2020中考数学题型专项(九)圆的有关证明与计算

题专（）的关明计圆的证明与计算是中考的必考内容之一有大的比重常结合三角形边形等知识综合考查计算、证明的形式出现．解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆性质求线段长、角度或阴影部分的面积等．复习时应加以重视，在掌握解题方法的前提下，也要加大练习量．【】（2019·昆明联考）如图，⊙O的半径＝，是弦，直线EF经点B，⊥于C，∠＝∠OAB.（）证EF是⊙的线；（）AC＝，AB的；（）（）条件下，求图中影部分的面积．【路拨（）要证明EF是⊙切线，只需要证得半径OB⊥EF即可；（）点O作OD⊥于点D，证AOD△ABC，从而由相似的性质求得AB的度；（）图可得S＝＋－.【主答解）证明：∵OAOB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠＝OAB，∴∠＝OBA.∴OB∥∵AC⊥，∴OB⊥又∵OB是⊙O的径，∴EF是O的线．1（）点O作OD⊥于点D，AD＝AB，2∵∠＝BAC，∠ODA＝ACB∴△∽ABC.1ABADAO24∴＝，＝.ACAB2AB∴AB＝（）AB＝＝＝，/

∴△OAB为等边三角形．∴∠＝ABO＝60°.∵OB⊥，∴∠＝30°∴BC＝3AC＝3.∴＝＋－eq\o\ac(△,S)1160×π×＝××3＋××3－223608＝3－.3．解圆的相关问题，正确作出辅助线是解题的关键．．已一条直线是圆的切线，则连接过切点的半径可得垂直．．证一条直线是圆的切线的常见方法有两种：（）当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径简称“作半径，证垂直（）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半，简称“作垂直，证半径．求影部分的面积经常使用割补法等转化的方法将阴影部分转化为几个容易求出面积的图形（如扇形、三角形等）的和差．类1

与的本质关证与算．如，AB是⊙的径，弦CD交AB于E，⊥于点F.（）探索OF和BC的系，并说明理由；（）∠＝°，＝时求圆中阴影部分的面积果保留）1解）∥，＝BC.2理由：由垂径定理，得AF＝∵＝，∴OF是ABC的中线．/

34134∴OF∥，＝BC.21（）接OC.由（）知OF＝.2∵AB是O的径，∴∠ACB＝90°∵∠D＝30°∴∠＝°∴AB＝2BC＝∴＝3.13∴＝AC·＝.24∵OA＝，∴∠＝OCA＝°∴∠AOC＝120.120××π∴＝＝.3603π3∴＝－＝－.．已：如图，ABC内接于⊙，AB为直，∠CBA的平分线交AC点F，交O于点D,DE⊥AB于点E，且交AC于P，连接（）证：∠DAC＝∠DBA；（）证P是线AF的中点（）⊙的径为5,AD＝6求tan的值．解）证明：∵平分CBA∴∠＝DBA.∵∠＝CBD，∴∠＝DBA.（）明：∵为⊙的直径ADB＝90.∵DE⊥，∴∠DEB＝90°∴∠＋EDB＝∠ABD＋EDB90.∴∠＝ABD＝∠DAP.∴＝∵∠＋DAC＝∠ADE＋PDF90，且∠＝ADE，∴∠＝PFD.∴PD＝∴PA＝，即是AF的点．/

eq\o\ac(△,S)（）题意可知＝，AD＝6.∴DB＝8.eq\o\ac(△,S)AD63在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，tan∠ABD＝＝＝.DB84类2

与的线关证与算·红河州泸西县一模）如图AB是⊙的径，，为弦∠ACD60P延长上的点，∠APD＝30°（）证DP是⊙的线；（）⊙的径为3cm，求图中阴影部分的面积．解）证明：连接，∵∠＝60°，∴∠＝120°∴∠＝60°∵∠＝30°，∴∠＝90°∴PD⊥又∵OD是⊙O的径，∴PD是O的线．（）在Rt△POD中，＝cm∠APD30°，∴PD＝3.11933∴＝－＝××3－×π×＝－π.2622·昆明西山区一模）如图，以AB为径⊙O，过点A作O的线AC，连接BC交O于点D，点E是BC边中点，连接AE.（）证：∠AEB＝∠；3（）AB＝，cosB＝，求DE的长．5/

