二次函数的应用-2023一模期末考试汇编

专题9二次函数的应用

【知识精讲】

求解二次函数应用，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值.

这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量

的取值范围.

【历年真题】

1.（2021秋•虹口区期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高

点。到水面AB的距离为4米.如果此时水位上升3米就达到警戒水位CQ,那么CD宽为（）

A.米B.10米C.4几米D.12米

2.（2021秋•松江区期末）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）

I25

关于水平距离x（米）的函数解析式为旷=-五1+§犬+§,那么铅球运动过程中最高点

离地面的距离为米.

3.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，

如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x（x>0）,那么y关于x的函数解析式

为

4.（2021秋•浦东新区期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方

形四周剩下部分的宽度均为x,若剩下阴影部分的面积为y,那么y关于x的函数解析

式是—.

5.（2021秋•长宁区期末）抛物线y=-f+fer+c经过点A（0,3）,B（-1,0）.

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标.

（2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点4的位置，那么其平移的过程是—，平移后的抛

物线表达式是—.

6.（2021秋•松江区期末）已知一个二次函数图象的顶点为（1,0）,与y轴的交点为（0,1）.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象.

y

X

7.(2021秋•杨浦区期末)已知二次函数^=*4(:+5.

(1)用配方法把二次函数y=2f4r+5化为产a(x+加？+%的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对

称轴和顶点坐标；

(2)如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A,与)，轴交于点B,

顶点为C,求的面积.

8.(2021秋•徐汇区期末)二次函数/to=a?+bx+c的自变量x的取值与函数y的值列表如下:

X-2-10234

y=f(x)…-503•・・30-5

(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；

(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线尸上，并写出平移后二次函数的

解析式.

9.(2021秋•宝山区期末)在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A(-1,2),且经过8

(-3,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图

象与x轴的另一个交点的坐标.

10.(2021秋•黄浦区期末)已知二次函数y=/+bx+c的图象经过A(2,-3)、8(5,0)

两点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)将该二次函数的解析式化为y=a(x+〃?)2+%的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标

和对称轴.

11.(2021秋•闵行区期末)如图，已知在RtZ^ABC中，/AC8=90°,tan/CA8=2,点

A的坐标为(-1,0),点8在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上.

(1)求经过8、C两点的直线的表达式；

(2)求图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式.

12.(2021秋•嘉定区期末)己知二次函数y=a?+bx+c的图象经过点A(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标.

【考点2］二次函数的定义新运算

1.(2021秋•静安区期末)我们将平面直角坐标系xQy中的图形。和点P给出如下定

义：如果将图形。绕点P顺时针旋转90。得到图形O,那么图形。称为图形。关

于点P的“垂直图形已知点A的坐标为(-2,I),点B的坐标为(0,1),△

关于原点。的“垂直图形”记为△400,点A、B的对应点分别为点A，、B',

(1)请写出：点4的坐标为；点方的坐标为；

(2)请求出经过点A、B、B的二次函数解析式；

(3)请直接写出经过点A、B、的抛物线的表达式为

2.(2021秋•浦东新区期末)定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，

线段长就是抛物线关于直线的“害I］距”.已知直线y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点8,点B恰

好是抛物线y=-(x-〃?)2+〃的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是.

专题9二次函数的应用

【历年真题】

【考点1］二次函数的应用

1.（2021秋•虹口区期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高

点O到水面AB的距离为4米.如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD,那么CD宽为（B）

A.4君米B.10米C.4m米D.12米

【分析】以。点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过。点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设

抛物线的解析式为y=ox2,由此可得A（-10,-4）,B（10,-4）,即可求函数解析式为y=-

装x2,再将y=-l代入解析式，求出C、。点的横坐标即可求CD的长.

【详解】解：以。点为坐标原点，的垂直平分线为y轴，过。点作y轴的垂线，建立直角坐标

系，

设抛物线的解析式为y=/,

•.•。点到水面AB的距离为4米，；.A、B点的纵坐标为-4,

•水面AB宽为20米，...A（-10,-4）,B（10,-4）,

将A代入y—ux^,-4=100iz>a--,•*.y—-,

•.•水位上升3米就达到警戒水位CD,

•••C点的纵坐标为-1,

A-1=--X2,：.x=+5,：.CD=IO,

25

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键.

