数值解析总结计划版试题

数值解析总结计划版试题及答案数值解析总结计划版试题及答案/数值解析总结计划版试题及答案例1、已知函数表-112-304求f(x)的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：（1）由题可知-112-304插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为二阶阶--31103/22445/6故所求Newton二次插值多项式为例2、设f(x)x23x2，x[0,1]，试求f(x)在[0,1]上关于(x)1，span1,x的最正确平方逼近多项式。解：若span1,x，则0(x)1，1(x)x，且(x)1，这样，有因此，法方程为-本源网络，仅供个人学习参照112311a0232a06，经过消元得2611a1901a11234123再回代解该方程，获取a14，a0116故，所求最正确平方逼近多项式为S1*(x)114x6例3、设f(x)ex，x[0,1]，试求f(x)在[0,1]上关于(x)1，span1,x的最正确平方逼近多项式。解：若span1,x，则0(x)1，1(x)x，这样，有因此，法方程为解法方程，获取a00.8732，a11.6902，故，所求最正确平方逼近多项式为例4、用n49的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1xdx。解：（1）用n4的复合梯形公式由于h2，fxx，xk12kk1,2,3，因此，有（2）用n4的复合辛普森公式由于h2，fxx，xk12kk1,2,3，x122kk0,1,2,3，因此，有k2例5、用列主元消去法求解以下线性方程组的解。解：先消元再回代，获取x33，x22，x11因此，线性方程组的解为x11，x22，x33例6、用直接三角分解法求以下线性方程组的解。解：设则由ALU的对应元素相等，有u1，u1，u1，114125136lu1l214，lu1l312，21113331112luu221u221，luu231u1，2112460211352345-本源网络，仅供个人学习参照l31u12l32u221l3236，l31u13l32u23u332u331315因此，100y19b，即4解Ly10y28，得y19，y24，y31543y382361111456x1911解Uxy，即0x24，得x3177.69，x2476.92，x1227.086045x3154001315因此，线性方程组的解为x1227.08，x2476.92，x3177.69１、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使ALU唯一建立。（）２、当n8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不牢固性。（）bnAif(xi)f(x)dx3、形如ai1数为2n1。（

的高斯（Gauss）型求积公式拥有最高代数精确度的次）210A111４、矩阵012的２－范数A2＝９。（）2aa0A0a05、设00a，则对任意实数a0，方程组Axb都是病态的。（用）（）6、设ARnn，QRnn，且有QTQI（单位阵），则有A2QA2。（）7、区间a,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）一、判断题（10×1′）1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b必然能够使用高斯消元法求解。(×)2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*周边是平方收敛的。( )3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法必然收敛。(×)4、样条插值一种分段插值。( )-本源网络，仅供个人学习参照5、若是插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。( )6、从实责问题的精确解到实质的计算结果间的误差有模型误差、观察误差、截断误差及舍入误差。( )7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)9、数值计算中的总误差若是只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最正确分配原则是截断误差＝舍入误差。( )10、插值计算中防范外插是为了减少舍入误差。(×)1.用计算机求10001时，应依照n从小到大的序次相加。（）n1n10002.为了减少误差,应将表达式20011999改写为2进行计算。（对）200119993.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）用迭代法解线性方程组时，迭代可否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项没关。（）复习试题一、填空题：410A14A1、014，则A的LU分解为。11410A1411541答案：0415156153f(x)dx_________2、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得1,用三点式求得f(1)。答案：2.367，0.253、f(1)1,f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为，拉格朗日插值多-本源网络，仅供个人学习参照项式为。L2(x)1(x2)(x3)2(x1)(x3)1(x1)(x2)答案：-1，224、近似值x*0.231关于真值x0.229有(2)位有效数字；、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是( )；5xn1xnxnf(xn)1f(xn)答案6、对f(x)x3x1,差商f[0,1,2,3](1),f[0,1,2,3,4](0)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；ba8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为(2n1)；、已知f(1)＝，f(2)＝，f(4)＝，则二次Newton插值多项式中2系数为(0.15)；10235.9x1113131f(x)dxf(x)dx00[f(2)f(3)]、两点式高斯型求积公式≈(232)，代数精度为(5)；1112、解线性方程组Ax=b的高斯序次消元法满足的充要条件为(A的各阶序次主子式均不为零)。y1034613、x1(x1)2(x1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为为了使计算y10(31(46t)t)t,t1，为了减少舍入误差，应将表达式20011999改写为x220011999。、用二分法求方程f(x)x3x10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,14进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。1xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为15、计算积分0.50.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。3x15x2116、求解方程组0.2x14x20的高斯—塞德尔迭代格式为

