高中数学圆锥曲线(抛物线、双曲线、椭圆)重点难点

高中数学圆锥曲线（抛物线、双曲线、

椭圆）重点难点

姓名：__________

指导:__________

日期：__________

0

k

圆锥曲线知识点、考点罗列

1.轨迹方程

【知识点的认识】

1.曲线的方程和方程的曲线

在平面内建立红角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x,y）表示，这就是

动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x,y）中的变量x、y存在着某种

制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变局x、y的方程.

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一

个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如5的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解：

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线.

2.求曲线方程的•般步骤（直接法）

（】）建系设点：建立适当的自用坐标系，用（x,y）表示曲线上任一点V的坐标：

（2）列式：写出适合条件p的点M的集合Mp（M））；

（3）代入:用坐标表示出条件p（M）.列出方程f（x,y）=0：

（4）化简：化方程f（x,y）=0为最简形式；

（5）证明：证明以化筒后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】

<1）直接法：根据题目条件，”.译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两

点间的距阈公式、点到在线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化筒.这种求轨迹方程的过

程不需要特殊的技巧.

0

（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），

可用定义直接探求.关键是条件的转化，即转化为某•基本轨迹的定义条件.

（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x,y）表示已知动点M的坐标（x。，y.）,即得到xEf

（x,y）,y,-gCx.y）,再将x”y“代入M满足的条件F（Xo,y“〉-0中，即得所求.一般

地，定比分点问题、时称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点一转换一代人

一化简.

（4）待定系数法

（5）参数法

（6）交轨法.

2.圆与圆的位置关系及其判定

【知识点的认识】

1.圆与圆的位置关系

oOcOcD@©

外离外切相交内切内含

2.圆与圆的位置关系的判定

设两圆圆心分别为。，0”半径分别为r"r”|OQ/=d

（D几何法:利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断

①外离（4条公切线）：d>n+r.，

②外切（3条公切线）：d=r,+n

③相交（2条公切线）：In-r」vd<n+n

④内切（1条公切线）：d=|r「n|

⑤内含（无公切线）：0<d<|r「r」

（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元：次方程，但要注意•个x值可能对应两个y值.

0

3.椭圆的简单性质

【知识点的认识】

由图可知：

•a<x<a

-b<y<b

桶踞在配能•土柢-土麻网成的走影内。

由图可知：

桶83关干甘由,、轴及原菽对称。

坐稔轴为椭圆对梆由，坐标僚点罡其对称中心,

对称中心也叫确图的中心.

顶点：椭园勺对称轴的交点叫做椭圆的顶点.

顶点坐标(如上图)：A,(-a,0),A..(a.0),Bt(0,-b),&(0,b)

其中,线段AA，BB分别为拖©I的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做

饰圆的长半轴长和短半轴长.

4.椭圆的离心率

①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比f叫做椭圆的离心率,用e表示，即：e£fi0<e<l.

aa

②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不…样:

o

e越大越接近1,椭圆越扁平,相反，e越小越接近0,椭圆越圆.当且仅当时，c=0,椭

圆变为圆，方程为x；+y'a-'.

5.椭圆中的关系：#-b'+c'.

4.椭圆的应用

【知识点的知识】

椭圆定义的应用：

1、利用定义求椭恻的标准方程：

2、利用椭圆上点P与两焦点的距离等于2a解决焦点三角形问题.

5.抛物线的简单性质

【知识点的知识】

抛物线的简单性成：

原次方

旷=内y2=-2pxx2=-2py

程2/=2W

食点F(-5Q)尸9,少Fe,q)

准他…工x=—V3——

222

落国xN0,ywRx£G,ywRxe坛yNOxw&yMO

对聊轴X轴

顶点(0.0)

富心率e-1

像半径1舛”网吟+%l附与当阿=/冈

---------2-------

6.抛物线的应用

0

【知识点的知识】

抛物线的简单性质:

标It方

八2"y2=-2px/=2x2=-2py

程吩

呜a

怎点F修

械…工y»-£

222

落80xN&ywRxeR.y^O1y40

对麻轴y福

顶点(0.0)

惠心率1

舞隼径网咤+A网

阳="网4+,网W+MI

7.双曲线的定义

【定义】

双曲线(Hyperbola)是指叮平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,

也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.双曲线是网锥曲线

的一•种，即忱锥而与平面的交截线.双曲线在•定的仿射变换3也可以看成反比例函数.两

个定点FLF2叫做双曲线的焦点(focus),定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心

率.

【标准方程】

①4-4=1(a,b>0),衣示焦点在x轴上的双曲线：

②§=1(a,b>0),表示焦点在y轴上的双曲线.

【性质】

这里的性质以4-4=1(a,b>0)为例讲解：

0

①焦点为(土c,0),其中u=a-b；②准线方程为：X=±£;③离心率0=£>1；④渐近线：

ca

y二土也X；⑤焦半径公式：左焦半径：r=|ex+a|,右焦半径：r=Iex-a|.

a

【实例解析】

例1：双曲线的渐近线方程为

416

2222

解：由2_-上广0可得y=±2x,即双曲线工-q=l的渐近线方程是丫=±2*.

416416

故答案为:y=±2x.

这个小题主要考察r对渐近线的理解，如果是在记不住，可以把那个等号后面的1看成是

0,然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线.

例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x-2y-0,且过点P(4,3),求双曲线的标准方程

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x-2尸0,

设双曲线方程为(X*0).

4

•.•双曲线过点P(4.3),

2

.•.工-3」-人，即A=-5.

