·k＝1；(3)是否存在常λ，使得AB|＋|CD＝ABCD恒成立？若存在，求λ值；若不存在，请说明理由．(1)解：设椭圆的半焦距为，由题意知：c2＝，2a＋2c＝2＋1)，a2所以a＝22，c＝又a2＝b22，因此＝2，x2y2故椭圆的标准方程为＋＝1.84xy2由题意设等轴双曲线的标准方程为－＝1(m>0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦m2m2xy点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为－＝44(2)证明：A(x，y)B(x，y)，Px，y)，则k＝因为点P在双曲线2－y2＝4上，所以x2－2＝4，yyy2因此kk＝·＝＝1，x＋2x－2x2－即kk＝1.(3)解：由PF的方程为y＝k(＋2)，

yy，k＝.x＋2x－2将其代入椭圆方程得(2k＋1)x

＋8k

21

x＋8k

2－8＝0，－8k28k－8由韦达定理得x＋x＝，xx＝，2k＋12k2＋所以AB＝1＋k

x＋x

2

－4xx＝

1＋k2

k1

8k－8k＋1－4×＝42·.2k＋12k2＋1

224222＋122＋122＋＋＝＋1122＋224222＋122＋122＋＋＝＋1122＋k2＋1同理可得CD＝42·.2k2＋1111则＋＝·AB|CD|又kk＝1，所以

2k1＋12k2＋1k2＋k2＋1112k1＋k1AB|CD|42k2＋1k2

2＝8

2k1＋1k＋232k2＋k2＋8

.32故AB＋|CD＝ABCD|.832因此，存在λ＝，使AB＋|CD＝λ|AB|·|CD恒成立．8题型三

应用性题解答应用性问题的思路与方法：(1)审题：首先要认真仔细地分析题意，分成读懂和深刻理解两个层次，认问题的各项已知条件及所要解决的问题，分清题目中所涉及的量中哪些是变量，哪些是常量及它们间的相互联系，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系．(2)建模：把问题的主要关系近似化、形式化，然后建立恰当的数学模型，实际问题转化为数学问题．(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法，再用学过的学知识去解决问题，得到正确合理的答案．(4)检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于实，做出解释或预测．例3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于点北偏东45°，B点北偏西60°的点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(33)(海里，∠DBA＝－60°＝30°，

12121212∠DAB＝－45°＝45°，∴∠ADB＝－(45°＋＝105°，在△DAB中，由正弦定理得

DBAB＝，sin∠DABsin∠ADB∴DB

AB·sin∠DABsin∠ADB＝

53＋3·sin45°sin105°53＋3·sin45°＝sin45°cos＋cos45°sin60°＝

533＋13＋1

＝103(海里，2又∠DBC＝∠DBA＋∠30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD＋2－2BD·BC·cos∠1＝300＋1200－2×103×203×＝900，230∴CD＝30(海里，则需要的时间t＝＝1(小时．30答：救援船到达D点需要1小时．拓展提—阔思路

提炼方本题是解三角形应用题，解决这类问题的关键是正确建立三角模型，将实际问题中的量转化为三角形中的边、角关系，然后再解三角形．例4．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为，x，记ξ＝(x－3)2

＋(x－3)2

.(1)分别求ξ取得最大值和最小值时的概率；(2)求随机变量的分布列及数学期望．解：(1)掷出点数可能是1,2,3,4，则x－3分别得－2，－1,0,1.

12121212121211212121212121于是(x－3)2

的所有取值分别为0,1,4.因此ξ的所有取值为0,1,2,4,5,8.因为是投掷两次，因此基本事件(x，x)共16个．只有当基本事件是(1,1)，ξ＝(x－3)2(x－3)2可取得最大值8，1此时，P(＝8)＝；16只有当基本事件是(3,3)，ξ＝(x－3)2

＋x－3)2

可取得最小值0，1此时，P(＝0)＝.161(2)由知，ξ的所有取值为0,1,2,4,5,8.P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝；16当ξ＝1时，(，x的所有取值为(2,3)、(4,3)、、(3,4)