x1(k1)(15x2(k))/3x2(k1)x1(k1)/20，该迭代格式的迭1代矩阵的谱半径(M)=12。-本源网络，仅供个人学习参照17、设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x)l1(x)x(x2)，f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x)16x7x(x1)。18、求积公式精度。

bnf(x)dxAkf(xk)a的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，拥有(2n1)次代数k0519、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求1f(x)dx≈(12)。20、设f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求f(1)(2.5)。21、若是用二分法求方程x3x40在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。23、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整数点x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函数，则nnlk(x)xklj(xk)k0(1)，k0(xj26、改变函数f(x)x127、若用二分法求方程fx

n)，当n(xk4xk23)lk(x)x23)。2时k0(x41x(x1)的形式，使计算结果较精确fxx1x。0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。1x29、若用复化梯形公式计算0edx，要求误差不高出106，利用余项公式估计，最少用477个求积节点。x11.6x2130、写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式x1k111.6x2k1,k0,1,k12kx20.4x1A5431、设43,则A

，迭代矩阵为9。

01.60.64，此迭代法可否收敛收敛。32、设矩阵33、若f(x)

4825133x42x1

4822U01670016的ALU，则U2。1，则差商f[2,4,8,16,32]3。f(x)dx2f(1)][f(1)8f(0)34、数值积分公式1

9的代数精度为2。-本源网络，仅供个人学习参照12101511x1235、线性方程组103的最小二乘解为1。3213210410A20433002113536、设矩阵分解为A2。LU，则U二、单项选择题：、迭代法解方程组Axb的必要条件是（C）。1JacobiA．A的各阶序次主子式不为零B．(A)1C．aii0,i1,2,,nD．A1223A051、设007，则(A)为(C)．2A．2B．5C．7D．33、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A．2B．5C．3D．44、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(B)。A．对称阵B．正定矩阵C．任意阵D．各阶序次主子式均不为零5、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数B．模型正确值与用数值方法求得的正确值C．观察与测量D．数学模型正确值与实质值6、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。A．6B．5C．4D．7x7、用1+x近似表示e所产生的误差是(C)误差。8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A．控制舍入误差B．减小方法误差-本源网络，仅供个人学习参照C．防范算溢出D．化算x9、用1+3近似表示31x所生的差是(D)差。A．舍入B．C．模型D．截断10、-324．7500是舍入获取的近似，它有(C)位有效数字。A．5B．6C．7D．811、f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,抛物插多式中x2的系数(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-212、三点的高斯型求公式的代数精度(C)。A．3B．4C．5D．213、(D)的3位有效数字是0.236×102。(A)0.0023549×103(B)2354.82×10－2(C)235.418(D)235.54×10－114、用迭代法求方程f(x)=0的根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)与x交点的横坐(B)y=x与y=(x)交点的横坐(C)y=x与x的交点的横坐(D)y=x与y=(x)的交点3x1x24x31x12x29x30、用列主元消去法解性方程4x13x2x31，第1次消元，主元(A)。15(A)－4(B)3(C)4(D)－916、拉格朗日插多式的余是(B),牛插多式的余是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,⋯,xn)(x－x1)(x－x2)⋯(x－xn－1)(x－xn)，f(n1)( )Rn(x)f(x)Pn(x)1)!(B)(n(C)f(x,x0,x1,x2,⋯,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)⋯(x－xn－1)(x－xn)，Rn(x)f(x)Pn(x)f(n1)( )(x)n1(D)(n1)!17、等距二点求公式f(x1)(A)。18、用牛切法解方程f(x)=0，初始x0足(A),它的解数列{xn}n=0,1,2,⋯必然收到方程f(x)=0的根。19、求方程x3―x2―1=0在区[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成以下形式，并建立相的迭代公式，迭代公式不收的是(A)。-本源网络，仅供个人学习参照x21,迭代公式:xk111(A)x1xkx11,迭代公式:xk111x22(B)xk(C)x312,迭代公式:xk1(12)1/3xxkx31x2,迭代公式:xk11xk2xk21(D)xk21、解方程组Axb的简单迭代格式x(k1)Bx(k)g收敛的充要条件是（）。（1）(A)1,(2)(B)1,(3)(A)1,(4)(B)1bnCi(n)f(xi)中，当系数Ci(n)是负值时，f(x)dx(ba)i022、在牛顿-柯特斯求积公式：a公式的牢固性不能够保证，因此实质应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。1）n8，（2）n7，（3）n10，（4）n6，23、有以下数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取31.732计算x(31)4，以下方法中哪一种最好？（）1616(A)28163；(B)(423)2；(C)(423)2；(D)(31)4。27、由以下数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）１1.5２2.5３3.5-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。b28、形如af(x)dxA1f(x1)A2f(x2)A3f(x3)的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。29、计算3的Newton迭代格式为( )-本源网络，仅供个人学习参照xk1xk3xk1xk3xk1xk2xk1xk32xk22xk2xk3xk(A)；(B)；(C)；(D)。110330、用二分法求方程x34x2100在区间[1,2]内的实根，要求误差限为2，则对分次数最少为( )(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。932、设li(x)是以xkk(k0,1,,9)为节点的Lagrange插值基函数，则x；（B）k；（C）i；（D）1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，最少拥有( )次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。35、已知方程x32x50在x2周边有根，以下迭代格式中在x0( )