2.（2021秋•松江区期末）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）

关于水平距离x（米）的函数解析式为y=-」~/+士》+士，那么铅球运动过程中最高点

1233

离地面的距离为3米.

【考点】二次函数的应用.

【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可.

【解答】解：由题意可得:

1251/2C、51八2c

y=----x2+—x+—=----(x-8x)+—=z(x-4)+3,

■123312312

故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键.

3.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，

如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x(x>0),那么)，关于x的函数解析式

为V=(1+X)2.

【考点】根据实际问题列二次函数关系式

【专题】二次函数的应用；应用意识

【分析】2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以y=100(1+x)2.

【解答】解：y=100(1+x)2.

故答案为：y=100(1+x)2.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求平均变化率的方法.

4.(2021秋•浦东新区期末)在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方

形四周剩下部分的宽度均为x,若剩下阴影部分的面积为y,那么y关于x的函数解析

式是y=-4f+8x.

【考点】根据实际问题列二次函数关系式

【专题】二次函数的应用；应用意识

【分析】先表示出小正方形的边长，再根据剩下阴影部分部分的面积=大正方形的面积-小正方形的

面积得出y与x的函数关系式即可.

【解答】解：.••在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为

X,...小正方形的边长为2-2x,

根据题意得：y=22-(2-2x)2,

整理得：y=-4/+8x.故答案为：y=-4?+8x.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-

小正方形的面积列式是解题关键.

5.(2021秋•长宁区期末)抛物线y=-f+bx+c经过点4(0,3),B(-1,0).

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标.

(2)填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是—，平移后的抛

物线表达式是

【详解】解：(1)把A(0,3),B(-1,0)代入y=-f+bx+c得，

fc=3[h=2

…八，解得于

[-l-Z>+c=0[c=3

所以这个二次函数的解析式为y=-f+2x+3；

将y=-f+2x+3化成顶点式为y=-(x-l)2+2,顶点坐标为(1,2)；

(2)由于y=-/+2x+3的顶点坐标为(1,2),将该抛物线平移，使它的顶点移到点4(0,3)的位

置，那么其平移的过程是向左平移1个单位，向上平移1个单位；

所以新抛物线的解析式为y=-(x-0)2+3即y=-f+3,

故答案为：向左平移1个单位，向上平移1个单位；)，=4+3.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平

移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系

数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

6.(2021秋•松江区期末)已知一个二次函数图象的顶点为(1,0),与y轴的交点为(0,1).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)在所给的平面直角坐标系xOj中，画出这个二次函数的图象.

Ox

【分析】(1)设抛物线解析式为y=a(rlE将(0,1)代入解析式求解;

(2)根据二次函数解析式作图即可.

(1)设抛物线解析式为y=a(x-l)2,

将(0,1)代入y=a(x-l)2得：a=1,.,.y—(x-1)2；

(2)二次函数图像如下图所示：

【点睛】本题考查二次函数的图像以及用待定系数法求二次函数，掌握顶点式的形式是解题的关键.

7.(2021秋•杨浦区期末)已知二次函数y=2^-4x+5.

(1)用配方法把二次函数y=2f4x+5化为y=a(x+m)2+左的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对

称轴和顶点坐标；

(2)如果将该函数图象沿y轴向下平移5个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点4,与y轴交于点8,

顶点为C,求△ABC的面积.

【分析】(1)根据二次函数的图象与性质解答即可；

(2)根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A、B、C坐标即可求解.

(1)解：(1)(x-1)?+3,

.•.该二次函数的顶点式为y=2(x-1)2+3,图象开口向上，对称轴为直线41,顶点坐标为3,

3)；

(2)解：平移后的新抛物线的解析式为y=2(x-1)2+3-5=2(x-1)2-2,：.C(1,~2),

当y=0时，由2(x-1)2-2=0得：xi=0,X2=2,

AA(2,0),B(0,0),即AB=2,

...△ABC的面积为，2x2=2.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的

交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键.