解）证明：∵是⊙的线，∴∠BAC＝°∵点E是BC边中点，∴AE＝∴∠＝∠EAC.∵∠AEB＝∠＋∠EAC，∴∠AEB＝∠（）接AD.∵AB为O的径，∴∠ADB＝90°318∵AB＝，＝，BD＝.553在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，＝，＝∴BC10.5∵点E是BC边中点，BE＝7∴DE＝－＝.5．如，PAPB是⊙O切线，，是点AC是O的径AC，的延线交于点D.（）∠＝°求APB的数；（）∠等多少度时，OP＝？说明理由．解）∵是⊙的切线，∴PAO90°∴∠＝90°－∠＝°又∵PA，是⊙的线，∴＝PB.∴∠＝ABP＝70°.∴∠＝180°702＝.（）∠＝°，OP＝OD.理由如下：当∠＝30°时，由（1）知∠BAP＝∠ABP＝°∴∠＝180°602＝.∵PA，是⊙的切线，1∴∠＝∠＝°2/

又∵∠＝ABP－∠＝°30＝°，∴∠＝∠∴＝·云南模拟）如图AB是O的径，是⊙的切，CD是垂直于AB的弦，垂足为，过点C作DA的行线与AF相于点F，CD＝3，＝2.证：（）边形FADC是形；（）是⊙的切线．证明）接OC，∵AB是O的径CD⊥AB，11∴CE＝＝CD＝×3＝3.22设OC＝x，∵BE＝，∴OE＝－在eq\o\ac(△,Rt)OCE中，＝OE

＋

，∴

＝（－）

＋23）

.解得x＝4.∴OA＝＝，＝2.∴＝在eq\o\ac(△,Rt)AED中，＝AE＋＝，∴AD＝∵AF是O的线，∴AF⊥∵CD⊥，∴∥CD.∵CF∥，∴四边形FADC是平行四边形．∵AD＝，∴四边形FADC是菱形．（）接AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA＝∴∠＝FCA.∵AO＝，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠＋OAC＝∠FCA＋OCA即∠＝OAF＝90°∴⊥FC.又∵OC是⊙O的径，/

∴FC是O的·赤峰）如图AB为O的直径，，是圆AB的等分点过点C作延线的垂线CE，垂足为E.（）证CE是⊙的线；（）⊙的径为2，求图中影部分的面积．解）证明：连接OC.∵点C，为半O的等分点︵︵︵∴AD＝＝BC.∴∠＝BAD.∴OC∥∵CE⊥，∴CE⊥又∵DC是⊙O的径，∴CE为O的线．（）接OD，︵︵︵∵AD＝＝，1∴∠＝∠＝×180°＝60°.3∵OD＝，∴△OCD为等边三角形．∴∠＝60°＝∠AOD.∴CD∥∴＝.eq\o\ac(△,S)60××2π∴＝＝＝3603·曲靖模拟）如图，O是ABC的接圆，AB为径，∠BAC的分线交⊙于D过点D作DE⊥AC分别，的延线于点EF./

（）证EF是⊙的线；︵（）AC＝，＝，BD的度果保π解）证明：连接，∵OA＝，∴∠＝ODA.∵AD平∠EAF，∴∠＝OAD.∴∠＝ODA.∴OD∥∵AE⊥，∴OD⊥又∵OD是⊙O的径，∴EF是O的线．（）点O作OG⊥于点G，1则AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90，2∴四边形ODEG是矩形．∴OA＝＝＋＝＋＝，DOG90.在eq\o\ac(△,Rt)AOG中∵OA＝2AG，∴∠＝30°∴∠＝180°30°－90°60.︵60×π×4π∴BD的长度为＝.1803·西双版纳景洪一模）如图eq\o\ac(△,，)ABC是⊙O的接圆，且AB是O的径，点⊙上BD平分ABC交AC于E，DF⊥交BC延线于点F.（）证DF是⊙的线；3（）BD＝，sin∠DBF＝，DE的长5/

解）证明：连接，∵BD平∠ABC，∴∠＝DBF.∵OB＝，∴∠＝ODB.∴∠＝ODB.∴OD∥∵DF⊥，∴OD⊥又∵OD是⊙O的径，∴DF是O的线．（）接AD，∵AB是O的径，∴∠＝90°∵BD平∠ABC，∴∠＝ABD.在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，＝，3∵sin∠＝∠DBF＝，5∴AD＝∵∠＝DBF，3∴sin∠＝∠DBF＝.5DE3在eq\o\ac(△,Rt)ADE中，sin∠DAE＝＝，AE5设DE＝3x，AE＝5x，则（3x）3＝（5x

，3解得x＝（负值49∴DE＝.4·陕西）如图，AC是⊙O的一条弦，AP⊙的线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙于点D，连接AD./

（）证AB＝；（）⊙的径R＝，＝，求AD的．解）证明：∵是⊙的线，∴∠＝90°∴∠＋MAB＝90