kli(k)k0( )不收敛的是xk125xk5；(D)xk12xk35(A)xk1xk33xk22。32xk5；(B)xk；(C)xk136、由以下数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( )(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（认为正确的在后边的括弧中打，否则打）1、已知观察值(xi，yi)(i，，，，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，Pn(x)的012次数n能够任意取。( )x2产生舍入误差。、用1-2近似表示cosx( )2(xx0)(xx2)、(x1x0)(x1x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。( )34、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( )112535、矩阵A=125拥有严格对角占优。( )-本源网络，仅供个人学习参照四、计算题：4x12x2x311x14x22x318、用高斯-塞德尔方法解方程组2x1x25x322，取x(0)(0,0,0)T，迭代四次(要求按五1位有效数字计算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70191f(x)dxA[f(1)f(1)]B[f(111)f( )]、求、使求积公式22的代数精度尽量高,并求2AB21其代数精度；利用此公式求Idx1x(保留四位小数)。答案：f(x)1,x,x2是精确建立，即2A2B22A1B2A1,B823得99f(x)dx18)11求积公式为19922当f(x)x3f(x)x421时，公式显然精确建立；当时，左=5，右=3。因此代数精度为3。3、已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值-本源网络，仅供个人学习参照（保留四位小数）。L3(x)2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)答案：(13)(14)(15)(31)(34)(35)差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-106、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最凑近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实质计算结果sin0.638910.596274，且7、构造求解方程ex10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，谈论其收敛性，并将根求出来，|xn1xn|104。答案：解：令f(x)ex10x2,f(0)20,f(1)10e0.且f(x)ex100对x(，)，故f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)0变形为则当x(0,1)时-本源网络，仅供个人学习参照1exe(x)ex)|(x)|1(2101010，故迭代格式收敛。取x00.5，计算结果列表以下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足|x7x6|0.00000095106.因此x*0.090525008.x12x23x3142x15x22x3188﹑利用矩阵的LU分解法解方程组3x1x25x320。1123ALU2114答案：解：35124令Lyb得y(14,10,72)T，Uxy得x(1,2,3)T.3x12x210x31510x14x2x359﹑对方程组2x110x24x38（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明原由；（2）取初值x(0)(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求||x(k1)x(k)||103。解：调整方程组的地址，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得：x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.10、已知以下实验数据xi1.361.952.16f(x)16.84417.37818.435i-本源网络，仅供个人学习参照试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。1解：当0<x<1时，f(x)ex，则f(x)e，且0exdx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R1(n)(f)11042.R1(n)(ba)3f( )(f)由12n2，只要即可，解得因此n68，因此最少需将[0,1]68等份。111x14543x21211、用列主元素消元法求解方程组211x311。1114r1r254312543121114解：2111121111回代得x31,x26,x13。、取节点x00,x10.5,x21求函数f(x)exP(x)并估计误,,12差。P2(x)e0(x0.5)(x1)e0.5(x0)(x1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1又x[0,1]|R2(x)||exP2(x)|1|x(x0.5)(x1)|故截断误差3!。14、给定方程f(x)(x1)ex101)解析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程(x1)ex10（1）改写为-本源网络，仅供个人学习参照x1ex（）2作函数f1(x)x1，f2(x)ex的图形（略）知（2）有唯一根x*(1,2)。2)将方程（2）改写为x1exxk11exk构造迭代格式x01.5(k0,1,2,)计算结果列表以下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)(x)1ex，(x)ex当x[1,2]时，(x)[(2),(1)][1,2]，且因此迭代格式xk1(xk)(k0,1,2,)对任意x0[1,2]均收敛。、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0计算三次，保留五位小数。15=1.7,解：3是f(x)x230的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式为x23x3xn1xnxn(n0,1,2,)2xn1，即22xn取x0列表以下：=1.7,1231.732351.732051.73205、已知f(-1)=2，，，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1，5)的近似值，取五位小数。16f(1)=3f(2)=-4L(x)2(x1)(x2)3(x1)(x2)4(x1)(x1)解：2(11)(12)(11)(12)(21)(21)、用复合梯形公式求1exdx的近似值（取四位小数）,并求误差估计。017n=3,110[e02(e13e23)e1]1.7342exdxT3解：023f(x)ex,f(x)ex，0x1时，|f(x)|e最少有两位有效数字。-本源网络，仅供个人学习参照30113118、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组114取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：