4

二所求双曲线方程为正-y~-5,

4

即：9-F=i.

520

一般来书，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到

a、b、c二者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数

法就可以直接写出函数的表达式了.

【考点点评】

0

这里面的两个例题是最堪本的,必须要掌握，由r双曲线•般是在倒数第：个解答题出现,

难度•股也是相当大的,在这里可以有所取舍.时于基础一般的同学来说，尽展的把这些基础

的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，於1量多写.

8.双曲线的简单性质

(知识点的知识】

双曲线的标准方程及几何性质

标准方$(a>0,b>0)《-Ji(a>0,b>0)

bab

程

图形7

焦点F>(-c,C),F2(c,0)Fl(0,-c),F2(0,c)

焦距|F,F2|=2C排RI

范围|x|ea,y£R|y|2a,x6R

对称关于x轴,y轴和原点对称

顶点(-a.0).(a10)(0»-a)(0,a)

轴实轴长2a,虚轴长2b

性质离心率(e>l)

准线x=±^y二士二

cc

渐近线卫士/0—

aDba

9.双曲线的应用

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【知识点的知识】

双曲线的标准方程及几何性质

标准方程z!_Z=1(a>0,b>0)2j-i，(a>0,b>0)

Jk

11/区

N1

—j琳it—x।

焦点F,(-c,0),F,(c,0)F>(0,-c),Fz(0,

焦距|F,F?|=2ca'+bJc?

范围|x|Na,yWR|y1>a.xeR

对称关于x轴，y轴和原点对称

顶点(-a,0).(a,0)(0.-a)(0,a)

轴实轴长2a,虚轴长2b

性离心率e=((e>l)

准线x=土止y=±-s!

CC

侦渐近线工a士p料1b±±a=1

10.圆锥曲线的共同特征

【知识点的知识】

圆锥曲线的共同特征：

网锥去想上的点到一个定点的距离与它到定汽线的距离之比为定值e.当0<eVl时，圆

锥曲线是椭圆；当e>l时,圆锥曲线是双曲线；当e=l时，圆锥去想是抛物线.其中定点是

圆锥曲线的一个焦点，定有线是相应于这个交点的准线.

0

11.直线与圆锥曲线的关系

【直线与恻锥曲线的关系】

H线与例锥曲线的关系主要是相不相交，交点个数为多少，由此而引出的圜锥曲线到直线

的距离,圆锥曲线与直线相切，刃线截圆锥曲线的线段长度等问题,是高考的•个邕点,也是

高考的•个难点.卜面简单的说•个例题供大家参悟.

【例题讲解】

例：已知aABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),且AC,BC所在直线的

斜率之积等fm5X0).

(1)求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；

(2)301=-1时，过点F(l,0)的fi线1交曲线E于M,'两点，设点、关干x轴的对称点

为Q(M,Q不，K合)试问：江线MQ与x轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，清

说明理由.

解：(1)设点C(X,y),IllAC.BC所在克线的斜率之积等于m(mWO),

得：nlXl=B,化简得：-Mx'y'l(x#0).

XX

"im<-1时,轨迹E丧示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0,D,(0,-1)两点：

当m--1时，轨迹E表示以(0,0>为圆心，半径是1的圆，且除去(0,I).(0.-1)两

点；

当时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,-1)两点：

时，轨迹E我示焦点在y轴上的双曲线,且除去(0，I),(0.-1)两点.

(2)当m=-/曲线E的方程为易y〜(吊0).

由题意可知直线I的斜率存在切不等于0,则可设1：y=k(x-1),

再设M(Xi>yj,N(x〃yj,Q(x>,-yz)(x,#x?).

o

y=k(x-1)

联立J,2］，得(H2k‘)x?-4k,x+2k'・2二0.

.4k22k2-2

••Xi+x2=------5*X1X2=-------F，

1/l+2k2I/l+2k2

VM,Q不重合,则XjHx,,y1#-y?.

；.MQ所在直线方程为y-y户卫1(x-x,),

1X|-X。

2k2-2_4k2

,l+2k2l+2k2,

------------j-----------=2.

处-2

1+2k2

宜线MQ过定点(2,0).

这个题符合高考的一贯命题思路，先求曲线表达式，第：问讨论的是直线与点的关系，严格

的来说线段也可以说是点的关系.解题思路就是应用韦达定理，把直线的自变量和因变量都用

X”x,和参数k表示，然后看自变量和因变量的关系，应该说思路不难，难点在于计算，这也

告诉大家，要解决好这类题，计算能力必须加强，另外.考的时候尽量合理利用时间.

(号点点评】

本考点是非常重要的•个考点，基本上都是作为压轴题的形式在考试中出现，解决这类

题除「掌握常用的一些方法外，还需要加强计算的能力，在考试当中尽量的多拿分.

12.直线与圆锥曲线的综合问题

【概述】

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点线与圆锥曲线的综合问期是高考的必有点，比方说求封闭面枳，求距离，求他们的关

系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变

形去求解.

【实例解析】

例：已知恻锥曲线C上任意一点到两定点F,(-1,0),F.(1.0)的距离之和为常数，曲线

(:的离心率

(1)求眼锥曲线C的方程;

(2)设经过点Fz的任意一条直线与圆锥曲线C相交fA>B,试证明在x轴上存在一个定点P,

使训•质的值是常数.

解：(1)依题意，设曲线C的方程为£+彳=1<a>b>0),

<iZb2

Ac1,

・・c1

,二可