8.(2021秋•徐汇区期末)二次函数/WnaF+bx+c的自变量元的取值与函数y的值列表如下:

X-2-10234

y=fM…-50330-5

(1)根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；

(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线产x上，并写出平移后二次函数的

解析式.

【分析】(1)由二次函数/㈤na^+bx+c过(-1,0),(3,0)设抛物线的交点式为#x)=a(x+1)

(x-D再把(0,3)代入抛物线的解析式求解a的值，再配方，求解顶点坐标即可；

(2)平移后二次函数图像的顶点落在直线尸上，顶点的横坐标与纵坐标相等，由顶点坐标为：

(1-4)再分两种情况讨论：当顶点坐标为：(1,1)时，当顶点坐标为：(4,4)时，再写出平

移方式即可.

(1)

解：#x)=ax2+bx+c过(-1,0),(3,0)

设_/W=a(x+1)(x-1)把(0,3)代入抛物线的解析式可得：-3a=3

解得：a=-l

所以抛物线为：f(x)=-(x+1)(x-1)=-3+2x+3

而/x)=-(x-1)2+4

所以顶点坐标为：(1,4)

(2)解：：平移后二次函数图像的顶点落在直线y=x上，

,顶点的横坐标与纵坐标相等，

而顶点坐标为：(1,4)

当顶点坐标变为：(1,1)时，

把抛物线力幻=-(x-l)2+4向下平移3个单位长度即可；

此时抛物线为：加)=-01)2+1

当顶点坐标变为：(4,4)时，

把抛物线力㈤:(x-1)2+4向右平移3个单位长度即可.

此时抛物线为:f(x)=-(x-1)2+4.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，利用配方法求解抛物线的顶点坐标，抛

物线的平移，正比例函数图象上点的坐标特点，熟练的掌握抛物线的性质是解本题的关键.

9.(2021秋•宝山区期末)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数图象的顶点为4(-1,2),且经过8

(-3,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图

象与x轴的另一个交点的坐标.

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与X轴的交点；二次函数的性

质；待定系数法求二次函数解析式

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识

【分析】(1)有顶点就用顶点式来求二次函数的解析式；

(2)由于是向右平移，可让二次函数的y的值为0,得到相应的两个x值，算出负值相对于原点的距离，

而后让较大的值也加上距离即可.

【解答】解：(I)二•二次函数图象的顶点为A(-1,2),

二设二次函数解析式为y=a(x+1)2+2,

把点B(-3,0)代入二次函数解析式，得：

0—a(-3+1)2+2,解得:a——,

2

11Q

22

二次函数解析式为(x+1)+2,BPy=-lx-x+|;

(2)令y=0,得/+2x-3=0,

解方程得：x\=-3,X2=i,

...二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(-3,0)和(1,0),

...二次函数图象上的点(-3,0)向右平移3个单位后经过坐标原点，

故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上

加下减“利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键.

10.(2021秋•黄浦区期末)已知二次函数y=/+bx+c的图象经过4(2,-3)、8(5,0)

两点.

(1)求二次函数的解析式；

(2)将该二次函数的解析式化为y=a(x+m)2+/的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标

和对称轴.

【分析】(1)将两点坐标代入解析式，解得久c的值，表达二次函数的解析式；

(2)将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，顶点坐标为(一机次)，对称轴为直线X=-胆.

(1)

解：将4(2,—3),8(5,0)代入丫=/+法+。

〜\-3=22+2b+c

有V

0=52+5Z>+C

[b=-6

解得<

[c=5

二次函数的解析式为y=Y-6x+5.

（2）

解：y=x2-6x+5=（x-3）--4

y=（x-3）2-4

.•.a=l>0,二次函数图像开口向上；顶点坐标为（3,Y）；对称轴为直线x=3.

【点睛】本题考查了二次函数的不同表达方式与函数图像.解题的关键在于正确表示解析式的形式.