x15x21x3=8，301131系数矩阵114严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.T取x=(0,0,0)，列表计算以下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.3解：span{1,x2}解方程组ATACATyATA43391ATy173.633913529603179980.7其中C0.92555770.0501025因此a0.9255577，b0.0501025解得：1exdx时，试21、（15分）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算0用余项估计其误差。用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。解：RT[f]bah2f()11e010.00130212128276822、（15分）方程x3x10在x1.5周边有根，把方程写成三种不相同的等价形式（1）xx1对应迭代格式xn11；(2)x11xn11133xnx对应迭代格式xn；（3）xx31对应迭代格式xn1xn31。判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5周边的根，精确到小数点后第三位。-本源网络，仅供个人学习参照12(x)(x1）3（1.5）0.181，故收敛；解：（1）3，(x)11（2）2x21（1.5）0.171，故收敛；x，3）(x)3x2，（1.5）31.521，故发散。选择（1）：x01.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249，x51.32476，x61.3247223、（8分）已知方程组AXf，其中4324A341f3014，241）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的重量形式。2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。x1(k1)1(243x2(k))4x2(k1)1(303x1(k)x3(k))4x3(k1)1(24x2(k))4解：Jacobi迭代法：k0,1,2,3,x1(k1)1(243x2(k))4x2(k1)1(303x1(k1)x3(k))41(x3(k1)24x2(k1))4Gauss-Seidel迭代法：k0,1,2,3,030BJD1(LU)3430434(BJ)5(或10)0.79056900，84425、数值积分公式形如1xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽0量高；（2）设f(x)C4[0,1]，推导余项公式R(x)1xf(x)dxS(x)，并估计误差。0解：将f(x)23A3,B7,B1,D11,x,x,x分布代入公式得：20203020-本源网络，仅供个人学习参照H3(xi)f(xi)构造Hermite插值多项式H3(x)满足H3(xi)f(xi)i0,1其中x00,x111xH3(x)dxS(x)，f(x)H3(x)f(4)( )x2(x1)2则有：04!27、（10分）已知数值积分公式为：hh[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]f(x)dx，试确定积分公式中的参数，使其代数02精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)1显然精确建立；hh2f(x)xxdx2时，0h2h3f(x)x2时，0xdx3h3h4f(x)x3时，0xdx4h4h5f(x)x4时，0xdx5因此，其代数精确度为

h[0h]h2[11]2；h[0h2]h2[02h]h32h12212；h[0h3]1h2[03h2]；212h[0h4]1h2[04h3]h52126；3。28、（8分）已知求a(a0)的迭代公式为：证明：对所有k1,2,,xka，且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛。xk11(xka)12xkaak0,1,2证明：2xk2xk故对所有k1,2,,xka。xk11a11)1又xk(12)(1因此xk1xk，即序列xk是单调递减有下界，从而迭2xk2代过程收敛。33[f(1)f(2)]29、（9分）数值求积公式f(x)dx可否为插值型求积公式？为什02么？其代数精度是多少？x2x1解：是。由于f(x)在基点1、2处的插值多项式为p(x)2f(1)f(2)121-本源网络，仅供个人学习参照33[f(1)f(2)]p(x)dx02。其代数精度1。30、(6分)写出求方程4xcosx1在区[0,1]的根的收的迭代公式，并明其收性。分)xn11cosxn，n=0,1,2,(6xn41⋯111∴任意的初x0'x4sinx4[0,1],迭代公式都收。31、(12分)以100,121,144插点，用插法算115的近似，并利用余估差。用Newton插方法：差分表：101000.0476121190-0.000094110.043411361417834210+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555I1sinx0dx32、(10分)用复化Simpson公式算分x的近似，要求差限0.510