11.（2021秋•闵行区期末）如图，已知在RtA4BC中，NACB=90。，tan/CAB=2,点

A的坐标为（-1,0），点8在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上.

（1）求经过8、C两点的直线的表达式；

（2）求图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式.

【考点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；待定系数法求一次函数解析式.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【分析】（1）通过tan/C4B=2,NAC8=90。可得CO=2A。，BO=2CO,然后通过待定系数法求函数解

析式.

（2）通过待定系数法求函数解析式.

OC

【解答】解：（1）在RSAOC中，VtanZCAB=—=2,

OA

...OC=2Q4=2,.•.点C坐标为（0,2）,

VZACB=90°,AZACO+ZBCO=90°,

,：ZACO+ZBAC=90°,：.ZBCO^ZBAC,

BO

：.tanZBCO=——=2,：.OB=2CO=4,

CO

点B坐标为（4,0）,

设BC所在直线解析式为y=kx+b,

2=h

将(0,2),(4,0)代入y=fcv+b得

0=4k+b'

k=__i

解得21:.y=--x+2.

b=22

(2)设抛物线解析式为y=/+bx+c,

1

a=——

0=a-b+c2

将(-1,0),(0,2),(4,0)代入丫=/+云+。得得■2=c，解得,=士

2

0=16a+4/?+c

c=2

r.v=­x2H—x+2.

22

【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握解直角三角

形的方法.

12.(2021秋•嘉定区期末)己知二次函数yua^+bx+c的图象经过点4(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标.

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的三种形式；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解

析式

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力

【分析】(1)把A(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1)代入二次函数关系式，列出三元一次方程

组进行计算即可；

(2)利用配方法进行计算即可解答.

【解答】解：(1)把A(3,-2)、B(2,-3)、C(0,1)代入)=苏+灰+。中

9a+3匕+c=-2,a=1

得：＜4〃+2b+c=—3,解得：,。-4,

c=1|c=1

所以，这个二次函数的解析式是y=W-4x+l；

(2)-4x+l=f-4x+4-4+1=(x-2)2-3,

所以，这个二次函数图象的顶点坐标为(2,-3).

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性

质，二次函数的配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键.

【考点2］二次函数的定义新运算

1.（2021秋•静安区期末）我们将平面直角坐标系xOy中的图形。和点尸给出如下定

义：如果将图形D绕点P顺时针旋转90。得到图形D',那么图形沙称为图形D关

于点尸的“垂直图形已知点A的坐标为（-2,1）,点B的坐标为（0,1）,△

A8O关于原点。的“垂直图形”记为△AB。，点A、8的对应点分别为点A，、B',

（1）请写出：点©的坐标为（1,2）；点用的坐标为（1,0）；

（2）请求出经过点4、B、方的二次函数解析式；

（3）请直接写出经过点A、B、的抛物线的表达式为互3/±|•任1

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的三种形式；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解

析式

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转；待定系数法求二次函数解析式

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力

【分析】（1）由旋转可得A9=M=2,OB'=OB=\,进而求解.

（2）通过待定系数法求解.

（3）通过待定系数法求解.

【解答】解：（1）如图，

由旋转可得Ab=A6=2,OB'=OB=1,

.••点A'坐标为（1,2）,点£坐标为（1,0）.

故答案为：（1,2）,（1,0）.

（2）设抛物线解析式为y=o？-6x+c,

1

a=—

1=428+c3

?

将(-2,1),(0,1),(1,0)代入>=依2+及+。得[]=c解得b

3

0=。+〃+c

c=l

121

..y=—x2—x+1.

33

(3)设抛物线解析式为y=o？-&v+c,

1=4。一22+c

将(-2,1),(0,1),(1,2)代入y=ax?+fev+c得<1=c

2=a+h+c

1

a=—

3

解得人=；2，

3

c=1

故答案为：y=-x2+—x+1.

33

【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握图形旋转的性质，掌握待定系数法求函数解析

式.

2.（2021秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，

线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”.已知直线y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点以点8恰

好是抛物线y=-（x-〃2）2+”的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是_夜_

【考点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图

象上点的坐标特征

【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识

【分析】根据直线y=-x+3,可以求出该直线与y轴的交点，从而可以得到点5的坐标，再根据点8

恰好是抛物线y=-（x-利）2+〃的顶点，即可得到四、"的值，然后将抛物线与直线建立平面直角坐

标系，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线y的割距.

【解答】解：（1）•••y=-x+3,.•.当x=0时，y=3,

.••点8的坐标为（0,3）,

•点B恰好是抛物线y=-（x-加）2+”的顶点，二加=0,〃=3,

抛物线y=-f+3,[>=二+3,

[y=_厂+3

==

AT,/日fx0[x1

解得《或《，

l>=3[y=2

抛物线与直线y的交点为（0,3）,（1,2）,

此时抛物线关于直线y的割距是：7（1-«）2+（3-2）2=夜，

故答案为：V2.

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题

的关键是求出抛物线与直线的交点坐标.

专题8二次函数的图像和性质

【知识精讲】

1、二次函数

一般地，解析式形如丫=〃2+公+，（其中“、氏c•是常数，且的函数叫做二次函数.

二次函数'=〃?+法+c的定义域为一切实数.而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确

定.

2、二次函数的图像和性质

3、二次开口方顶点坐对称函数：

”的符号1•生质

二次函向标轴数y=

ax2的平移

x>-m时，y随x的增大而增大；x<

这两(-m,直线次平

a>0向上-m时，y随尤的增大而减小；x=-m

移可k)x=-m以

时，y有最小值k.

是：先向

x>-in时，y随x的增大而减小；x<

左(机>0

(-m,直线

-m时,y随x的增大而增大；x=-m

时）6Z<0向下平移

k)x=-m

tn个时，y有最大值k.单

位，二次函数变为y=a（x+m）2,向右（，??>0时）平移，"个单位二次函数变为y=aCx-m'）2,向上

（Q0时）Z个单位二次函数变为丫=一+2或向下（QO时）平移上个单位，二次函数变为），=。//

【历年真题】

【考点1］二次函数的概念

1.（2021秋•虹口区期末）下列函数中，属于二次函数的是（）

A.y=yjx2+xB.y=（x-l）2-x2C.y=5x2D.y=—

x

2.（2021秋•嘉定区期末）下列函数中是二次函数的是（）

1°,

A.y=x-lB.y=—C.y=（x-2）2-D.y=x（x-1）

x

3.（2021秋•普陀区期末）已知函数/（%）=/一31+1,如果x=3,那么f（x）=.

4.（2021秋•宝山区期末）已知二次函数y=gY+x-i,当x=-3时，函数y的值是

5.（2021秋•奉贤区期末）函数y=上的定义域是

x+1

【考点2］二次函数的图像

1.（2021秋•长宁区期末）抛物线（其中4>0、b<0,c>0）一定不经过的象

限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2021秋•徐汇区期末）下列对二次函数y=-2（x+1）2+3的图象的描述中，不正确的

是（）

A.抛物线开口向下B.抛物线的对称轴是直线x=-1

C.抛物线与y轴的交点坐标是（0,3）D.抛物线的顶点坐标是（-1,3）

3.（2021秋•普陀区期末）下列抛物线经过原点的是（）

A.y=x2-2xB.y=Cx-2）2C.y=/+2D.y=（x+2）（x-1）

4.（2021秋•奉贤区期末）在平面直角坐标系中，下列函数的图象过点（-1,1）的是（）

1

A.y=x-1B.y=-x+1C.y=—D.y=jr9

x

5.（2021秋•嘉定区期末）已知抛物线y=（6z-1）/+2的顶点是此抛物线的最低点，

那么。的取值范围是（）

A.WOB.存1C.a>1D.a<1

6.（2021秋•黄浦区期末）二次函数y=«x2+6x+c的图象如图所示，那么点尸（b,巴）在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.(2021秋♦闵行区期末)下列二次函数与抛物线y=-?+2x-3的对称轴相同的函数是

()

A.y=-J?+4X-3B.y=-2X2-3xC.y=3x1+6x-7D.y=^x2-x+5

8.(2021秋•闵行区期末)二次函数>=以2+法+。(aWO)的图象如图所示，现有以下结论:

(1)b>0；(2)abc<Oi(3)a-b+c>0；(4)a+b+cX)；(5)庐-4ac>0,其中正确

的结论有()

9.(2021秋♦崇明区期末)已知二次函数yucV+bx+c(aWO)的图象如图所示，那么下列

结论中正确的是()

A.ac>0B.当x>-l时，y>0C.b=2aD.9a+3h+c=0

10.(2021秋•长宁区期末)抛物线y=2?-1的顶点坐标是

11.（2021秋•黄浦区期末）如果抛物线y=-7+bx-1的对称轴是y轴，那么顶点坐标

为.

12.（2021秋•静安区期末）如果抛物线y=/+，nx+4的顶点在x轴上，那么常数〃?的值是.

13.（2021秋•浦东新区期末）已知二次函数y=---2x+3-"为常数），若该函数图象与x轴只有一个公

共点，则”=.

14.（2021秋•宝山区期末）如果抛物线'=7+法+机-1的顶点在x轴上，那么根的值是.

15.（2021秋•杨浦区期末）抛物线y=7+3与y轴的交点坐标为.

16.（2021秋•青浦区期末）二次函数y=-7-x-1的图象有最—点.（填“高”或“低”）

17.（2021秋•杨浦区期末）二次函数y=7-4x图象上的最低点的纵坐标为.

18.（2021秋•静安区期末）如果某抛物线开口方向与抛物线y=的开口方向相同，那么该抛物线有最

点.（填“高”或"低”）

19.（2021秋•金山区期末）抛物线y=/经过点（1,-2）,那么这个抛物线的开口

向.

20.（2021秋•崇明区期末）如果抛物线y=（k-2）f的开口向上，那么k的取值范围

是.

21.（2021秋•虹口区期末）如果抛物线y=（2-。）/+2开口向下，那么。的取值范围是.

22.（2021秋•虹口区期末）二次函数丫=Cm-1）?+x+/n2-1的图象经过原点，则机的值

为.

23.（2021秋•闵行区期末）如果抛物线y=，+〃?+l的顶点是坐标轴的原点，那么胆=.

24.（2021秋•崇明区期末）如果抛物线y=-7+3x-l+/n经过原点，那么机=.

25.（2021秋•奉贤区期末）如果抛物线y=（x-2）?+火不经过第三象限，那么%的值可以是.（只

需写一个）

26.（2021秋•松江区期末）如果一个二次函数图象的对称轴是直线x=2,且沿着x轴正方

向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式.

27.（2021秋•嘉定区期末）抛物线），=（m+3）?+x-l在对称轴右侧的部分是上升的，那么m的取值范围

是.

28.（2021秋•金山区期末）抛物线y=3-7位于），轴左侧的部分是的.（填“上

升”或“下降”）

29.（2021秋•青浦区期末）如果抛物线产0?+反+0（其中。、b、c是常数，且a*0）在对称轴左侧的部分

是下降的，那么"0.（填或“>"）

30.（2021秋•黄浦区期末）已知一条抛物线经过点（0,1）,且在对称轴右侧的部分是下

降的，该抛物线的表达式可以是（写出一个即可）.

31.（2021秋•普陀区期末）已知抛物线的开口方向向下，对称轴是直线x=0,那么这条抛物线的表达式可

以是—（只要写出一个表达式）.

32.（2021秋•普陀区期末）己知二次函数y=a（x+1）2+c（a#0）的图象上有两点A（2,4）、B（m,4）,

那么m的值等于—.

33.（2021秋•虹口区期末）如果抛物线过点（-2,3）,且与），轴的交点是（0,3）,那么抛物线的对称轴

是直线—.

34.（2021秋•嘉定区期末）抛物线y=-/-2x+l的对称轴是.

35.（2021秋•金山区期末）抛物线y=/+2x的对称轴是直线.

36.（2021秋•浦东新区期末）抛物线^=/+以+2的对称轴是直线.

37.（2021秋•长宁区期末）已知抛物线丫=加+法-2（必＞0）与y轴交于点4,过点A作x轴的平行线交

抛物线于点8,若AB=2,则点8坐标为.

38.（2021秋•奉贤区期末）用描点法画二次函数的图象需要经过列表、描点、连线三个步骤.以下是小明

画二次函数y^a^+bx+c图象时所列的表格：

X-4-3-202

y30-1315

根据表格可以知道该二次函数图象的顶点坐标是

39.（2021秋•崇明区期末）已知二次函数y=/+%x+c（a#0）自变量x的值和它对应的

函数值y如表所示：

X・・・-10123・・・

y・・・0343m・・・

那么表中的值为.

40.（2021秋•徐汇区期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x=-l,根据图中信息可求得该二次函

41.（2021秋•徐汇区期末）如果点A（2,yi）,B（5,”）在二次函数-2x+”图象

上，那么yiV2（填＞、=或＜）.

42.（2021秋•闵行区期末）已知抛物线/G）=；/+加+'的图象的对称轴为直线*=4,

那么/（3）.（填“＞”或“〈”或“=”）

43.已知点A(xi，yi)、B(&，”)为函数y=-2(x-1)2+3的图象上的两点，若xi<

X2<0，则viVV2(填或"V")

【考点3］二次函数的平移

1.(2021秋•宝山区期末)把抛物线y=(x-1尹+3向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为()

A.y=(x-1)2+5B.y=(尤-1)2+1C.y=(x+I)2+3D.y=(x-3)2+3

2.(2021秋•杨浦区期末)将函数丫=0?+公+'Q#0)的图象向下平移2个单位，下列

结论中，正确的是()

A.开口方向不变B.顶点不变C.与x轴的交点不变D.与y轴的交点不变

3.(2021秋•静安区期末)将抛物线y=7-2x向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶

点坐标是()

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(0,0)

4.(2021秋•浦东新区期末)将抛物线y=4向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶

点是()

A.(3,-2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(-3,2)

5.(2021秋♦崇明区期末)将抛物线y=2?向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是

()

A.^=2X2+3B.y=2(x+3)2C.y=2(x-3)2D.-3

6.(2021秋•宝山区期末)把抛物线y=(x-1)2+31向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为

()

A.y=(x-1)2+5B.y=(x-1)2+1C.y=(x+1)2+3D.y=(x-3)2+3

7.(2021秋•奉贤区期末)从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征.如果将抛物

线y+2绕着原点旋转180。，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，卜,列说法正确的是

()

A.它们的开口方向相同B.它们的对称轴相同

C.它们的变化情况相同D.它们的顶点坐标相同

8.(2021秋•松江区期末)把抛物线>=7+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式

是.

9.(2021秋•徐汇区期末)将抛物线y=2?+3先向左平移1个单位，再向下平移4个单位

后，所得抛物线的表达式是.

10.(2021秋•青浦区期末)若将抛物线y=,向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式

是.

11.（2021秋•嘉定区期末）将抛物线y=/-2x向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表

达式是—.

12.（2021秋•徐汇区期末）如图，已知点A是抛物线y=/图象上一点，将点A向下

平移2个单位到点B,再把点A绕点B顺时针旋转120。得到点C,如果点C也在该抛

专题8二次函数的图像和性质

【历年真题】

【考点1］二次函数的概念

1.(2021秋•虹口区期末)下列函数中，属于二次函数的是(C)

A.y=\lx2+xB.y—(x-1)2-x2C.y=5，D.y=—^

x

【考点】二次函数的定义

【专题】符号意识；二次函数图象及其性质

【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可.

【解答】解：A.函数ynjd+x不是整式,不是二次函数，故本选项不符合题意；

B.函数y=(x-1)2-/化简后是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意;

C.函数y=5)是二次函数，故本选项不符合题意；

D.函数丫=乌不是整式，不是二次函数，故本选项符合题意；

x

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的概念

2.(2021秋•嘉定区期末)下列函数中是二次函数的是(D)

A.y—x-1B.y=\